1、利用函數(shù)與不等式解方案設計與決策型問題一、從一道例題的解答看方案設計與決策型問題引例：恩發(fā)建筑公司從上海某廠購得挖機4臺，從北京某廠購得挖機10臺。現(xiàn)在決定運往重慶分公司8臺，其余都運往漢口分公司；從上海運往漢口、重慶的運費分別是300元/臺、500元/臺，從北京運往漢口、重慶的運費分別是400元/臺、800元/臺 。（1）若總運費為8400元，上海運往漢口應多少臺？解:(1）設上海運往漢口應x臺，則400(6-x)+ 300x + 800(x+4) + 500(4-x) = 8400解得:x=4因此，若總運費為8400元， 上海運往漢口應4臺。（2）若總運費少于8400元，有哪幾種調(diào)運方案？

2、解:（2）由題意知：200x+76008400解得:x 4x為非負整數(shù)x=0、1、2或3若要求總運費不超過 8400元，共有4種調(diào)運方案。如下表：上海到漢口（臺）上海到重慶（臺）北京到漢口（臺）北京到重慶（臺）方案一0464方案二1355方案三2246方案四3137（3）求出總運費最低的調(diào)運方案，總運費是多少？設總運費為y元，由題意知： y= 200x+76002000 x=0時y最小，為7600元。調(diào)運方案如下: 北京到漢口6臺，北京到重慶4臺，上海到重慶4臺.二、方案設計與決策型問題的基本解題方法方案設計型問題是指應用數(shù)學基礎知識建模的方法，來按題目所呈現(xiàn)的要求進行計算，論證，選擇，判斷，

3、設計的一種數(shù)學試題?？v觀近年來各地的中考試題，涉及方案設計與應用的試題大量涌現(xiàn)，它在考查學生數(shù)學創(chuàng)新應用能力方面可謂獨樹一幟，新穎別致。其類型有利用不等式（組）進行方案設計，利用概率與統(tǒng)計進行方案設計，利用函數(shù)知識進行方案設計，利用幾何知識進行方案設計。其中以利用函數(shù)與不等式解決的方案設計問題為最多。利用函數(shù)與不等式解決的方案設計問題的基本方法是：（1）根據(jù)題意建立一次函數(shù)關系式；（2）根據(jù)實際意義建立關于自變量的不等式組，求函數(shù)自變量的取值范圍；（3）根據(jù)函數(shù)自變量的取值范圍，確定符合條件的設計方案；（4）利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最大值或最小值，確定最優(yōu)化方案。三、2009年全國中考中的利用函數(shù)

4、與不等式解決的方案設計問題類型一、利用不等式解決的方案設計問題：【2009綿陽市中考題】李大爺一年前買入了相同數(shù)量的A、B兩種種兔，目前，他所養(yǎng)的這兩種種兔數(shù)量仍然相同，且A種種兔的數(shù)量比買入時增加了20只，B種種兔比買入時的2倍少10只（1）求一年前李大爺共買了多少只種兔？（2）李大爺目前準備賣出30只種兔，已知賣A種種兔可獲利15元只，賣B種種兔可獲利6元只如果要求賣出的A種種兔少于B種種兔，且總共獲利不低于280元，那么他有哪幾種賣兔方案？哪種方案獲利最大？請求出最大獲利解：（1）設李大爺一年前買A、B兩種種兔各x只，則由題意可列方程為 x + 20 = 2x10，解得 x = 30 即

5、一年前李大爺共買了60只種兔（2）設李大爺賣A種兔x只，則賣B種兔30x只，則由題意得 x30x， 15x +（30x）6280， 解 ，得 x15； 解 ，得x， 即 x15 x是整數(shù)，11.11， x = 12，13，14即李大爺有三種賣兔方案：方案一 賣A種種兔12只，B種種兔18只；可獲利 1215 + 186 = 288（元）；方案二 賣A種種兔13只，B種種兔17只；可獲利 1315 + 176 = 297（元）；方案三 賣A種種兔14只，B種種兔16只；可獲利 1415 + 166 = 306（元）顯然，方案三獲利最大，最大利潤為306元類型二、利用函數(shù)知識解決的方案設計問題：【

6、2009清遠市中考題】某飲料廠為了開發(fā)新產(chǎn)品，用種果汁原料和種果汁原料試制新型甲、乙兩種飲料共50千克，設甲種飲料需配制千克，兩種飲料的成本總額為元（1）已知甲種飲料成本每千克4元，乙種飲料成本每千克3元，請你寫出與之間的函數(shù)關系式（2）若用19千克種果汁原料和17.2千克種果汁原料試制甲、乙兩種新型飲料，下表是試驗的相關數(shù)據(jù)；每千克飲料果汁含量果汁甲乙A0.5千克0.2千克B0.3千克0.4千克請你列出關于且滿足題意的不等式組，求出它的解集，并由此分析如何配制這兩種飲料，可使值最小，最小值是多少？【答案】解：（1）依題意得：（2）依題意得：解不等式（1）得：解不等式（2）得：不等式組的解集為

7、，是隨的增大而增大，且當甲種飲料取28千克，乙種飲料取22千克時，成本總額最小，（元）類型三、利用不等式比較方案的優(yōu)劣：【2009濰坊市中考題】某蔬菜加工廠承擔出口蔬菜加工任務，有一批蔬菜產(chǎn)品需要裝入某一規(guī)格的紙箱供應這種紙箱有兩種方案可供選擇：方案一：從紙箱廠定制購買，每個紙箱價格為4元；方案二：由蔬菜加工廠租賃機器自己加工制作這種紙箱，機器租賃費按生產(chǎn)紙箱數(shù)收取工廠需要一次性投入機器安裝等費用16000元，每加工一個紙箱還需成本費2.4元（1）若需要這種規(guī)格的紙箱個，請分別寫出從紙箱廠購買紙箱的費用（元）和蔬菜加工廠自己加工制作紙箱的費用（元）關于（個）的函數(shù)關系式；（2）假設你是決策者，

8、你認為應該選擇哪種方案？并說明理由【答案】解：（1）從紙箱廠定制購買紙箱費用： 蔬菜加工廠自己加工紙箱費用： （2）當時，2.4x+160004x，解得：，當時，2.4x+160004x，解得：，當時，2.4x+160004x，解得：，所以，當時，選擇方案一，從紙箱廠定制購買紙箱所需的費用低；當時，兩種方案都可以，兩種方案所需的費用相同；當時，選擇方案二，蔬菜加工廠自己加工紙箱所需的費用低 四、基本訓練1（2009威海）響應“家電下鄉(xiāng)”的惠農(nóng)政策，某商場決定從廠家購進甲、乙、丙三種不同型號的電冰箱80臺，其中甲種電冰箱的臺數(shù)是乙種電冰箱臺數(shù)的2倍，購買三種電冰箱的總金額不超過132 000元已

9、知甲、乙、丙三種電冰箱的出廠價格分別為：1 200元/臺、1 600元/臺、2 000元/臺(1)至少購進乙種電冰箱多少臺？(2)若要求甲種電冰箱的臺數(shù)不超過丙種電冰箱的臺數(shù)，則有哪些購買方案？2（2009年益陽市）開學初，小芳和小亮去學校商店購買學習用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記本；小亮用31元買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本. (1)求每支鋼筆和每本筆記本的價格； (2)校運會后，班主任拿出200元學校獎勵基金交給班長，購買上述價格的鋼筆和筆記本共48件作為獎品，獎給校運會中表現(xiàn)突出的同學，要求筆記本數(shù)不少于鋼筆數(shù)，共有多少種購買方案？請你一一寫出.3(2009年內(nèi)江市)我市部分

10、地區(qū)近年出來持續(xù)干旱現(xiàn)象，為確保生產(chǎn)生活用水，某村決定由村里提供一點，村民捐一點的辦法籌集資金維護和新建一批儲水池。該村共有243戶村民，準備維護和新建的儲水池共有20個，費用和可供使用的戶數(shù)及用地情況如下表：儲水池費用（萬元/個）可供使用的戶數(shù)（戶/個）占地面積（/個）新建454維護3186已知可支配使用土地面積為106，若新建儲水池X個，新建和維護的總費用為y萬元。（1）求y與x 之間的函數(shù)關系；（2）滿足要求的方案各有幾種；（3）若平均每戶捐2000元時，村里出資最多和最少分別是多少？4（2009仙桃）宏志中學九年級300名同學畢業(yè)前夕給災區(qū)90名同學捐贈了一批學習用品(書包和文具盒)，

11、由于零花錢有限，每6人合買一個書包，每2人合買一個文具盒(每個同學都只參加一件學習用品的購買)，書包和文具盒的單價分別是54元和12元(1)若有x名同學參加購買書包，試求出購買學習用品的總件數(shù)y與x之間的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；(2)若捐贈學習用品總金額超過了2300元，且災區(qū)90名同學每人至少得到了一件學習用品，請問同學們?nèi)绾伟才刨徺I書包和文具盒的人數(shù)？此時選擇其中哪種方案，使購買學習用品的總件數(shù)最多？5（2009襄樊市）為實現(xiàn)區(qū)域教育均衡發(fā)展，我市計劃對某縣、兩類薄弱學校全部進行改造根據(jù)預算，共需資金1575萬元改造一所類學校和兩所類學校共需資金230萬元；改造兩所類學校

12、和一所類學校共需資金205萬元 （1）改造一所類學校和一所類學校所需的資金分別是多少萬元？ （2）若該縣的類學校不超過5所，則類學校至少有多少所？ （3）我市計劃今年對該縣、兩類學校共6所進行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔若今年國家財政撥付的改造資金不超過400萬元；地方財政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方財政投入到、兩類學校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元請你通過計算求出有幾種改造方案？型 號C進價(元套)405550售價(元套)5080656 (2009年眉山市) “六一”前夕，某玩具經(jīng)銷商用去2350元購進A、B、C三種新型的電動玩具共50套，并且購進的三種玩具都

13、不少于10套，設購進A種玩具套，B種玩具套，三種電動玩具的進價和售價如右表所示，用含、的代數(shù)式表示購進C種玩具的套數(shù)；求與之間的函數(shù)關系式；假設所購進的這三種玩具能全部賣出，且在購銷這種玩具的過程中需要另外支出各種費用200元。求出利潤P(元)與(套)之間的函數(shù)關系式；求出利潤的最大值，并寫出此時三種玩具各多少套。7（2009年十堰市）為執(zhí)行中央“節(jié)能減排，美化環(huán)境，建設美麗新農(nóng)村”的國策，我市某村計劃建造A、B兩種型號的沼氣池共20個，以解決該村所有農(nóng)戶的燃料問題兩種型號沼氣池的占地面積、使用農(nóng)戶數(shù)及造價見下表：型號占地面積(單位:m2/個 )使用農(nóng)戶數(shù)(單位:戶/個)造價(單位: 萬元/個

14、)A15182B20303已知可供建造沼氣池的占地面積不超過365m2，該村農(nóng)戶共有492戶(1)滿足條件的方案共有幾種?寫出解答過程(2)通過計算判斷，哪種建造方案最省錢8（2009年哈爾濱）躍壯五金商店準備從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件進行銷售若每個甲種零件的進價比每個乙種零件的進價少2元，且用80元購進甲種零件的數(shù)量與用100元購進乙種零件的數(shù)量相同 （1）求每個甲種零件、每個乙種零件的進價分別為多少元？ （2）若該五金商店本次購進甲種零件的數(shù)量比購進乙種零件的數(shù)量的3倍還少5個，購進兩種零件的總數(shù)量不超過95個，該五金商店每個甲種零件的銷售價格為12元，每個乙種零件的銷售價格為15元，

15、則將本次購進的甲、乙兩種零件全部售出后，可使銷售兩種零件的總利潤（利潤售價進價）超過371元，通過計算求出躍壯五金商店本次從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件有幾種方案？請你設計出來9（2009年齊齊哈爾市）某電腦公司經(jīng)銷甲種型號電腦，受經(jīng)濟危機影響，電腦價格不斷下降今年三月份的電腦售價比去年同期每臺降價1000元，如果賣出相同數(shù)量的電腦，去年銷售額為10萬元，今年銷售額只有8萬元（1）今年三月份甲種電腦每臺售價多少元？（2）為了增加收入，電腦公司決定再經(jīng)銷乙種型號電腦，已知甲種電腦每臺進價為3500元，乙種電腦每臺進價為3000元，公司預計用不多于5萬元且不少于4.8萬元的資金購進這兩種電腦共15

16、臺，有幾種進貨方案？（3）如果乙種電腦每臺售價為3800元，為打開乙種電腦的銷路，公司決定每售出一臺乙種電腦，返還顧客現(xiàn)金元，要使（2）中所有方案獲利相同，值應是多少？此時，哪種方案對公司更有利？ 10(2009年鄂州)某土產(chǎn)公司組織20輛汽車裝運甲、乙、丙三種土特產(chǎn)共120噸去外地銷售。按計劃20輛車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一種土特產(chǎn)，且必須裝滿，根據(jù)下表提供的信息，土特產(chǎn)種類甲乙丙每輛汽車運載量（噸）865每噸土特產(chǎn)獲利（百元）121610解答以下問題(1)設裝運甲種土特產(chǎn)的車輛數(shù)為x，裝運乙種土特產(chǎn)的車輛數(shù)為y，求y與x之間的函數(shù)關系式(2)如果裝運每種土特產(chǎn)的車輛都不少于3輛，那么

17、車輛的安排方案有幾種?并寫出每種安排方案。(3)若要使此次銷售獲利最大，應采用(2)中哪種安排方案?并求出最大利潤的值?！敬鸢浮?（2009年威海市）威海解：（1）設購買乙種電冰箱臺，則購買甲種電冰箱臺，丙種電冰箱臺，根據(jù)題意，列不等式：解這個不等式，得至少購進乙種電冰箱14臺（2）根據(jù)題意，得解這個不等式，得由（1）知又為正整數(shù)，所以，有三種購買方案：方案一：甲種電冰箱為28臺，乙種電冰箱為14臺，丙種電冰箱為38臺；方案二：甲種電冰箱為30臺，乙種電冰箱為15臺，丙種電冰箱為35臺；方案三：甲種電冰箱為32臺，乙種電冰箱為16臺，丙種電冰箱為32臺2（2009年益陽市）解：(1)設每支鋼筆

18、x元，每本筆記本y元依題意得： ，解得：答：每支鋼筆3元，每本筆記本5元 (2)設買a支鋼筆，則買筆記本(48a)本依題意得： ，解得： 所以，一共有種方案即購買鋼筆、筆記本的數(shù)量分別為：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，243(2009年內(nèi)江市)解：（1）由題意得y=4x+3(20-x)，即y=x+60（2）由題意得5x+18(20-x)243,4x+6(20-x)106，即x9，x7，7x9故滿足要求的方案有三種：新建7個維修13個；新建8個維修12個，新建9個維護11個（3）由y=x+60知y隨x的增大而增大當x=7時，y最小=67（萬），當x=9時，y最大=

19、69（萬）而居民捐款共2430.2=48.6（萬）村里出資最多為20.4萬，最少為18.4萬4（2009仙桃）解：（1）設有名同學參加購買書包，則有名同學購買文具盒，所以可購買書包個，購買文具盒個.所以購買學習用品的總件數(shù)與的關系式為：，即.（2）設有名同學參加購買書包，根據(jù)題意得解這個不等式組，得.又因為6人合買一個書包，故購書包的人數(shù)應為6的倍數(shù)，所以購買書包的人數(shù)應為：168，或174，或180相應購買文具盒的人數(shù)為：132，或126，或120.總件數(shù)與的關系式為：，隨的增大而減小當時，總件數(shù)最多.5（2009襄樊市）解：（1）設改造一所類學校和一所類學校所需的改造資金分別為萬元和萬元依

20、題意得：，解之得答：改造一所類學校和一所類學校所需的改造資金分別為60萬元和85萬元（2）設該縣有、兩類學校分別為所和所則類學校不超過5所 ，即：類學校至少有15所（3）設今年改造類學校所，則改造類學校為所，依題意得：，解之得，取整數(shù)，即：共有4種方案6（2009眉山）解：（1）購進C種玩具套數(shù)為：50xy（或47xy）（2）由題意得 整理得（3）利潤銷售收入進價其它費用又整理得購進C種電動玩具的套數(shù)為：據(jù)題意列不等式組，解得 x的范圍為，且x為整數(shù) 的最大值是23在中，0 P隨x的增大而增大當x取最大值23時，P有最大值，最大值為595元此時購進A、B、C種玩具分別為23套、16套、11套7

21、（2009年十堰市）解: (1) 設建造A型沼氣池 x 個，則建造B 型沼氣池(20x )個依題意得: 解得：7 x 9 x為整數(shù) x = 7，8 ，9 ，滿足條件的方案有三種(2)設建造A型沼氣池 x 個時，總費用為y萬元，則： y = 2x + 3( 20x) = x+ 60 1 0，y 隨x 增大而減小，當x=9 時，y的值最小，此時y= 51( 萬元 ) 此時方案為：建造A型沼氣池9個，建造B型沼氣池11個 8（2009年哈爾濱）解：（1）可列分式方程求解，但要注意檢驗，否則扣分；（2）依據(jù)題意列出不等式組，注意不等號中是否有等于，根據(jù)未知數(shù)都為整數(shù)，再結合不等式組的解集，確定未知數(shù)的具體數(shù)值，有幾個值，即有幾種方案.解：（1）設每個乙種零件進價為元，則每個甲種零件進價為元由題意得，解得檢驗：當時，是原分式方程的解（元）答：每個甲種零件的進價為8元，每個乙種零件的進價為10元（2）設購進乙種零件個，則購進甲種零件個由題意得解得為整數(shù)，或共有2種方案分別是：方案一：購進甲種零件67個，乙種零件24個；方案二：購進甲種零件70個，乙種零件25個9（2009年齊齊哈爾市）解：（1）設今年三月份甲種電腦每臺售價元，解得