1、 插板法就是在n個(gè)元素間的（n-1）個(gè)空中插入 若干個(gè)（b）個(gè)板，可以把n個(gè)元素分成（b+1）組的方法。應(yīng)用插板法必須滿足三個(gè)條件： （1） 這n個(gè)元素必須互不相異 （2） 所分成的每一組至少分得一個(gè)元素 (3) 分成的組別彼此相異 舉個(gè)很普通的例子來說明 把10個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的箱子，每個(gè)箱子至少一個(gè)，問有幾種情況？ = 問題的題干滿足 條件（1）（2），適用插板法，=36 下面通過幾道題目介紹下插板法的應(yīng)用 = a 湊元素插板法 （有些題目滿足條件（1），不滿足條件（2），此時(shí)可適用此方法） 例：把10個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的箱子，問有幾種情況？ 3個(gè)箱子都可能取到空球，條件（2

2、）不滿足，此時(shí)如果在3個(gè)箱子種各預(yù)先放入 1個(gè)小球，則問題就等價(jià)于把13個(gè)相同小球放入3個(gè)不同箱子，每個(gè)箱子至少一個(gè)，有幾種情況？顯然就是=66 = 例：把10個(gè)相同小球放入3個(gè)不同箱子，第一個(gè)箱子至少1個(gè)，第二個(gè)箱子至少3個(gè)，第三個(gè)箱子可以放空球，有幾種情況？ 我們可以在第二個(gè)箱子先放入10個(gè)小球中的2個(gè)，小球剩8個(gè)放3個(gè)箱子，然后在第三個(gè)箱子放入8個(gè)小球之外的1個(gè)小球，則問題轉(zhuǎn)化為 把9個(gè)相同小球放3不同箱子，每箱至少1個(gè)，幾種方法？ =28 = b 添板插板法 例：把10個(gè)相同小球放入3個(gè)不同的箱子，問有幾種情況？ -o - o - o - o - o - o - o - o - o -

3、 o - o表示10個(gè)小球，-表示空位 11個(gè)空位中取2個(gè)加入2塊板，第一組和第三組可以取到空的情況，第2組始終不能取空 此時(shí) 若在 第11個(gè)空位后加入第12塊板，設(shè)取到該板時(shí)，第二組取球?yàn)榭?則每一組都可能取球?yàn)榭?=66 = 例：有一類自然數(shù)，從第三個(gè)數(shù)字開始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面兩個(gè)數(shù)字之和，直至不能再寫為止，如257，1459等等，這類數(shù)共有幾個(gè)？ 因?yàn)榍?位數(shù)字唯一對應(yīng)了符合要求的一個(gè)數(shù)，只要求出前2位有幾種情況即可，設(shè)前兩位為ab 顯然a+b9 且a不為0 1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - 1代表9個(gè)1，-代表10個(gè)空位 我們可以在這9個(gè)空位中插入2個(gè)板，分

4、成3組，第一組取到a個(gè)1，第二組取到b個(gè)1，但此時(shí)第二組始終不能取空，若多添加第10個(gè)空時(shí)，設(shè)取到該板時(shí)第二組取空，即b=0，所以一共有 =45 - 例：有一類自然數(shù)，從第四個(gè)數(shù)字開始，每個(gè)數(shù)字都恰好是它前面三個(gè)數(shù)字之和，直至不能再寫為止，如2349，1427等等，這類數(shù)共有幾個(gè)？ 類似的，某數(shù)的前三位為abc，a+b+c=9,a不為0 1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - - 在9個(gè)空位種插如3板，分成4組，第一組取a個(gè)1，第二組取b個(gè)1，第三組取c個(gè)1，由于第二，第三組都不能取到空，所以添加2塊板 設(shè)取到第10個(gè)板時(shí)，第二組取空，即b=0；取到第11個(gè)板時(shí)，第三組取空

5、，即c=0。所以一共有=165 = c 選板法 例： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完為止，求有多少種不同吃法？ o - o - o - o - o - o - o - o - o - o o代表10個(gè)糖，-代表9塊板 10塊糖，9個(gè)空，插入9塊板，每個(gè)板都可以選擇放或是不放，相鄰兩個(gè)板間的糖一天吃掉 這樣一共就是 29= 512啦 = d 分類插板 例7： 小梅有15塊糖，如果每天至少吃3塊，吃完為止，那么共有多少種不同的吃法？ 此問題不能用插板法的原因在于沒有規(guī)定一定要吃幾天，因此我們需要對吃的天數(shù)進(jìn)行分類討論 最多吃5天，最少吃1天 1:吃1天或是5天，各一種吃法 一共2種情況 2：吃2天，每天預(yù)先吃2塊，即問11塊糖，每天至少吃1塊，吃2天，幾種情況？ c10 1=10 3：吃3天，每天預(yù)先吃2塊，即問9塊糖，每天至少1塊，吃3天? c8 2=28 4：吃4天，每天預(yù)先吃2塊，即問7塊糖，每天至少1塊，吃4天？c6 3=20 所以一共是 2+10+28+20=60 種 = e 二次插板法 例 ：在一張節(jié)目單中原有6個(gè)節(jié)目，若保持這些節(jié)目相對次序不變，再添加3個(gè)節(jié)目，共有幾種情況？ -o