1、立體幾何中的排列組合問題解法舉隅立體幾何中的排列組合問題在近年的高考數(shù)學試題中出現(xiàn)的頻次較高，且常考常新. 因為解決這類問題不僅要具備排列組合的有關(guān)知識，而且還要具備較強的空間想象能力. 因而是一類既富思考情趣，又融眾多知識和技巧于一體且綜合性強、靈活性高、難度頗大的挑戰(zhàn)性問題. 解決這類問題的關(guān)鍵是明確形成幾何圖形的元素，并與排列組合形成對應關(guān)系，轉(zhuǎn)化為排列組合問題，同時還要注意避免重復和遺漏. 下面結(jié)合具體例子談談這類問題的求解方法，供參考. 一、分步求解例1 如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線有（ ） A. 12對 B. 24對 C. 36對 D.

2、 48對解 由于六棱錐的6條側(cè)棱交于一點, 底面六邊形的6條邊共面, 因而只能將側(cè)棱與底邊相搭配. 第一步, 從6條側(cè)棱中任取一條有種; 第二步, 從底面6條邊中與這條側(cè)棱不相交的4條邊中任取一條有種, 由乘法原理知有=24對, 故選B.二分類求解例2 四邊形的一個頂點為A, 從其它頂點與各棱的中點中取3點, 使它們和點A在同一平面上, 不同取法有( )A. 30種 B. 33種 C. 36種 D. 39種 解 符合條件的取法可分為兩類: 4個點(含A)在同一個側(cè)面上,有種；4個點（含A）在側(cè)棱與對棱中點的截面上，有3種. 由加法原理知不同取法共有33種，故選B. 例3 將一個四棱錐的每個頂點

3、染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法種數(shù)是. 圖1BADCS解 分三類：如果用5種顏色有種染色方法. 如果用4種顏色，只能是底面四邊形相對頂點同色. 如圖1，如果A、C同色，只要考慮染S、A、B、D四頂點，有種染法，而B、D同色仍有種染法，用四色共有2種染法. 如果用3種顏色，A、C同色，B、D同色，只要考慮S、A、B三個頂點，有種染法. 由加法原理知共有2420種染法.三、剔除求解例4 四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，則不同的取法共有（ ） A. 150種 B.147種 C.144種 D.141種 解 從10個點中任取4

4、點，有種取法，再剔除掉共面的取法. 共面的四點在四面體的某一個面內(nèi)，有種取法，4個面共有4種； 每條棱上的三個點與其對棱的中點四點共面，有6種；由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），它的4個頂點共面，有3種. 故不共面的取法共有463141種，故選D. 例5 已知正方體ABCD-A1B1C1D1. （1）以正方體頂點為頂點的四面體有多少個？（2）從8個頂點中取出3個頂點，使至少有兩個頂點在同一棱上，其取法種數(shù)為多少？（3）過8個頂點中任兩點的直線與直線A1B異面的有多少條？圖2ABCDB1D1C1A1解 （1）從所有四點的組合中去掉共面的組合，6個表面四點共面，6

5、個對角面四點共面. 所以共有四面體-1258個. （2）如圖2， A1BD這樣的三點不能滿足題意，可以認為這個三點組合與頂點A對應，正方體有8個頂點，每個頂點對應一個不合題意的三點組合. 所以滿足題意的三點取法共有848種. （3）在8個頂點取2個的組合中，去掉側(cè)面ABB1A1中的兩點組合有個，再去掉過A1不在面ABB1A1內(nèi)的四條直線與過B的4條直線，還要去掉與之平行的D1C. 所以共有13條. 四、構(gòu)造模型求解例6 與空間不共面的四點距離相等的平面有多少個？解 由題設條件，空間不共面的四點可構(gòu)成四面體，考慮四面體的四個頂點在所求平面兩側(cè)的分布，易知當所求平面位于三棱錐的頂點與底面之間時有4

6、個；當所求平面位于三棱錐相對棱之間時有3個. 故所求平面有7個. 例7 在正方體八個頂點的所有連線中，有多少對異面直線？解 構(gòu)造四面體求解，因為四面體的6條棱可構(gòu)成3對異面直線，從而只要求出正方體的八個頂點可構(gòu)成幾個四面體即可，而這恰好是本文例5（1），故可得到對異面直線. 五、聯(lián)想有關(guān)命題求解例8 以長方體的八個頂點中的任意3個為頂點的所有三角形中，銳角三角形的個數(shù)為（ ）A.0 B.6 C.8 D.24 圖3BCDEAE1A1B1C1D1解 聯(lián)想課本習題：“將正方體截去一角，求證：截面是銳角三角形. ”易知從長方體的一個頂點出發(fā)的三條棱的另3個端點可構(gòu)成銳角三角形，長方體有8個頂點，從而可

7、構(gòu)成8個銳角三角形，故選C.六、綜合有關(guān)知識求解例9 以一個正五棱柱的頂點為頂點的四面體共有（ ） A.200個 B.190個 C.185個 D.180個 解 正五棱柱共有10個頂點，若每四個頂點構(gòu)成一個四面體，共可構(gòu)成210個四面體，其中四點在同一平面內(nèi)的有三類： 每一底面的5點中選4點的組合方法有個. 5條側(cè)棱中的任意兩條棱上的四點有個. 一個底面的一邊與另一個底面相應的一條對角線平行（例如ABE1C1），這樣共面的四點共有個. 故四面體的個數(shù)為180個，故選D.例10 用正五棱柱的10個頂點中的5個頂點作四棱錐的5個頂點，共可得多少個四棱錐？解 結(jié)合圖3，以不同類型的四棱錐的底面分類可得： 以棱柱的底面為四棱錐底面的共有2個. 以棱柱的側(cè)面為四棱錐底面的共有個. 以棱柱的對角面為四棱錐底面的共有個. 以圖3中ABC1E1（為等腰梯形）為四棱錐底面的共有2個. 故可構(gòu)成的四棱錐共有22170個. 例11 以四棱柱的頂點為頂點的三棱錐