1、第三章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)31 已知流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，由拉格朗日變數(shù)表示為 x =aekt，y =be-kt，z =c，式中k是不為零的常數(shù)。試求流體質(zhì)點(diǎn)的跡線、速度和加速度。解：（1）由題給條件知，流體質(zhì)點(diǎn)在z=c的平面上運(yùn)動(dòng)，消去時(shí)間t后，得xy=ab上式表示流體質(zhì)點(diǎn)的跡線是一雙曲線族：對(duì)于某一給定的（a，b）,則為一確定的雙曲線。（2） （3）32 已知流體運(yùn)動(dòng)，由歐拉變數(shù)表示為ux =kx，uy =ky，uz =0，式中k是不為零的常數(shù)。試求流場(chǎng)的加速度。 解：，33 已知ux =yzt，uy =zxt，uz =0，試求t =1時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)在（1，2，1）處的加速度。解： 34 已知平面不可壓縮液

2、體的流速分量為ux =1y，uy =t。試求（1）t =0時(shí)，過（0，0）點(diǎn)的跡線方程；（2）t =1時(shí)，過（0，0）點(diǎn)的流線方程。 解：（1）跡線的微分方程式為積分上式得：，當(dāng)t=0時(shí)，y=0，C1=0，所以 (1)，積分上式得： 當(dāng)t=0時(shí)，x=0，C2=0，所以 (2)消去（1）、（2）兩式中的t，得有理化后得 （2）流線的微分方程式為，積分上式得當(dāng)t=1時(shí)，x=y=0，C=0，所以可得：（為非恒定流）35 已知ux xt，uy yt，uz 0，試求t 2時(shí)，通過點(diǎn)A（1，1）的流線，并與例33相比較。解：由例33可得：當(dāng)t=2，x=1，y=1，C=3。因此，通過點(diǎn)A（1，1）的流線為

3、上式不同于例33，即當(dāng)t=0時(shí)通過A點(diǎn)的流線為xy1，說明不同時(shí)刻的流線不同。36 試求例36流體運(yùn)動(dòng)的流線方程和流體質(zhì)點(diǎn)通過點(diǎn)A（1，0）流線的形狀。解：例36流體運(yùn)動(dòng)如題3-6圖所示 ，題3-6圖流線方程： 積分，得，圓心（0，0），半徑。當(dāng)x=1，y=0，代入上式得C2=1。（）=1，為一圓，因是恒定流，不同時(shí)間為同一圓。37 已知，=0，式中是不為零的常數(shù)。試求：（1）流線方程，（2）t =1時(shí)，通過點(diǎn)A（1，0）流線的形狀，（3）將求得的流線方程與習(xí)題36求得的流線方程相比較，它們有什么異同。解：=0，為平面（二維）流動(dòng)。（1）流線方程 將、代入上式，得 ，積分得 ，流線方程一般形式

4、：。（2）t=1，x=1，y=0，代入上式，得C2=1；流線為=1，流線的形狀為一圓。（3）因是非恒定流，不同時(shí)間為不同的圓，如t=2，x=1，y=0，C2=2，38 試證明下列不可壓縮均質(zhì)流體運(yùn)動(dòng)中，哪些滿足連續(xù)性方程，哪些不滿足連續(xù)性方程。（1）uxky，uykx，uz0；（2）uxkx，uyky，uz0；（3）ux，uy，uz0；（4）uxay，uyuz0；（5）ux4，uy uz0；（6）ux1， uy 2；（7）ux 4x，uy 0；（8）ux 4xy，uy 0。解：平面流動(dòng)中，不可壓縮均質(zhì)流體的連續(xù)性方程為（1）000；（2）kk=0；（3）；（4）000；（5）000，（6）00

5、0；（7）400，（8）4y00。（1）(6)的流體運(yùn)動(dòng)滿足連續(xù)性方程；（7）、（8）的流體運(yùn)動(dòng)不滿足連續(xù)性方程，實(shí)際上流動(dòng)是不能實(shí)現(xiàn)的。39 已知水平圓管過流斷面上的流速分布為， umax為管軸處最大流速，r0為圓管半徑，r為點(diǎn)流速u距管軸的徑距。試求斷面平均速度v。解： 310 已知水平圓管過流斷面上的流速分布為，umax為管軸處最大流速，為圓管半徑，y為點(diǎn)流速ux距管壁的距離。試求斷面平均流速v。解：。311 設(shè)一有壓管流經(jīng)圓管進(jìn)入圓錐形的收斂管嘴，如圖所示。已知圓管直徑dA 0.2m，流量Q 0.014m3/s；dB 0.1m。試求經(jīng)過圓管內(nèi)點(diǎn)A和收斂管嘴內(nèi)點(diǎn)B的過流斷面的平均流速vA

6、、vB。注：經(jīng)過點(diǎn)B的過流斷面面積，可近似地視為球缺或球冠表面積，為（不包括底面面積）。 解：=經(jīng)過點(diǎn)B的過流斷面面積，可近似地視為球缺面積AB，式中h（0.050.05cos450）m =0.015m，0.05m。因此 312 送風(fēng)管的斷面面積為50 cm50cm，通過a、b、c、d四個(gè)送風(fēng)口向室內(nèi)輸送空氣，如圖所示。已知送風(fēng)口斷面面積均為40 cm40cm，氣體平均速度均為5m/s，試求通過送風(fēng)管過流斷面11、22、33的流量和流速。解：Q=5 ， ，313 蒸汽管道如圖所示。已知蒸汽干管前段的直徑d0 50mm，流速v0 25m/s，蒸汽密度0 2.62kg/m3；后段的直徑d145mm

7、，蒸汽密度1 2.24kg/m3。接出的支管直徑d2 40mm，蒸汽密度2 2.30kg/m3；試求分叉后的兩管末端的斷面平均流速1、2為多大，才能保證該兩管的質(zhì)量流量相等。解： （1） （2）聯(lián)立解（1）、（2）兩式，可得 314 空氣以標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)（溫度t0 =15，密度0 =1.225 kg/m3，壓強(qiáng)p0 =1.013105Pa）進(jìn)入壓氣機(jī)，流量Qv為20m3/min；流出時(shí)溫度t為60，絕對(duì)壓強(qiáng)p為800103Pa；如果壓氣機(jī)出口處流速限制為20m/s。試求壓氣機(jī)的出口管徑d。解：由狀態(tài)方程，計(jì)算壓氣機(jī)出口處的氣體密度，即由連續(xù)性方程求出口管徑d，因 ，。315 在直徑為d的圓形風(fēng)管斷面

8、上，用下法選定五個(gè)點(diǎn)來測(cè)量局部風(fēng)速。設(shè)想用與管軸同心，但不同半徑的圓周，將全部斷面分為中間是圓，其他是圓環(huán)的五個(gè)面積相等的部分，如圖所示。測(cè)點(diǎn)即位于等分此部分面積的圓周上。這樣測(cè)得的各點(diǎn)流速，分別代表相應(yīng)斷面的平均流速。試計(jì)算各測(cè)點(diǎn)到管軸的距離，以直徑的倍數(shù)表示；若各點(diǎn)流速分別為u1、u2、u3、u4、u5，空氣密度為，試求質(zhì)量流量Q。解：根據(jù)題意先將總圓面積五等分，再將每一等分面積用同心圓劃分為相等的兩部分。這樣，由內(nèi)到外的同心圓所包圍的面積，分別為總圓面積的1/10、3/10、5/10、7/10、9/10，相應(yīng)的半徑即為測(cè)點(diǎn)到管軸的距離。因此，, ，（）等分面積A= ，質(zhì)量流量為 =316

9、 試求下列流動(dòng)中的線變率、角變率。（1）ux ，；（2）ux2y，uy 2x。解：(1) ，(2)，rad/s，317 已知水平圓管過流斷面上的流速分布為，為管軸處最大流速，為圓管半徑，r為點(diǎn)流速ux距管軸的距離，r2=y2+z2，uy=0，uz=0。試求角變率zx、角轉(zhuǎn)速z，該流動(dòng)是否為有勢(shì)流。解： 因?yàn)?，所以不是有?shì)流。318 已知uxx2yy2，uyx2y2x，試求此流場(chǎng)中在x1、y2點(diǎn)處的線變率、角變率和角轉(zhuǎn)速。解：線變率: ，角變率: 角轉(zhuǎn)速: 在x=1、y=2點(diǎn)處：319 試判別習(xí)題38（1）（6）所列流動(dòng)中，哪些是無渦(有勢(shì))流，哪些是有渦流。解：平面流動(dòng)中，無渦流的流速場(chǎng)必須滿

10、足或，否則為有渦流。根據(jù)習(xí)題38的計(jì)算結(jié)果得（1）= ，；，無渦流；除原點(diǎn)以外是無渦流；（4）0a，有渦流；（5）00，無渦流；（6）00，無渦流。320 已知水平圓管過流斷面上的流速分布為 ，、g、J、均為常數(shù)，uy =uz=0。試求該流動(dòng)的渦線方程。解：，渦線微分方程為 所以可得 或上式說明渦線是與管軸同軸的同心圓。321 若在例37流場(chǎng)中的一個(gè)平面內(nèi)，作一圓形封閉曲線，如圖所示。試求沿圓周線的速度環(huán)量，是否為有勢(shì)流。解：例37流場(chǎng)為均勻直線流 為有勢(shì)流。322 試以速度環(huán)量來判明例36中的流動(dòng)，除原點(diǎn)（r0）外是有勢(shì)流。題3-22圖O解：沿圖中陰影線部分周線的速度環(huán)量 為所以，所論區(qū)域是有勢(shì)流動(dòng)。這一結(jié)論可適用于任何不包括圓心的周線AFGCDHEBA。但是，若取繞O點(diǎn)（包括圓心）的閉合圓周作為周線，則為常數(shù)。所以，任