1、三角函數(shù)三角比課 題任意角三角比三角恒等式解斜三角形考點及考試要求角的概念的推廣弧度制數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有任意角的三角比單位圓中的三角函數(shù)線同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式數(shù)學(xué)探索版權(quán)所有兩角和與差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切正弦定理、余弦定理教學(xué)內(nèi)容任意角三角比一、知識點梳理：1.1任意角和弧度制2.象限角：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何象限。3.角的集合： 與（0360）終邊相同的角的集合：終

2、邊在x軸上的角的集合： 終邊在y軸上的角的集合：終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合： 終邊在y=x軸上的角的集合： 終邊在軸上的角的集合：若角與角的終邊關(guān)于x軸對稱，則角與角的關(guān)系：若角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則與角的關(guān)系：若角與角的終邊在一條直線上，則與角的關(guān)系：角與角的終邊互相垂直，則與角的關(guān)系：4角度制：在平面幾何里，把周角分成360等分，每一份叫做1度的角，這種用“度”作為單位來度量角的單位制叫做角度制。5弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角。符號rad表示，讀作弧度。用“弧度”作為單位來度量角的單位制叫做弧度制。 如果一個半徑為r的圓的圓心角所對的弧長為l，那么比值就是角的弧度

3、數(shù)的絕對值，即：6. 弧長公式： 扇形面積公式：1.2任意角的三角比1. 任意角的三角比：在任意角的終邊上任取一點P（異于原點），設(shè)P的坐標(biāo)為，OP= r，則。規(guī)定： 。當(dāng)時，角的終邊在y軸上，這時點P的橫坐標(biāo)x等于0，無意義。除此之外，對于確定的角，上述三個三角比值都是唯一確定的。三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點P的位置無關(guān)。還規(guī)定：。2三角函數(shù)線正弦線：MP; 余弦線：OM; 正切線： AT.3三角函數(shù)在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）4. 特殊角的三角比二、典型例題【例1】角的終邊與的終邊關(guān)于直線y=x對稱，則=_。（答：）【例2】若角是第二象限角，則是第_象限角。（答：

4、一、三）【例3】已知扇形AOB的周長是6，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。（答：2）【例4】已知角的終邊經(jīng)過點P(5，12)，則的值為_。（答：）【例5】角是第三、四象限角，則m的取值范圍是_。（答：（1，）【例6】若，試判斷的符號（答：負(fù)）【例7】若，則的大小關(guān)系為_。(答：)【例8】若為銳角，則的大小關(guān)系為_。（答：）單位圓：三角形的面積扇形的面積直角三角形的面積【例9】函數(shù)的定義域是_。（答：）三角恒等式一、知識點梳理：1.3同角三角比的關(guān)系和誘導(dǎo)公式1. 同角三角比的關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系：，商數(shù)關(guān)系：，平方關(guān)系：，解題思想：（1）平方關(guān)系一般為隱含條件，直接運用。注意“1”的代換。（

5、2）利用直角三角形計算三角比，利用象限確定符號。 （3）如果角的一個三角比和它所在的象限，那么角的其他三角比就可以唯一確定。 （4）如果僅知道角的一個三角比，那么就應(yīng)根據(jù)角的終邊的所有可能的情況分別求出其他三角比。2. 誘導(dǎo)公式：本質(zhì)-把角寫成形式，口訣：奇變偶不變（對而言，指取奇數(shù)或偶數(shù)），符號看象限（看原函數(shù)，同時可把看成是銳角）。對于任意角的三角比，利用誘導(dǎo)公式總可以轉(zhuǎn)化成銳角的三角比，轉(zhuǎn)化的一般途徑是：。從任意角到銳角的轉(zhuǎn)化途徑不是唯一的。 第一組誘導(dǎo)公式： 第二組誘導(dǎo)公式： 第三組誘導(dǎo)公式： 第四組誘導(dǎo)公式： 第五組誘導(dǎo)公式： 第六組誘導(dǎo)公式：3. 兩角和與差的余弦、正弦和正切：兩角

6、差的余弦公式：兩角和的余弦公式：兩角和的正弦公式：兩角差的正弦公式：兩角和的正切公式：兩角差的正切公式：，其中（通常?。┯?，確定。4. 二倍角與半角的正弦、余弦和正切： 二倍角的正弦公式：二倍角的余弦公式：二倍角的正切公式：半角的余弦公式：半角的正弦公式：半角的正切公式：，萬能置換公式：，二、典型例題： 三角比的化簡、計算和證明恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意注意角的一些常用變式，角的變換是三角比變換的核心！其次看三角比名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?。再次觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點?；炯记捎校海?）巧變角：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角

7、的變換、兩角與其和差角的變換。例如：， ，等等?！纠?】 已知，那么 _（答：）【例2】 已知，且，則_（答：）（2）三角比名稱互化（切化弦）：【例3】求值（答：1）（3）公式變形使用：【例4】已知A、B為銳角，且滿足，則_（答：）（4）三角比次數(shù)的升降：本質(zhì)-倍角公式和半角公式【例5】若，化簡為_（答：）（5）式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)：【例6】求證：（6）常值變換-主要指“1”的變換：【例7】已知，求（答：）（7）正余弦“三兄妹”-“，”：知一求二【例8】若，則= _（答：)；特別提醒：這里（8）輔助角公式： (其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的值由確定)在求最值

8、、化簡時起著重要作用。【例9】若方程有實數(shù)解，則c的取值范圍是_.（答：2,2）三、課堂練習(xí)：1若，則使成立的的取值范圍是_（答：）2已知，則_（答：）3已知，則_；_（答：；）4已知，則_（答：B）A、B、C、D、5的值為_（答：）6已知，則，若為第二象限角，則=_。（答：；）7命題P：，命題Q：，則P是Q的_（答：C）A、充要條件B、充分不必要條件C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件8已知，那么（答：）9 _（答：4）10已知為銳角，,，則與的函數(shù)關(guān)系為_巧變角（答：）11已知，求（答：）切化弦12設(shè)中，則此三角形是_三角形（答：等邊）公式變形使用13函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_三角比次數(shù)

9、的升降（答：）14化簡：（答：）式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化15若，求的值。（答：）正余弦三兄妹16已知 ，試用k表示的值（答：）正余弦三兄妹17當(dāng)函數(shù)取得最大值時，的值是_(答：) 輔助角公式18如果是奇函數(shù)，則= (答：2) 輔助角公式19求值：_(答：32)輔助角公式斜三角形一、知識點梳理：1.4正弦定理和余弦定理： 三角形面積公式： 正弦定理：（R為的外接圓半徑） 余弦定理：，解題思想：采用“邊”化“角”或“角”化“邊”的思想二、典型例題：【例1】在ABC中，A45，B60，a2，則b等于()A.B. C. D2解析：選A.應(yīng)用正弦定理得：，求得b.【例2】在ABC中，若，則ABC是()A等腰三角形

10、 B等邊三角形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形解析：選D.，sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B即2A2B或2A2B，即AB，或AB.【例3】在ABC中，如果BC6，AB4，cosB，那么AC等于()A6B2C3D4解析：選A.由余弦定理，得AC 6.【例4】在ABC中，BCa，ACb，a，b是方程x22x20的兩根，且2cos(AB)1，求AB的長解：ABC且2cos(AB)1，cos(C)，即cosC.又a，b是方程x22x20的兩根，ab2，ab2.AB2AC2BC22ACBCcosCa2b22ab()a2b2ab(ab)2ab(2)2210，AB.三、課堂練習(xí)

11、：1在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若a2，sincos，sin Bsin Ccos2，求A、B及b、c.解：由sincos，得sinC，又C(0，)，所以C或C.由sin Bsin Ccos2，得sin Bsin C1cos(BC)，即2sin Bsin C1cos(BC)，即2sin Bsin Ccos(BC)1，變形得cos Bcos Csin Bsin C1，即cos(BC)1，所以BC，BC(舍去)，A(BC).由正弦定理，得bca22.故A，B，bc2.2ABC中，ab60，sin Bsin C，ABC的面積為15，求邊b的長解：由Sabsin C得，1560sin

12、 C，sin C，C30或150.又sin Bsin C，故BC.當(dāng)C30時，B30，A120.又ab60，b2.當(dāng)C150時，B150(舍去)故邊b的長為2.3在ABC中，BC，AC3，sin C2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A)的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，得ABBC2BC2.(2)在ABC中，根據(jù)余弦定理，得cos A，于是sin A.從而sin 2A2sin Acos A，cos 2Acos2 Asin2 A.所以sin(2A)sin 2Acoscos 2Asin.4在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin BsinC，確定ABC的形

13、狀解：由正弦定理，得.由2cos Asin Bsin C，有cosA.又根據(jù)余弦定理，得cos A，所以，即c2b2c2a2，所以ab.又因為(abc)(abc)3ab，所以(ab)2c23ab，所以4b2c23b2，所以bc，所以abc，因此ABC為等邊三角形【學(xué)生總結(jié)】：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _