1、自動控制原理第七章 非線性系統(tǒng)的分析 1 一般概念 2 相平面法 3 相平面分析法 4 描述函數(shù)法 5 非線性的描述函數(shù)分析 6 利用非線性改善控制系統(tǒng)的性能 退出1關于非線性系統(tǒng)的基本概念在前面各章中，我們討論了線性系統(tǒng)各方面 的問題。但是，理想的線性系統(tǒng)是不存在的。實際的物理系統(tǒng)，由于其組成元件在不同程 度上具有非線性特性，嚴格地講，都是非線 性系統(tǒng)。當系統(tǒng)的非線性程度不嚴重時，在 某一范圍內或某些條件下可以視為線性系統(tǒng)， 采用線性方法進行研究是有實際意義的。但 是，如果系統(tǒng)的非線性程度比較嚴重，采用 線性方法往往會導致錯誤的結論。因此，必 須對非線性系統(tǒng)進行專門的探討。 退出(一)非線性

2、特性在實際控制系統(tǒng)中最常見的非線性特性有死區(qū)、飽和、間隙、繼電器等。不靈敏區(qū) 又稱死區(qū) 常見于測量、放大元件中其特點是當輸入信號在零值附近的某一小范圍之內時，沒有相應的輸出信號，只有當輸入信號大于此范圍時，才有輸出信號。執(zhí)行機構中的靜摩擦的影響往往也可用死區(qū)來表示。死區(qū)特性如圖1(a)所示控制系統(tǒng)中死區(qū)特性的存在，將導致系統(tǒng)產生穩(wěn)差而測量元件死區(qū)的影響尤為顯著。摩擦死區(qū)會造成系統(tǒng)低速運動的不均勻，導致隨動系統(tǒng)不能準確地跟蹤目標。 退出x (t)k- ae0a(t)飽和 飽和也是一種常見的非線性，在鐵磁元件及各種放大器中都可遇到，其特點是，當輸入倍號超過某一范圍后，輸出信號不再隨輸入倍號而變化，

3、將保持某一常數(shù)值(圖1(b)。飽和特性將使系統(tǒng)在大信號作用下之等效放大系數(shù)減小，因而降低穩(wěn)態(tài)精度。在有些系統(tǒng)中利用飽和特性做信號限幅。x (t)b- ake0a(t)- b間隙又稱回環(huán) 傳動機構的間隙也是一種很常見的非線性特性。在齒輪傳動中，由于間隙的存在，當主動輪方向改變時，從動輪保持原位不動，直到間隙消除后才改變方向 (圖1(c)。鐵磁元件中的磁滯現(xiàn)象也是一種回環(huán)特性，又稱磁滯特性。間隙或回環(huán)特性對系統(tǒng)的影響比較復雜，一般說來，它會使系統(tǒng)穩(wěn)差增大，相位遲后增大，從而使動態(tài)特性變壞。采用雙片彈性齒輪(無隙齒輪)可以消除齒輪間隙對系統(tǒng)的不利影響。x (t)b 退出- a- e0k+ eae (

4、t)- b繼電器特性 由于繼電器吸上電壓和釋放電壓的不同，其特性中包含了死區(qū)、回環(huán)和飽和特性(圖1(d)。圖中當a0 時的特性稱為理想繼電器特性。在控制系統(tǒng)中，有時利用繼電器的切換特性來改善系統(tǒng)的性能。x (t)b- a- ma0maae (t)- b退出x (t)b0e (t)x (t)b0- aae (t)- bx (t)- bb- ae (t)0a- b退出(二)非線性系統(tǒng)的特點與線性系統(tǒng)相比較非線性系統(tǒng)具有一些顯著的特點：退出(1) 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應的性質只決定于系統(tǒng)本身的結構和參數(shù)，而和系統(tǒng)的初始條件無關。然而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應的性質不僅取決于系統(tǒng)本身的結構和

5、元件特性而且與系統(tǒng)的初始條件有關。對于同一結構和參數(shù)的系統(tǒng)，可能出現(xiàn)在較小初始值時系統(tǒng)穩(wěn)定，但在餃大初始值時系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況，也可能相反。因而對非線性系統(tǒng)，不能籠統(tǒng)地講系統(tǒng)是否穩(wěn)定。(2) 對于線性系統(tǒng)而言，只有兩種基本的運動形式即發(fā)散和收斂。只有當系統(tǒng)處于穩(wěn) 定的臨界狀態(tài)時，才會出現(xiàn)等幅振蕩但這 一運動形式是不能持久的。系統(tǒng)參數(shù)稍有 細微的變化，這一臨界狀態(tài)就不能繼續(xù)， 而會轉化為發(fā)散或收斂，然而在非線性系統(tǒng)中，除了發(fā)散和收斂兩種運動形式外，即 使無外界作用，往往也會發(fā)生具有一定振 幅和頻率的振蕩，稱為自持振蕩，又稱自 激振蕩。在有的非線性系統(tǒng)中，還可能產生不止一種振幅和頻率都不相同的自持振

6、蕩。 退出(3) 在線性系統(tǒng)中，當輸入信號為正 弦函數(shù)時，穩(wěn)態(tài)輸出信號也是相同頻率的正弦函數(shù)，兩者僅在隔值和相位上不問，因此可以用頻率特性來表示系統(tǒng)的固有特性。但是在非線性系統(tǒng)中，當輸入信號為正弦函數(shù)時，穩(wěn)態(tài)輸出信號通常是包含高次諧波的非正弦周期函數(shù)， 其周期與輸入信號相同。有時還會出現(xiàn)跳躍諧振、倍頻和分頻振蕩等現(xiàn)象。 退出(4) 從分忻方法上看，線性系統(tǒng)用線性微分方程來描述，可以應用疊加原理。用典型信號對系統(tǒng)分析的結果，一般也適用于其他情況。而非線性系統(tǒng)要用非線性微分方程來描述，不能應用疊加原理， 因此沒有一種通用的方法來處理各種非線性問題。在實際上遇到非本質的非線性系統(tǒng)時，常常采用小偏差線

7、性化方法處理。對于本質非線性特性，有時采用分段線性化方法或其他近似方法。應該指出， 研究非線性系統(tǒng)并不一定都要求解其暫態(tài)過程，通常討論的重點是系統(tǒng)是否穩(wěn)定；會不會產生自持振蕩，如會產生，其振幅和頻率為多少?如何消除自持振蕩等。 退出在工程實際上應用的分析非線性系統(tǒng)的方法中，描述函數(shù)法和相平面法是應用較為廣泛的。相平面法是一種時域分析法，它保留非 線性特性，而將高階的線性部分近似地化為二階來進行分析。描述函數(shù)法是一種頻域分 析法，它保留線性部分，而對非線性環(huán)節(jié)進 行諧波線性化分析。它們采用的近似方法是互相補充的。應該指出，模擬汁算機和數(shù)字計算技術的發(fā)展，給分析復雜的非線性系統(tǒng)提供了力便和有效的條

8、件，必將進一步促進非線性系統(tǒng)的研究工作。 退出2 諧波線性化與描述函數(shù)描述函數(shù)法是在頻域中分析非線性的一種近似方法。它是頻域法于一定條件下和在非線性系統(tǒng)中的應用，主要用于分忻非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，自持振蕩及其在正弦信號作用下之輸出。描述函數(shù)法實質上是一種諧波線性化方法，其基本思想是用非線性環(huán)節(jié)輸出信號中的基波分量來取代其正弦輸入信號作用下之實際輸出。 退出諧波線性化設非線性系統(tǒng)的方框圖如圖2所示。圖中N（A）為非線性元件。設N（A）的輸入信號一正弦信號x(t)= As由inw于t非線性特性的作用，其輸出信號的穩(wěn)態(tài)分量y（t）是一個非正弦周期函 數(shù)，其周期與輸入信號相同。我們作如下假設：（1） 高

9、次諧波的幅值通常要比基波的幅值??；（2） 系統(tǒng)的線性部分G(s)又具有低通濾波特性； 所以可以認為只有基波分量沿閉環(huán)回路反饋到N 的輸入端，而高次諧波經(jīng)低通濾波后衰減得可以忽略不計。在這種假設條件下，可以只考慮y的基波分量。此外，設非線性特性為對稱型。G(s)N( A)r(t)= 0-x(t)y(t)c(t)上述情況實際上可以看成如下的情形：即相當于將非線性元件在一定條件下看成為具有對輸入正弦的響應仍是同頻率正弦的線性化特性的一種線性元件，從而使含有這種非線性元件的非線性系統(tǒng)變成一類有條件的線性系統(tǒng)，或稱線性化系統(tǒng)，其條件便是指諧波線性化。描述函數(shù)又稱等效復放大系數(shù)在諧波線性化系統(tǒng)中，非線性元

10、件的特性，與通過頻率響應描述線性元件特性相類似，也可采用一復變函數(shù)N（A）來描述。該復變函數(shù)的模等于非正弦周期輸出的基波 y1(t)= Y1 sin（wt + j1）的振幅A與輸入正弦x(t)= As的in振w幅t A之比，其相角為正弦輸出 y 1(相t)對正弦輸入的x(相t)移因此復變函數(shù)N（A）稱為非線性元件的描述函數(shù)，它與線性元件的頻率響應不同，一般是輸入正弦振幅A的函數(shù)，只有當非線性元件具有儲能特性時，描述函數(shù)才既是輸入振幅又是角頻率的函數(shù)。+2 A。中y= ACOS叩t + B量Sln 勵t )_i ，暑一 1g= A產Y,.sin(nwt + rp) :.: 1,l1f 2 r兀J

11、01”了l章I兀 JO .-A退出n“vtI.“一門，化 arcig l. B 退出N(A)= Y1 j= B1+jA1=tg-1 A1A2+ B2111AAAB1描述函數(shù)N(A)表示當非線性元件的輸入信號為正弦函數(shù)時，輸出信號的基波分量與輸入信號在幅值和相位上的相互關系，類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性。在一般情況下，N(A)為正弦輸入信號幅值的函數(shù)， 而與頻率無關。當非線性元件的特性單值特性時， 其撤述函數(shù)是一個實數(shù)，這時輸出信號基波與正 強輸入信號同相。需強調指出，描述函數(shù)中相移 是由于非線性元件的非單位特性引起的，與線性 系統(tǒng)的頻率特性中相移不是一回事。 退出典型非線性特性的描述函數(shù)下面介紹

12、幾種典型非線性特性的描述函數(shù)。這些特性都是對稱奇函數(shù)。包括：（1） 飽和特性的描述函數(shù)；（2） 不靈敏區(qū)特性的描述函數(shù)；（3） 間隙特性的描述函數(shù)；（4） 繼電器特性的描述函數(shù)； 退出（1） 飽和特性的描述函數(shù)輸出y (t)y (t)K- S0x (t)S輸入0wtj1 p-j10j1p-j1x (t)px (t)= Asin(wt)2p退出wtKAsin wt0 wt j1 退出y(t)=KSj wt p - j11KAsin wtp - j1 wt pA0= 0A1= 02pB= 1y tsin wtdwt= 4 y tsin wtdwt1p0( )2( )pp0= 4j1KA sin2w

13、tdwtp+ 2KS sin wtdwt p 0= 2KAj11 -(S A)2sin-1S+ SpAAY1=j1=tg-1A1B1= B1A2+ B211= 02)S A(1 -AA= 2K sin-1S+ Sp ( A S )AAN( A)= Y1j1= B11.00.90.80.7N( A) K0.60.50.40.30.20.100.10.20.30.40.50.6 S A0.70.80.91.0問題：請大家繪出- 1N( A)（2） 不靈敏區(qū)特性的描述函數(shù)輸出y (t)y (t)-D0KKDx (t)輸入0wtj1 p-j10x (t)j1p-j1px (t)=Asin(wt)2p退

14、wt出00 wt j1 退出y(t)=K( Asin wt- D)j wt p - j11A0=00A1= 0p - j1-1N0( A) - p2- 1N0( A)回過頭來趨向-N(A)= 2M 1 - ( h )2+ +j2Mh(m-1)p A ApA21 -(mh A)2(A h)(2) 只有回環(huán)的繼電器令m=-1N(A)= 4M1- ( h )2- j 4Mhp AAp A21 -( h A)2- 1= - 1N(A)4M- j 4Mhp Ap A21 -( h A)2- 1= - 1N(A)4M- j 4Mhp Ap A2- 1= - M= - 1N0(A)N(A) 41 - ( h

15、 )2- j 4h= - 41 Ap A21 -( h A)2- j h A1 - ( h )2p A= - j h 4p A AAp A用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)上面討論了一些典型非線性特性的描述函數(shù)。一個非線性元件的描述函數(shù)表示了在正弦輸入信號作用下，輸出信號的基波分量與正弦輸入在幅值和相位上的相互關系。在一般情況下，描述函數(shù)為正弦輸入信號幅值的復函數(shù)。當非線性元件的特性為單值函數(shù)時其描述函數(shù)是一個實數(shù)。描述函數(shù)法通常用來分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及自持振蕩。在系統(tǒng)中產生自持振蕩時，可以假定非線性環(huán)節(jié)輸入端的信號接近正弦函數(shù)。由于線性部分通常具有低通濾波特性，可以忽略其輸出信號中的高次諧波分量而

16、只考慮基波分量，這樣就可以近似地用描述函數(shù)來表示非線性特性。 退出設非線性系統(tǒng)的方框圖如圖所示，圖中N(A)表示非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。此系統(tǒng)的特征方程為：eN( A)G(s)cr-1+ N(A)G( jw)= 0 退出式中的 -1/ N(A)稱為描述函數(shù)的負倒幅特性。如果上式得到滿足，那么在非線性系統(tǒng)中將出現(xiàn)自持振蕩（極限環(huán)一般來說，在自動控制系統(tǒng)中產生自持振蕩或極限環(huán)是不希望的。在難以消除時也要將其振蕩限制在給定范圍之內），這與在線性系統(tǒng)中G（j0）穿過穩(wěn)定臨界點（-1，j0）的情況相當， 因此，在應用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定時， 主要根據(jù)G（j0）特性和-1/ N(A)曲線的相對位置進

17、行判別；x63x- 30-6Im- N 1( A)0Re AG( jw)Im0Re- 1N( A)G( jw)ImAsinw t Aaaa0ReA sin w t22A3 sin w3t0 A- 111bN( A)G( jw )3020lg G( jw) (dB)25 2015- 1N( A)1020lg 1N( A)G( jw)50-5-10-180-170-160-150-140-130-120-110-100-90j( )3020lg G( jw) (dB)2520 15G( jw)1020lg 1N( A)- 15N( A)0-5-10-180-170-160-150-140-130-

18、120-110-100-90j( )3025-120lg G( jw) (dB)N( A)20151020lg 1N( A)5 0b1-5b2G( jw)-10-180-170-160-150-140-130-120-110-100-90j( )下面給出用乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)判斷非線性系統(tǒng)的 穩(wěn)定性和確定系統(tǒng)是否存在自持振蕩的若干結論： 設線性部分的傳遞函數(shù)在右半平面的極點的個數(shù)為 P 。（1） 若G( jw)曲線逆時針包圍整個曲線P/2周，則該非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。（2） 若G( jw)曲線與 -1/ N(A)曲線沒有交點，則系統(tǒng)不存在周期w運動。若G( jw)曲線與 -w1/

19、N(A) 曲線有交點，則非線性系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，對應著系統(tǒng)存在近似正弦的周期運動解x(t)=Asinwt 。交點處的A、w 分別為周期運動的振幅和頻率。若該周期運動是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩。（3） 為判斷系統(tǒng)是否存在自持振蕩（即判斷有無穩(wěn)定的周期運動解），在G( jw) 曲線與-1/ N(A)曲線的交點附近，沿增大方向，在曲線上取一點， 若該點不被曲線包圍，則該點對應系統(tǒng)的一個自持振蕩狀態(tài)，相應的周期運動是穩(wěn)定的；否則， 就不是自持振蕩，只是一個不穩(wěn)定周期運動的解。在圖7-55，按此方法，很容易判斷出點的自持振蕩 是穩(wěn)定的，而點的自持振蕩是不穩(wěn)定的。（4） 如果G(s)中沒有右半平面的

20、極點，即P = 0G( jw)曲線不包圍-1/ N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若G( jw)曲線包圍-1/ N(A)曲線，則非線性系統(tǒng)不是穩(wěn)定的；G(jw)曲線與-1/ N(A)曲線相交，則系統(tǒng)存在周期運動，若交點處軌跡向軌跡包圍的區(qū)域外運動，則該點對應的周期運動就是自持振蕩。非線性系統(tǒng)結構的簡化在上述討論的非線性系統(tǒng)，在結構組成上均屬一個非線性部分與一個線性部分串聯(lián)。然而，實際系統(tǒng)作出的原始結構并非完全符合上述形式。為了應用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)的自振及穩(wěn)定性，需要將各種結構圖簡化為圖7-54所示的典型結構。由于在討論自振及穩(wěn)定性時，只研究由系統(tǒng)內部產生的周期運動，并不考慮外作用，因此在將

21、結構簡化時，可以認為所有外作用均為零，只考慮系統(tǒng)的封閉回路。與線性系統(tǒng)等效變換一樣，簡化的原則是信號的等效變換。（1） 非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)若兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，可將兩個環(huán)節(jié)的特性歸化為一個特性，即以第一個非線性環(huán)節(jié)的輸入和第二個非線性環(huán)節(jié)的輸出分別作為歸化后非線性特性的輸入和輸出，從而作出等效非線性特性。注意，若兩個非線性特性的描述函數(shù)分別為N1( A)和 N2(，A)等效非線性的描述函數(shù)為,N則(A在) 一般情況下，N( A)= N1( A。)N串2(聯(lián)A)非線性環(huán)節(jié)的次序亦不可交換。對于多個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，其處理方法可以按照串聯(lián)的次序，先歸化前兩個非線性環(huán)節(jié)，等效后的非線性特性再與第三個環(huán)節(jié)進

22、行歸化變換（2） 非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)若兩個并聯(lián)的非線性環(huán)節(jié)其描述函數(shù)分別為N1( A和)N，2(則A)并聯(lián)后的等效非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)N( A)=N1( A).利+N用2(這A)一特性，可將一個比較復雜的非線性特性，分解為若干個比較簡單的非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)。（3） 結構圖的等效變換1 由于在討論自振及穩(wěn)定性時，只研究由系統(tǒng)內部產生的周期運動，并不考慮外作用，因此在將結構簡化時，可以認為所有外作用均為零，只考慮系統(tǒng)的封閉回路。2 與線性系統(tǒng)等效變換一樣，簡化的原則是信號的等效變換。 C(s)-G 2(s)N( A)G1(s)R(s)C(s)-N( A)G1(s)G 2(s)G1(s)R(s)R(s)-G

23、 2(s)N( A)C(s)R(s)-G 2(s)G1(s)C(s)G1(s)N( A)N( A)-C(s)G 2(s)1 + G1(s)G 2(s)R(s) C(s)-G1(s)G3(s)N( A)G 2(s)G3(s)N( A)G 2(s)-1C(s)G (s) R(s)R(s)R(s)-C(s)G 2(s)N( A)G3(s)-G1(s)1 + G1(s)N( A)G1(s)G 2(s)G3(s)1 + G1(s)R(s)C(s)例7-9- -1 0N( A)Im0Re A 0G( jw ) 退出例7-10- - 1N( A)Im - 120Re A 1k = 15k = 7.5 退出例7-113020lg G ( jw )G ( jw) (dB)2520215-1N( A) e= 0.82Aw= 0.3b21 10G ( jw)G( jw)= 1.5520lg