1、 函數及其表示方法一、目標認知學習目標： (1)會用集合與對應的語言刻畫函數；會求一些簡單函數的定義域和值域，初步掌握換元法的簡單運用.(2)能正確認識和使用函數的三種表示法：解析法，列表法和圖象法了解每種方法的優(yōu)點在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數；(3)求簡單分段函數的解析式；了解分段函數及其簡單應用重點: 函數概念的理解，函數關系的三種表示方法分段函數解析式的求法難點: 對函數符號的理解；對于具體問題能靈活運用這三種表示方法中的某種進行分析，什么才算“恰當”？分段函數解析式的求法二、知識要點梳理知識點一、函數的概念1函數的定義設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應

2、關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數.記作：，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)|xA叫做函數的值域.2構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域構成函數的三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)；兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全致，而與表示自變量和函數值的字母無關.3區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半

3、開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數軸表示區(qū)間表示： x|axb=a，b； ；.知識點二、函數的表示法1函數的三種表示方法： 解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系優(yōu)點：簡明，給自變量求函數值.圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系 優(yōu)點：直觀形象，反應變化趨勢.列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系 優(yōu)點：不需計算就可看出函數值.2分段函數： 分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫函數幾種不同的表達式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況知識點三、映射與函數1.映射定義： 設A、B是兩個非空集合，如果按照某個對應法則f，對于集合A中的任何一個元

4、素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，這樣的對應叫做從A到B的映射；記為f：AB.象與原象：如果給定一個從集合A到集合B的映射，那么A中的元素a對應的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：(1)A中的每一個元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象記為f(a).2.函數： 設A、B是兩個非空數集，若f：AB是從集合A到集合B的映射，這個映射叫做從集合A到集合B的函數，記為y=f(x).注意：(1)函數一定是映射，映射不一定是函數；(2)函數三要素：定義域、值域、對應法則；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定義域，值

5、域=象集合.三、規(guī)律方法指導1.函數定義域的求法(1)當函數是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數、式大于或等于零，零次冪的底數不為零以及我們在后面學習時碰到的所有有意義的限制條件.(2)當函數是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義.(3)求函數的定義域，一般是轉化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結果必須用集合或區(qū)間來表示.2.如何確定象與原象對于給出原象要求象的問題，只需將原象代入對應關系中，即可求出象.對于給出象，要求原象的問題，可先假設原象，再代入對應

6、關系中得已知的象，從而求出原象；也可根據對應關系，由象逆推出原象.3.函數值域的求法實際上求函數的值域是個比較復雜的問題，雖然給定了函數的定義域及其對應法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數的值域，或利用函數的圖象的最高點和最低點，觀察求得函數的值域；配方法：對二次函數型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數的值域方法求函數的值域；判別式法：將函數視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數值的范圍，常用于一些分式函數等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：

7、通過對函數的解析式進行適當換元，將復雜的函數化歸為幾個簡單的函數，從而利用基本函數的取值范圍來求函數的值域.求函數的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數形結合法等.總之，求函數的值域關鍵是重視對應法則的作用，還要特別注意定義域對值域的制約.經典例題透析類型一、函數概念1.下列各組函數是否表示同一個函數？ (1) (不同)(2) (不同)(3) (相同)(4) (相同)思路點撥：對于根式、分式、絕對值式，要先化簡再判斷，在化簡時要注意等價變形，否則等號不成立.總結升華：函數概念含有三個要素，即定義域，值域和對應法則，其中核心是對應法則，它是函數關系的本質特征.只有當

8、兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數才是同一函數，換言之就是：(1)定義域不同，兩個函數也就不同；(2)對應法則不同，兩個函數也是不同的.(3)即使定義域和值域都分別相同的兩個函數，它們也不一定是同一函數，因為函數的定義域和值域不能唯一地確定函數的對應法則.舉一反三：【變式1】判斷下列命題的真假(1)y=x-1與是同一函數；(2)與y=|x|是同一函數；(3)是同一函數；(4)與g(x)=x2-|x|是同一函數.答：從函數的定義及三要素入手判斷是否是同一函數，有(1)、(3)是假命題，(2)、(4)是真命題.2.求下列函數的定義域(用區(qū)間表示). (1)； (2)；(3).思路點

9、撥：由定義域概念可知定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍.解：(1)；(2)；(3).總結升華：使解析式有意義的常見形式有分式分母不為零；偶次根式中，被開方數非負.當函數解析式是由多個式子構成時，要使這多個式子對同一個自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解.舉一反三：【變式1】求下列函數的定義域：(1)； (2)； (3).思路點撥：(1)中有分式，只要分母不為0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意義；(3)只要使得兩個根式都有意義即可解：(1)當|x-2|-3=0，即x=-1或x=5時，無意義， 當|x-2|-30，即x-1

10、且x5時，分式有意義， 所以函數的定義域是(-，-1)(-1，5)(5，+)；(2)要使函數有意義，須使， 所以函數的定義域是；(3)要使函數有意義，須使，所以函數的定義域為-2.總結升華：小結幾類函數的定義域：(1)如果f(x)是整式，那么函數的定義域是實數集R；(2)如果f(x)是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數的集合；(4)如果f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，那么函數定義域是使各部分式子都有意義的實數集合； (即求各集合的交集)(5)滿足實際問題有意義.3.已知函數f(x)=3x2+

11、5x-2，求f(3)，f(a)，f(a+1). 思路點撥：由函數f(x)符號的含義，f(3)表示在x=3時，f(x)表達式的函數值.解：f(3)=332+53-2=27+15-2=40；.舉一反三：【變式1】已知函數.(1)求函數的定義域；(2)求f(-3)，的值；(3)當a0時，求f(a)f(a-1)的值.解：(1)由；(2)；(3)當a0時，.【變式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2)，g(f(2)； (3)f(g(x)，g(f(x)思路點撥：根據函數符號的意義，可以知道f(g(2)表示的是函數f(x)在x=g(2)處

12、的函數值，其它同理可得解：(1)f(2)=222-32-25=-23；g(2)=22-5=-1；(2)f(g(2)=f(-1)=2(-1)2-3(-1)-25=-20；g(f(2)=g(-23)=2(-23)-5=-51；(3)f(g(x)=f(2x-5)=2(2x-5)2-3(2x-5)-25=8x2-46x+40； g(f(x)=g(2x2-3x-25)=2(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.總結升華：求函數值時，遇到本例題中(2)(3)(這種類型的函數稱為復合函數，一般有里層函數與外層函數之分，如f(g(x)，里層函數就是g(x)，外層函數就是f(x)，其對應關系可以理解為，

13、類似的g(f(x)為，類似的函數，需要先求出最里層的函數值，再求出倒數第二層，直到最后求出最終結果.4. 求值域(用區(qū)間表示)： (1)y=x2-2x+4；.思路點撥：求函數的值域必須合理利用舊知識，把現有問題進行轉化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+33，值域為3，+)；(2)；(3)；(4)，函數的值域為(-，1)(1，+).類型二、映射與函數5. 下列對應關系中，哪些是從A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成為映射? (1)A=R，B=R，對應法則f：取倒數；(2)A=平面內的三角形，B=平面內的圓，對應法則f：作三角形的外接圓；(3)A=平面內的圓，B=平

14、面內的三角形，對應法則f：作圓的內接三角形思路點撥：根據定義分析是否滿足“A中任意”和“B中唯一” 解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對應，不滿足“A中任意”；若把A改為 A=x|x0或者把對應法則改為“加1”等就可成為映射；(2)是映射，集合A中的任意一個元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(該三角形的外接圓)與 之對應，這是因為不共線的三點可以確定一個圓；(3)不是映射，集合A中的任意一個元素(圓)，在集合B中有無窮多個元素(該圓的內接三角形有無 數個)與之對應，不滿足“B中唯一”的限制；若將對應法則改為：以該圓上某定點為頂點作正 三角形便可成為映射總結升華：將

15、不是映射的對應改為映射可以從出發(fā)集A、終止集B和對應法則f三個角度入手舉一反三：【變式1】判斷下列兩個對應是否是集合A到集合B的映射？A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9，對應法則A=N*，B=0，1，對應法則f:xx除以2得的余數；A=N，B=0，1，2，f：xx被3除所得的余數；設X=0，1，2，3，4，思路點撥：判斷是否構成映射應注意：A中元素的剩余；“多對一”“一對一”構成，而“一對多”不構成映射.解：構成映射，構成映射，構成映射，不構成映射，0沒有象. 【變式2】已知映射f：AB，在f的作用下，判斷下列說法是否正確？(1)任取xA，都有唯一的yB與x對應；(2)A中的某

16、個元素在B中可以沒有象；(3)A中的某個元素在B中可以有兩個以上的象；(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；(5)B中的元素在A中都有原象；(6)B中的元素在A中可以有兩個或兩個以上的原象.答：(1)、(6)的說法是正確的，(2)、(3)、(4)、(5)說法不正確.【變式3】下列對應哪些是從A到B的映射？是從A到B的一一映射嗎？是從A到B的函數嗎？(1)A=N，B=1，-1，f：xy=(-1)x；(2)A=N，B=N+，f：xy=|x-3|；(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：xy=|x|；(5)A=N，B=Z，f：xy=|x|；(6)A=N，B=N，f：xy=|x|.答：(1)

17、、(4)、(5)、(6)是從A到B的映射也是從A到B的函數，但只有(6)是從A到B的一一映射；(2)、(3)不是從A到B的映射也不是從A到B的函數.6. 已知A=R，B=(x，y)|x，yR，f：AB是從集合A到集合B的映射，f：x(x+1，x2+1)，求A中的元素的象，B中元素的原象. 解：A中元素的象為故.舉一反三：【變式1】設f：AB是集合A到集合B的映射，其中(1)A=x|x0，B=R，f：xx2-2x-1，則A中元素的象及B中元素-1的原象分別為什么？(2)A=B=(x，y)|xR，yR，f：(x，y)(x-y，x+y)，則A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分別為什么？

18、解：(1)由已知f：xx2-2x-1，所以A中元素的象為； 又因為x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因為A=x|x0，所以B中元素-1的原象為2；(2)由已知f:(x，y)(x-y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象為(1-3，1+3)，即(-2，4)； 又因為由有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象為(2，1).類型三、函數的表示方法7. 求函數的解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路點撥：求函數的表達式可由兩種途徑.解：(1)f(2x-1)=x2，令t=2x-1，則 ；(2)f(x+1)=2x2+1，由對應法則特征可

19、得：f(x)=2(x-1)2+1 即：f(x)=2x2-4x+3.舉一反三：【變式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)； (2)已知：，求ff(-1).解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1f(x)=x2+2x-1； (法2)令x+1=t，x=t-1，f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1f(x)=x2+2x-1； (法3)設f(x)=ax2+bx+c則f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+ca(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；(2)-10，f(-1)=2(-1)+6=4ff(-1)=f(4)=1

20、6.總結升華：求函數解析式常用方法：(1)換元法；(2)配湊法；(3)定義法；(4)待定系數法等.注意：用換元法解求對應法則問題時，要關注新變元的范圍.8.作出下列函數的圖象. (1)；(2)；(3)； (4).思路點撥：(1)直接畫出圖象上孤立的點；(2)(3)先去掉絕對值符號化為分段函數.解：(1)，圖象為一條直線上5個孤立的點；(2)為分段函數，圖象是兩條射線；(3)為分段函數，圖象是去掉端點的兩條射線；(4)圖象是拋物線.所作函數圖象分別如圖所示：類型四、分段函數9. 已知，求f(0)，ff(-1)的值. 思路點撥：分段函數求值，必須注意自變量在不同范圍內取值時的不同對應關系. 解：f

21、(0)=202+1=1ff(-1)=f2(-1)+3=f(1)=212+1=3.舉一反三：【變式1】已知，作出f(x)的圖象，求f(1)，f(-1)，f(0)，fff(-1)+1的值.解：由分段函數特點，作出f(x)圖象如下：如圖，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；fff(-1)+1=ff-1+1=ff(0)=f()=+1.舉一反三：【變式1】移動公司開展了兩種通訊業(yè)務：“全球通”，月租50元，每通話1分鐘，付費0.4元；“神州行”不繳月租，每通話1分鐘，付費0.6元，若一個月內通話x分鐘，兩種通訊方式的費用分別為y1，y2(元)，. 寫出y1，y2與x之間的函數關系式？. 一

22、個月內通話多少分鐘，兩種通訊方式的費用相同？. 若某人預計一個月內使用話費200元，應選擇哪種通訊方式？解：y1=50+0.4x，y2=0.6x；： 當y1=y2時，50+0.4x=0.6x，0.2x=50，x=250當一個月內通話250分鐘時，兩種通訊方式費用相同；： 若某人預計月付資費200元， 采用第一種方式：200=50+0.4x， 0.4x=150 x=375（分鐘） 采用第二種方式：200=0.6x， 應采用第一種(全球通)方式.學習成果測評基礎達標一、選擇題1判斷下列各組中的兩個函數是同一函數的為( )，；，；，；，；，A、 B、 C D、2函數y=的定義域是( )A-1x1 B

23、x-1或x1 C0x1 D-1，13函數的值域是( )A(-，)(，+)B(-，)(，+)CR D(-，)(，+)4下列從集合A到集合B的對應中：A=R，B=(0，+)，f:xy=x2；A=-2，1，B=2，5，f:xy=x2+1；A=-3，3，B=1，3，f:xy=|x|其中，不是從集合A到集合B的映射的個數是( )A 1 B 2 C 3 D 45已知映射f:AB，在f的作用下，下列說法中不正確的是( ) A A中每個元素必有象，但B中元素不一定有原象 B B中元素可以有兩個原象C A中的任何元素有且只能有唯一的象D A與B必須是非空的數集6點(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)

24、，求點(4，6)在f下的原象( )A(，1) B(1，3) C(2，6) D(-1，-3)7已知集合P=x|0x4， Q=y|0y2，下列各表達式中不表示從P到Q的映射的是( )Ay= By= Cy=x Dy=x28下列圖象能夠成為某個函數圖象的是( ) 9函數的圖象與直線的公共點數目是( )A B C或 D或10已知集合，且，使中元素和中的元素對應，則的值分別為( )A B C D11已知，若，則的值是( )A B或 C，或 D12為了得到函數的圖象，可以把函數的圖象適當平移，這個平移是( )A沿軸向右平移個單位 B沿軸向右平移個單位C沿軸向左平移個單位 D沿軸向左平移個單位二、填空題1設函

25、數則實數的取值范圍是_2函數的定義域_3函數f(x)=3x-5在區(qū)間上的值域是_4若二次函數的圖象與x軸交于，且函數的最大值為，則這個二次函數的表達式是_5函數的定義域是_6函數的最小值是_三、解答題1求函數的定義域2求函數的值域3根據下列條件，求函數的解析式：(1)已知f(x)是一次函數，且f(f(x)=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函數，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；(4)已知；(5)已知f(x)的定義域為R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).能力提升一、選擇題1設函數，

26、則的表達式是( )A B C D2函數滿足則常數等于( )A3 B-3 C D3已知，那么等于( )A15 B1 C3 D304已知函數定義域是，則的定義域是( )A B C D 5函數的值域是( )A B C D6已知，則的解析式為( )A B C D二、填空題1若函數，則=_2若函數，則=_3函數的值域是_4已知，則不等式的解集是_5設函數，當時，的值有正有負，則實數的范圍_三、解答題1設是方程的兩實根，當為何值時，有最小值?求出這個最小值2求下列函數的定義域(1)； (2)3求下列函數的值域(1)； (2)綜合探究1某學生離家去學校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了再走余下的路程.

27、在下圖中，縱軸表示離學校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，如圖四個圖象中較符合該學生走法的是( )2.如圖所表示的函數解析式是( )A. B. C. D. 3函數的圖象是( )4.如圖，等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a，BC=a，BAD=45，作直線MNAD交AD于M，交折線ABCD于N，記AM=x，試將梯形ABCD位于直線MN左側的面積y表示為x的函數，并寫出函數的定義域.答案與解析： 基礎達標一、選擇題1C(1)定義域不同；(2)定義域不同；(3)對應法則不同；(4)定義域相同，且對應法則相同；(5)定義域不同2D由題意1-x20且x2-10， -1x1且x-1或 x1，x=1，選D3B法一：由y=，x= y， 應選B法二：4C提示：不是，均不滿足“A中任意”的限制條件5D提示：映射可以是任何兩個非空集合間的對應，而函數是要求非空數集之間6A設(4，6)在f下的原象是(x，y)，則，解之得x=， y=1，應選A7C0x4， 0x=2，應選C8C9C有可能是沒有交點的，如果有交點，那么對于僅有一個函數值10D按照對應法則， 而，11D該分段函數的三段各自的值域為，而 12D平