1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）文科數(shù)學(xué)第卷（共50分）一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的1. 已知集合A=x|2x4，B=x|（x-1）（x-3）0,則方程有實根”的逆否命題是( )(A.)若方程有實根，則m0(B.若方程有實根，則m0(C.若方程沒有實根，則m0(D.若方程沒有實根，則m0【答案】D【解析】 試題分析：一個命題的逆否命題，要將原命題的條件、結(jié)論加以否定，并且加以互換，故選D.考點：命題的四種形式.6. 為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫狀況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)（單位

2、：）制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論：甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；甲地該月14時的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；甲地該月14時的平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的標(biāo)號為( )（A） (B) (C) (D) 【答案】B考點：1.莖葉圖；2.平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差.7. 在區(qū)間0,2上隨機地取一個數(shù)x,則事件“”發(fā)生的概率為( )（A） （B） （C） （D） 【答案】A【解析】試題分析：由得，所以，由幾何概型概率的計算公式得，故選A.考點：1.幾何概

3、型；2.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).8. 若函數(shù)是奇函數(shù)，則使f（x）3成立的x的取值范圍為( )（A）( -,-1) (B)( -1，0) （C）（0,1） （D）（1，+） 【答案】C【解析】試題分析：由題意，即所以，由得，故選C.考點：1.函數(shù)的奇偶性；2.指數(shù)運算.9. 已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( )（A）223 （B）423 （C）2 （D）4 【答案】B考點：1.旋轉(zhuǎn)體的幾何特征；2.幾何體的體積. 10. 設(shè)函數(shù)，若，則b=( )（A）1 （B） （C） (D) 【答案】D【解析】試題分析：由題意，由得，或，解

4、得，故選D.考點：1.分段函數(shù)；2.函數(shù)與方程.第卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11. 執(zhí)行右邊的程序框圖，若輸入的x的值為1，則輸出的y的值是 . 【答案】考點：算法與程序框圖.12. 若x,y滿足約束條件則的最大值為 .【答案】【解析】試題分析：畫出可行域及直線，平移直線，當(dāng)其經(jīng)過點時，直線的縱截距最大，所以最大為.考點：簡單線性規(guī)劃.13. 過點P（1，3）作圓x2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，則PA.PB= . 【答案】考點：1.直線與圓的位置關(guān)系；2.平面向量的數(shù)量積.14. 定義運算“”： （）.當(dāng)時，的最小值是 . 【答案】【解析】試題

5、分析：由新定義運算知， ，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值是.考點：1.新定義運算；2.基本不等式.15. 過雙曲線的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交于點.若點的橫坐標(biāo)為,則的離心率為 .【答案】考點：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線方程.三、解答題：本大題共6小題，共75分16. （本小題滿分12分）某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：（單位：人）參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230（1） 從該班隨機選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率；（2） 在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2，A3，

6、A4，A5,3名女同學(xué)B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率.【答案】(1) ；(2).【解析】試題分析：（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有人，故至少參加上述一個社團(tuán)的共有人，所以從該班級隨機選名同學(xué)，利用公式計算即得. (2)從這名男同學(xué)和名女同學(xué)中各隨機選人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：，共個.根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.事件“被選中且未被選中”所包含的基本事件有：，共個.應(yīng)用公式計算即得.試題解析：（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有人，故至少參加上述一個社團(tuán)的共有人，

7、所以從該班級隨機選名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率為(2)從這名男同學(xué)和名女同學(xué)中各隨機選人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：，共個.根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.事件“被選中且未被選中”所包含的基本事件有：，共個.因此被選中且未被選中的概率為.考點：1.古典概型；2.隨機事件的概率.17. (本小題滿分12分)中，角A，B，C所對的邊分別為a,b,c.已知 求 和 的值.【答案】由正弦定理可得，結(jié)合即得.試題解析：在中，由，得.因為，所以，因為，所以，為銳角，因此.由可得，又，所以.考點：1.兩角和差的三角函數(shù)；2.正弦定理.18. 如圖，三棱臺中，分別為的中點.（I）求

8、證：平面；（II）若求證：平面平面. 【答案】證明見解析思路二：在三棱臺中，由為的中點，可得為平行四邊形， 在中，分別為的中點，得到又，得到平面平面. (II)證明：連接.根據(jù) 分別為的中點，得到 由得，又為的中點，得到四邊形是平行四邊形，從而 又，得到 .試題解析：（I）證法一：連接設(shè),連接，在三棱臺中，分別為的中點，可得，所以四邊形是平行四邊形，則為的中點，又是的中點，所以,又平面，平面，所以平面.證法二：在三棱臺中，由為的中點，可得所以為平行四邊形，可得在中，分別為的中點，所以又，所以平面平面，因為平面，所以平面. (II)證明：連接.因為分別為的中點，所以由得，又為的中點，所以因此四邊

9、形是平行四邊形，所以又，所以.又平面，所以平面，又平面，所以平面平面考點：1.平行關(guān)系；2.垂直關(guān)系.19. （本小題滿分12分）已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為.（I）求數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)，求數(shù)列的前項和. 【答案】（I） (II) 【解析】 試題分析：（I）設(shè)數(shù)列的公差為，令得，得到 .令得，得到 .解得即得解.（II）由（I）知得到 從而利用“錯位相減法”求和.試題解析：（I）設(shè)數(shù)列的公差為，令得，所以.令得，所以.解得，所以（II）由（I）知所以所以兩式相減，得所以考點：1.等差數(shù)列的通項公式；2.數(shù)列的求和、“錯位相減法”.20. (本小題滿分13分)設(shè)函數(shù)fx

10、=x+alnx，g(x)=x2ex. 已知曲線y=f(x) 在點處的切線與直線2x-y=0平行.（）求a的值；（）是否存在自然數(shù)k，使得方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請說明理由；（）設(shè)函數(shù)（minp，q表示，p，q中的較小值），求m(x)的最大值.【答案】（I） ；(II) ；(III) .【解析】試題分析：（I）由題意知， ，根據(jù)即可求得.（II）時，方程在內(nèi)存在唯一的根.設(shè)通過研究時，.又得知存在，使.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時，單調(diào)遞增.作出結(jié)論：時，方程在內(nèi)存在唯一的根.（III）由（II）知，方程在內(nèi)存在唯一的根，且時，時，得到.當(dāng)時，研究得到當(dāng)時，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)

11、研究得到且.綜上可得函數(shù)的最大值為.試題解析：（I）由題意知，曲線y=f(x)在點處的切線斜率為，所以，又所以.（II）時，方程在內(nèi)存在唯一的根.設(shè)當(dāng)時，.又所以存在，使.因為所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以時，方程在內(nèi)存在唯一的根.（III）由（II）知，方程在內(nèi)存在唯一的根，且時，時，所以.當(dāng)時，若若由可知故當(dāng)時，由可得時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；可知且.綜上可得函數(shù)的最大值為.考點：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.21. (本小題滿分14分)平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：的離心率為，且點（，）在橢圓C上.（）求橢圓C的方程；（）設(shè)橢圓E：，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q.（i）求的值；(ii)求面積的最大值.【答案】（I）；（II）（i）；（ii）【解析】試題分析：（I）由題意知又，解得.（II）由（I）知橢圓E的方程為.（i） 設(shè)由題意知.根據(jù)及 ，知.（ii）設(shè)將代入橢圓E的方程，可得，由可得應(yīng)用韋達(dá)定理計算及的面積設(shè)將直線代入橢圓C的方程，可得，由可得由可知當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值由（i）知，的面積為即得 面積的最大值為試題解析：（I）由題意知又，解得，所以橢圓C的方程為（II