1、平方根 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根2了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用開方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平方根和算術(shù)平方根的概念1.算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即,那么這個(gè)正數(shù)x叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù). 要點(diǎn)詮釋：當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即0，0.2.平方根的定義 如果，那么叫做的平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運(yùn)算. (0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根. 要點(diǎn)二、平方根和算

2、術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和2聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；（2）被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)； （3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0要點(diǎn)詮釋：（1）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒有平方根（2）正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根.要點(diǎn)三、平方根的性質(zhì)要點(diǎn)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如：，.【典型例題】類型一、平方根和算術(shù)平方根的概念1、若24與31是同一個(gè)

3、正數(shù)的兩個(gè)平方根，求的值【思路點(diǎn)撥】由于同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，由此可以得到24（31），解方程即可求解【答案與解析】解：依題意得 24（31），解得1；的值為1【總結(jié)升華】此題主要考查了平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)舉一反三：【變式】已知21與2是的平方根，求的值.【答案】21與2是的平方根，所以21與2相等或互為相反數(shù).解：當(dāng)212時(shí)，1，所以當(dāng)21（2）0時(shí)，1，所以2、為何值時(shí)，下列各式有意義？(1)； (2)； (3)； (4)【答案與解析】解：(1)因?yàn)?，所以?dāng)取任何值時(shí)，都有意義(2)由題意可知：，所以時(shí)，有意義(3)由題意可知：解得：所以時(shí)有意義(

4、4)由題意可知：，解得且所以當(dāng)且時(shí)，有意義【總結(jié)升華】(1)當(dāng)被開方數(shù)不是數(shù)字，而是一個(gè)含字母的代數(shù)式時(shí)，一定要討論，只有當(dāng)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)時(shí)，式子才有意義(2)當(dāng)分母中含有字母時(shí)，只有當(dāng)分母不為0時(shí)，式子才有意義舉一反三：【變式】已知，求的算術(shù)平方根【答案】解：根據(jù)題意，得則，所以2，的算術(shù)平方根為類型二、平方根的運(yùn)算3、求下列各式的值(1)；(2)【思路點(diǎn)撥】（1）首先要弄清楚每個(gè)符號(hào)表示的意義.（2）注意運(yùn)算順序.【答案與解析】解：(1)；(2)【總結(jié)升華】(1)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是先算平方開方，再乘除，后加減，同一級(jí)運(yùn)算按先后順序進(jìn)行(2)初學(xué)可以根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的意義和表示方法

5、來解，熟練后直接根據(jù)來解類型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的.（1） （2）；（3）【答案與解析】解：（1） （2） 117 16或18. （3） 【總結(jié)升華】本題的實(shí)質(zhì)是一元二次方程，開平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小題中運(yùn)用了整體思想分散了難度.舉一反三：【變式】求下列等式中的：（1）若，則_； （2），則_；（3）若則_； （4）若，則_【答案】（1）1.1；（2）13；（3）；（4）2.類型四、平方根的綜合應(yīng)用5、已知、是實(shí)數(shù)，且，解關(guān)于的方程【答案與解析】解：、是實(shí)數(shù)，3，把3，代入，得24，6【總結(jié)升華】本題是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)與方程的知識(shí)相結(jié)合的一道題，應(yīng)先求出、的值，再解方程此類題主要是考查完全平方式、算術(shù)平方根、絕對(duì)值三者的非負(fù)性，只需令每項(xiàng)分別等于零即可舉一反三：【變式】若，求的值【答案】解：由，得，即，當(dāng)1，1時(shí)，當(dāng)1，1時(shí)，6、小麗想用一塊面積為400的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300 的長方形紙片，使它長寬之比為，請(qǐng)你說明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的長方形紙片.【答案與解析】解：設(shè)長方形紙片的長為3 (0) ，則寬為2，依題意得 . . . 0， . 長方形紙片的長為. 5049, . , 即長方形紙片的長大于20. 由正方形紙片的面積為400 , 可知其邊長為20, 長方形的