1、高一必修一人教A版 學(xué)校 姓名 函數(shù)和方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)重點(diǎn)理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，判定二次函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，會(huì)求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系；(3)根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計(jì)算器用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似解，了解這種方法是求函數(shù)零點(diǎn)近似解的常用方法.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：函數(shù)的零點(diǎn)1.函數(shù)的零點(diǎn)（1）一般地，如果函數(shù)在實(shí)數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根歸納：方程有

2、實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)（2）二次函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)見(jiàn)下表.判別式方程的根函數(shù)的零點(diǎn)兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)二重零點(diǎn)無(wú)實(shí)根無(wú)零點(diǎn)（3）二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)（不是二重零點(diǎn)），函數(shù)值變號(hào).相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有的函數(shù)值保持同號(hào).引伸：對(duì)任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2函數(shù)零點(diǎn)的判定（1）利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定定理如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)，使，這個(gè)也就是方程的根.要點(diǎn)詮釋：滿足上述條件

3、，我們只能判定區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，但不能確定有幾個(gè)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有一個(gè)；若不單調(diào)，則個(gè)數(shù)不確定若函數(shù)在區(qū)間上有，在內(nèi)也可能有零點(diǎn)，例如在上，在區(qū)間上就是這樣的故在內(nèi)有零點(diǎn)，不一定有若函數(shù)在區(qū)間上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，在內(nèi)也可能是有零點(diǎn)，例如函數(shù)在上就是這樣的（2）利用方程求解法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，先考慮解方程，方程無(wú)實(shí)根則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，方程有實(shí)根則函數(shù)有零點(diǎn)（3）利用數(shù)形結(jié)合法函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)要點(diǎn)二：一元二次方程根的分布與方程系數(shù)的關(guān)系（1）設(shè)x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩實(shí)根，則x1、x2的分布范圍與一元二次方程的系

4、數(shù)之間的關(guān)系是：當(dāng)x1x2k時(shí)，有；當(dāng)kx1x2時(shí)，有；當(dāng)x1kx2時(shí)，；當(dāng)x1，x2（k1，k2）時(shí)，有；當(dāng)x1、x2有且僅有一個(gè)在（k1，k2）時(shí)，有要點(diǎn)詮釋：討論二次函數(shù)的根在區(qū)間的分布情況一般需從三方面考慮：判別式；區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào)；對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置當(dāng)k=0時(shí)，也就是一元二次方程根的零分布（2）所謂一元二次方程根的零分布，是指方程的根相對(duì)于零的關(guān)系比如一元二次方程有一正根，有一負(fù)根，其實(shí)就是指這個(gè)二次方程一個(gè)根比零大，一個(gè)根比零小，或者說(shuō)這兩個(gè)根分布在零的兩側(cè)設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩個(gè)實(shí)根為x1，x2，且x1x2；x1=0，x20c=0，且；x10，x

5、2=0c=0，且要點(diǎn)三：二分法1.二分法所謂二分法就是通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法.2.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：已知函數(shù)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個(gè)零點(diǎn)x0的近似值x，使它滿足給定的精確度.第一步：在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間，使與異號(hào)，即，零點(diǎn)位于區(qū)間中.第二步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為.計(jì)算和，并判斷：如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令第三步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為 .計(jì)算和，并判斷：如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；如果，則零

6、點(diǎn)位于區(qū)間中，令；繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間上，當(dāng)和按照給定的精確度所取的近似值相同時(shí)，這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止.這時(shí)函數(shù)的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度.要點(diǎn)詮釋：（1）第一步中要使：區(qū)間長(zhǎng)度盡量?。?、的值比較容易計(jì)算且（2）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)和求相應(yīng)方程的根式等價(jià)的對(duì)于求方程的根，可以構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根【經(jīng)典例題】類型一、求函數(shù)的零點(diǎn)例1. 求下列函數(shù)的零點(diǎn).(1) ；(2)；（3）【答案】（1）-3，1；（2）-1，1；（3）-2，0，2【解析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系，要求函數(shù)的零點(diǎn)，就是求相應(yīng)方程

7、的實(shí)數(shù)根. (1) 由，令，得，故函數(shù)零點(diǎn)是-3，1；(2)由，令得x=1，-1，故函數(shù)的零點(diǎn)是-1，1；(3)令，即，即，得，故函數(shù)的零點(diǎn)是-2，0，2【總結(jié)升華】求函數(shù)的零點(diǎn)就是求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，從而得到函數(shù)的零點(diǎn).舉一反三：【變式1】求函數(shù)：(1)；(2)的零點(diǎn).【答案】（1）；（2）-3，1，2【解析】(1) 令，即，得(2)方程可化為由知所以函數(shù)的零點(diǎn)為；函數(shù)的零點(diǎn)為-3，1，2.【總結(jié)升華】三次因式分解的關(guān)鍵是，裂項(xiàng)后的兩組分別要有公因式可提取，函數(shù)求零點(diǎn)的題目和解方程的題目可相互轉(zhuǎn)化.類型二、函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理例2與分別是實(shí)

8、系數(shù)一元二次方程和的一個(gè)根，且，。求證：方程有且僅有一根介于與之間。證明：令與分別是實(shí)系數(shù)一元二次方程和的一個(gè)根， ，故，方程有且僅有一根介于與之間【總結(jié)升華】這是最基本的題型，所用的方法也是基本方法：只要判斷區(qū)間a，b的端點(diǎn)值的乘積是否滿足，還要看函數(shù)的圖象在a，b上是否是連續(xù)曲線即可解答這類判斷函數(shù)零點(diǎn)的大致區(qū)間的選擇題，只需用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理依次檢驗(yàn)所提供的區(qū)間，即可得到答案舉一反三：【變式1】若函數(shù)，則下列判斷正確的是（ ）A方程f（x）=0在區(qū)間0，1內(nèi)一定有解B方程f（x）=0在區(qū)間0，1內(nèi)一定無(wú)解C函數(shù)f（x）是奇函數(shù)D函數(shù)f（x）是偶函數(shù)【答案】A【變式2】若方程在（0，1

9、）恰好有一解，求a的取值范圍【答案】【解析】（1）當(dāng)時(shí)，方程為，不滿足題意舍去（2）當(dāng)時(shí)，令，分情況討論：，不滿足題意舍去，若且即，滿足題意若且即時(shí)，的另一解是綜上所述，滿足條件的的取值范圍是類型三、利用函數(shù)圖象求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)例3試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【解析】由得，令的圖象如圖所示，當(dāng)即時(shí)，與無(wú)公共點(diǎn)當(dāng)或，即或時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)即時(shí)，與有四個(gè)交點(diǎn)當(dāng)，即時(shí)，與有三個(gè)交點(diǎn)所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)【總結(jié)升華】體現(xiàn)了函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，它對(duì)于解決有更多限制條件的問(wèn)題提供了一種新的途徑舉一反三：【變式1】關(guān)于x的方程

10、(x21)2|x21|+k=0，給出下列四個(gè)命題：存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不等的實(shí)根；存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不等的實(shí)根；存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有5個(gè)不等的實(shí)根；存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有8個(gè)不等的實(shí)根 其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）A0 B1 C2 D3【答案】A【解析】 據(jù)題意令|x21|=t（t0） ，則原方程化為 t2t+k=0 ，作出函數(shù)y=|x21|的圖象如圖，結(jié)合函數(shù)的圖象可知：當(dāng)t=0或t1時(shí)，方程有2個(gè)不等的實(shí)根；當(dāng)0t1時(shí)，方程有4個(gè)不等的實(shí)根；當(dāng)t=1時(shí)，方程有3個(gè)不等的實(shí)根（1）當(dāng)時(shí)，方程t2t+k=0存在2個(gè)不等的小于1的正實(shí)根，原方程就存在8個(gè)不等的實(shí)根；（2）當(dāng)k

11、=0時(shí)，t=0或t=1，原方程存在0，1，1，共5個(gè)不等的實(shí)根；（3）當(dāng)時(shí)，原方程存在共4個(gè)不等的實(shí)根；（4）當(dāng)k0時(shí)，一元二次方程t2t+k=0的根為一正一負(fù)，且兩根之和為1，可知方程t2t+k=0的正根t1，故原方程只有2個(gè)不等的實(shí)根；（5）當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，故原方程無(wú)實(shí)根故選A類型四、一元二次方程根的分布例4已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0 （1）若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（1，0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1,2）內(nèi)，求的取值范圍（2）若方程兩根均在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）條件說(shuō)明函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間（-1,0）和（1,2）內(nèi)，由圖1可知，

12、 （2）函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間（0，1）內(nèi)，由圖2知必有【總結(jié)升華】本例兩個(gè)小題均可以用解方程的方法求解，但很繁瑣，而利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象求解就變得非常直觀簡(jiǎn)捷“方程與函數(shù)思想”“數(shù)形結(jié)合思想”是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)重要思想，解題中要注意應(yīng)用探究 本例中若方程的二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)（mx2+2x+m+2=0，m0），如何求解？可以用分類討論方法求解，即討論m0和m0，結(jié)合圖象求解；注意討論過(guò)程中，函數(shù)端點(diǎn)值的符號(hào)與m的正負(fù)有關(guān)，因此也可用下面方法求解即設(shè)，則在（1）中有，在（2）中有例5若二次函數(shù)y=x2+mx1的圖象與兩端點(diǎn)為A（0，3），B（3，0）的線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍【答案】 【解

13、析】 先求出線段AB的方程，之后將圖象交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組解的問(wèn)題，再將方程組解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)的問(wèn)題，最后通過(guò)不等式組求得m范圍 線段AB的方程為x+y=3（0x3），由題意得方程組有兩組實(shí)解代入得x2(m+1)x+4=0（0x3）有兩個(gè)實(shí)根，令因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在x0，3上有兩個(gè)不同的實(shí)根，故有，解得故m的取值范圍是【總結(jié)升華】本題解法體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想：從列方程（組）開(kāi)始，通過(guò)消元得到一元二次方程，對(duì)這個(gè)方程實(shí)根的研究轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(x)在0，3的實(shí)根，又轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(x)在0，3上與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，最后建立m的不等式組求出m的取值范圍，整個(gè)解題過(guò)程

14、充滿了對(duì)函數(shù)、方程和不等式的研究和轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了函數(shù)方程思想的應(yīng)用舉一反三：【變式1】 關(guān)于x的方程ax22(a+1)x+a1=0，求a為何值時(shí)：（1）方程有一根；（2）方程有一正一負(fù)根；（3）方程兩根都大于1；（4）方程有一根大于1，一根小于1【答案】（1）或（2）（3）不存在實(shí)數(shù)（4）【解析】（1）當(dāng)a=0時(shí)，方程變?yōu)?x1=0，即，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程為二次方程，因?yàn)榉匠逃幸桓?，所以，解得綜上可知，當(dāng)或時(shí)，關(guān)于的方程ax22(a+1)x+a1=0有一根（2）因?yàn)榉匠逃幸徽回?fù)根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得又解得（3）方程兩根都大于1，圖象大致如圖所以必須滿足或兩不等式組均無(wú)解所以不存在實(shí)數(shù)

15、，使方程兩根都大于1（4）因?yàn)榉匠逃幸桓笥?，一根小于1，圖象大致如圖所以必須滿足或解得類型五、用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值例6.求函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)(精確到0.1).【答案】1.7【解析】由于，可取區(qū)間作為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐步計(jì)算，列表如下：區(qū)間中點(diǎn)中點(diǎn)函數(shù)值1，21.5-2.6251.5，21.750.23441.5，1.751.625-1.30271.625，1.751.6875-0.56181.6875，1.751.71875-0.1709由上表計(jì)算可知，區(qū)間1.6875，1.75的長(zhǎng)度1.75-1.6875=0.06250.1，所以可以將1.6875的近似值1.7作為函數(shù)零

16、點(diǎn)的近似值.【總結(jié)升華】應(yīng)首先判斷x的取正整數(shù)時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)，使正整數(shù)所對(duì)應(yīng)的區(qū)間盡量小，便于利用二分法求其近似值.舉一反三：【變式1】用二分法求函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)（精確到）【答案】2.24【解析】由，可知函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)在區(qū)間中；取的區(qū)間中點(diǎn)；計(jì)算；由于，則有零點(diǎn)的新區(qū)間為取的區(qū)間中點(diǎn)；計(jì)算；由于，則有零點(diǎn)的新區(qū)間為；取的區(qū)間中點(diǎn)；計(jì)算；由于，則有零點(diǎn)的新區(qū)間為；取的區(qū)間中點(diǎn)；計(jì)算；由于，則有零點(diǎn)的新區(qū)間為；取的區(qū)間中點(diǎn)計(jì)算；由于，則有零點(diǎn)的新區(qū)間為；取的區(qū)間中點(diǎn)；計(jì)算；由于，由于，則有零點(diǎn)的新區(qū)間為；又因?yàn)榱泓c(diǎn)要求精確到，而區(qū)間兩端點(diǎn)近似值相同都是2.24，所以函數(shù)的一個(gè)正零點(diǎn)為：2.24

17、.類型六、用二分法解決實(shí)際問(wèn)題例7 學(xué)校請(qǐng)了30名木工制作200把椅子和100張課桌已知制作一張課桌和一把椅子的工時(shí)之比為107，問(wèn)30名工人如何分組（一組制作課桌，一組制作椅子）能使任務(wù)完成最快？【答案】 13人 、17人【解析】 設(shè)x（1x29，xN）名工人制作課桌，（30x）名工人制作椅子一名工人在一個(gè)單位時(shí)間里可制作7張桌子或10把椅子，所以制作100張課桌所需的時(shí)間，制作200把椅子所需要的時(shí)間要想任務(wù)完成最快，則應(yīng)求y=maxP(x)，Q(x)的最小值，該函數(shù)圖象如圖3-1-2-5中實(shí)線部分所示，則x0即為y取最小值時(shí)的x的值此時(shí)P(x)=Q(x)，下面用二分法的知識(shí)求x0的整數(shù)值

18、令，則，所以x0（1，29）；取中點(diǎn)，f(15)0.380，所以x0（1，15）；同理可得x0（8，15），x0（11.5，15），x0（11.5，13.25），x0（12.375，13.25），x0（12.375，12.8125），又因?yàn)閤0N，所以x0=12或x0=13當(dāng)x0=12時(shí)，y=maxP(x)，Q(x)1.19；當(dāng)x0=13時(shí)，y=maxP(x)，Q(x)1.181.19，所以取x0=13，即用13名工人制作課桌，17名工人制作椅子，可使任務(wù)完成最快【總結(jié)升華】首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，然后用二分法求方程的解本題也可以直接求方程的解舉一反三：【變式1】 某電腦公司生產(chǎn)A種型號(hào)的筆記本電腦，2006年平均每臺(tái)電腦生產(chǎn)成本5000元，并以純利潤(rùn)20%標(biāo)定出廠價(jià)從2007年開(kāi)始，公司更新設(shè)備，加強(qiáng)管理，逐步推行股份制，從而使生產(chǎn)成本逐年降低，2010年平均每臺(tái)A種型號(hào)的筆記本電腦盡管出廠價(jià)僅是2006年出廠價(jià)的80%，但卻實(shí)現(xiàn)了純利潤(rùn)50%的高效益 （1）求2010年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本；（2）以20