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文檔簡介

1、8. Bessel 函數(shù)的性質(zhì),2009. 4. 9,一. Bessel方程的引出,設(shè)有半徑為 b 的薄圓盤, 其側(cè)面絕熱, 若圓盤邊界,例：,溫度分布。,上溫度恒為零度, 且初始溫度已知, 求圓盤內(nèi)瞬時(shí),解：,此問題可以歸結(jié)為如下二維方程的定解問題：,用分離變量法求解,先將 t 分離出來,設(shè)方程的解為,帶入原方程得,即,由此可得,前一方程的通解為,其中A 為常數(shù)。,后一方程稱為 Helmholtz,方程。,它須滿足條件,為求其解，,將方程,和條件寫成極坐標(biāo)形式。,再令,代入上式得,由(*)式及周期條件,得特征值,對應(yīng)特征函數(shù)為,將,代入(*)式得,據(jù)此得(*)的通解為,由定解條件及溫度有限知

2、,此為第一類邊界條件下Bessel函數(shù)的本征值問題，,進(jìn)一步的討論涉及 Bessel 函數(shù)的零點(diǎn)等問題。,若,方程：,若,(*)式化為,因此,且,其通解為,由定解條件及溫度條件得,此時(shí)方程(*)只有零解。,若,令,方程(*)化為,稱此方程為修正的 Bessel 方程，,將在后面討論。,圖4.1.1 （a）,圖4.1.1（b）,二. Bessel函數(shù)的性質(zhì),二. Bessel函數(shù)的性質(zhì),Bessel 函數(shù)具有如下性質(zhì)：,無有限值。,的零點(diǎn)在實(shí)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱分布。,的第 n 個(gè)正零點(diǎn),則,4.,且,由上述關(guān)于Bessel 函數(shù)零點(diǎn)的討論,本征值問題,應(yīng)該為,因,必有,對應(yīng)的本征函數(shù)是,一般地,Bessel 函數(shù)的本征值問題為,三. Bessel函數(shù)的遞推公式,整數(shù)階Bessel 函數(shù)是,它滿足如下遞推公式：,1.,2.,3.,4.,5.,6.,證明,特別地,或,證明,第二類Bessel 函數(shù),有類似

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