1、第三章 生命表,英漢單詞對照,死亡年齡 生命表 剩余壽命 整數(shù)剩余壽命 死亡效力 極限年齡 選擇與終極生命表,Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables,第一節(jié) 生命表的概念和種類,一、定義 生命表又稱為死亡表、壽命表、死亡率表，它是根據(jù)已往一定時期內，各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制成的、由每個年齡死亡率所組成的匯總表，是一種描述壽命分布的工具。 1662年，Jone Graunt根據(jù)倫敦瘟疫時期

2、的洗禮和死亡名單，寫過生命表的自然和政治觀察。這是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,根據(jù)Breslau城出生與下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。 1995年，我國編制了第一張壽險行業(yè)經驗生命表，即“中國人壽保險業(yè)經驗生命表（1990-1993）”，實現(xiàn)了從無到有的飛躍。,二、特點與構成,1、特點 構造原理簡單、數(shù)據(jù)準確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法） 2、構成 原理：在大數(shù)定理的基礎上，用觀察數(shù)據(jù)計算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計頻率） 主要項目：一般有

3、5列。 X列：按周歲計算的各年齡。 qx列：各年齡間的死亡概率。 lx列：到x歲尚生存的人數(shù)。 dx列：各年齡間的死亡人數(shù)。 列：x歲人的余命的平均值。,三、用途和分類,1、用途： 生命表是過去經驗的總結，而在壽險中，保險金的給付、責任準備金的提取、保單現(xiàn)金價值的估計、保單紅利的分配都與被保險人的死亡率息息相關，因此反映了被保險人生命規(guī)律的生命表對于壽險經驗有著非常重要的作用。,2、分類,按照計算死亡率的資料來源不同： 國民生命表：源于人口普查資料，反映一個特定時期內全國人口的壽命分布情況。 經驗生命表：源于壽險公司的承保經驗，反映被保險人群的壽命分布情況。 經驗生命表的分類 按應用范圍不同：

4、 壽險生命表vs年金生命表 按性別不同： 男性生命表vs女性生命表 按統(tǒng)計范圍不同 檢選生命表vs終極生命表vs綜合生命表,四、各類生命表之間的關系,國民生命表與經驗生命表 死亡率經驗死亡率國民 壽險生命表與年金生命表 死亡率年金死亡率壽險 男性生命表與女性生命表 死亡率女性死亡率男性 檢選生命表與終極生命表 死亡率隨承保期的增加而增加 檢選生命表基于簽單年齡而設計 由于驗體效力的作用，在相同的年齡段，死亡率簽單死亡率終極,思考：一般情況下，保險公司更愿意使用國民生命表還是經驗生命表，為什么？,因為國民生命表中的調查對象沒有經過保險公司的風險選擇，其反映的死亡率一般情況下與經驗生命表中的死亡率

5、不同經過體檢、核保等程序，被批準的保單中的被保險人的平均健康狀況要優(yōu)于全體國民，經驗生命表所反映的死亡率也相對較低，基于穩(wěn)健經營的考慮，因此保險公司使用的是經驗生命表。,第二節(jié) 生命表基本函數(shù),初始年齡為0歲，初始人數(shù)l0，極限年齡w=105，lw=0 一、生命表中的各類人數(shù) 1、dx：x歲的人在未來一年內（x歲x+1歲之間）死亡的人數(shù)。 2、tdx：x歲的人在x歲x+t歲間死亡的人數(shù)。 3、lx：從初始年齡0歲到滿x歲還生存的人數(shù)。,二、生命表中的各類概率,1、qx：x歲的人在xx+1歲之間死亡的概率。 2、tqx：x歲的人在xx+t歲之間死亡的概率。 3、px：x歲的人在1年后仍生存的概率

6、。 4、tpx：x歲的人到x+t歲仍生存的概率。 5、 ：x歲的人在未來t年到t+m年之間死亡的概率。,例3-1 根據(jù)中國人壽保險業(yè)經驗生命表（2000-2003，非養(yǎng)老金-男）中的數(shù)據(jù)，計算以下概率：（1）4歲的人在5歲前死亡的概率；（2）4歲的人2年后還活著的概率；（3）4歲的人活過30歲的概率；（4）4歲的人在30至35歲間死亡的概率。,（1） q4=0.000358 （2）2p4=p4 * p5=p4 * （1-q5） =（1-0.000358）*（1-0.000323） =0.999319 （3）26p4=l30/l4=984635/997762 （4）（l30-l35）/l4=（9

7、84635-979738）/997762,三、生命表中的各類時間,1、tLx：x歲的人在xx+t歲間的生存人年數(shù)。 人年數(shù)（復合單位）：人群存活時間的復合單位。1個人存活1年是1人年，2個人每人存活半年也是1人年。 在死亡均勻分布的假設下，xx+t歲間死亡的人數(shù)tdx平均存活t/2年，活到lx+t的人則存活t年，故有： 2、Tx：x歲的人群未來累積的生存人年數(shù)。 在死亡均勻分布假設下：,3、平均余命(生命期望值) ：X歲人群未來的平均剩余壽命。 簡約平均余命：x歲人群未來生存的整年數(shù)。 完全平均余命：x歲人群未來生存的平均時間，含非整年的月份數(shù)。,第三節(jié) 生命函數(shù)（生存分布）,一、新生兒的生命

8、函數(shù) 年齡是人出生后存活時間的度量，是一個連續(xù)隨機變量，設新生兒未來死亡年齡為X，其分布函數(shù)為： F(x)表示新生兒在x歲前死亡的概率，即xq0 設 ， 這是新生兒活到x歲的概率，即xp0，s(x)就是生存函數(shù)。 新生兒在xz歲間死亡的概率為： E(x)表示x的期望值，即新生兒的平均壽命。,二、x歲余命的生命函數(shù),T(x)：x歲的人未來能生存的時間。其分布函數(shù)為： T(x)的生存函數(shù)（x歲的人在t時間內存活的概率）： X歲的人在x+tx+t+m間的死亡概率：,三、死亡效力（死亡力/死力）,死亡效力：描述瞬間死亡強度的指標。定義為： 關系式：,四、整值剩余壽命與平均余命,在壽險精算中，年齡變量通

9、常取整數(shù)，定義K(x)為T(x)的整數(shù)部分，表示x歲的人未來存活的整數(shù)年數(shù)，也稱為x歲的人的整值剩余壽命，有： K(x)是離散隨機變量，概率分布函數(shù)為： 設S(x)為x歲人在其死亡年度中所活過的不足一年的部分。 S(x)是（0，1）上的連續(xù)分布，有：,K(x)的期望值是簡約平均余命： T(x)的期望值是完全平均余命： 兩種余命之間的關系： 死亡均勻分布假設條件下，有：,例3-2 當20 x 25時，死亡效力為0.001，試計算：20歲的人在22歲24歲間死亡的概率。,例3-3,思考：人們壽命的延長對壽險業(yè)的經營有哪些影響？,第四節(jié) 分數(shù)年齡的生命函數(shù),一、分數(shù)年齡資料的使用背景 生命表提供了整

10、數(shù)年齡上的壽命分布，但有時我們需要分數(shù)年齡上的生存狀況，于是我們通常依靠相鄰兩個整數(shù)生存數(shù)據(jù)，選擇某種分數(shù)年齡的生存分布假定，估計分數(shù)年齡的生存狀況。 二、求解的基本原理 主要運用插值法求解,三、有關死亡分布的常用假設,1、均勻分布假定(線性插值) 2、常數(shù)死亡力假定(幾何插值) 3、Balducci假定(調和插值),四、三種假定下的分數(shù)年齡概率函數(shù),例3-4 已知分別在三種分數(shù)年齡假定下，計算下面各值：,第五節(jié) 生命表的編制,生命表可以依據(jù)實際同時出生的一批人資料編制，不過編制這種生命表需要縱向追蹤一批人從生到死的全部過程，而且在實際中很難取得完整的原始資料，同時該表也只是歷史的追述，不能說

11、明現(xiàn)在某個時期的死亡水平，因此，一般不采用實際同批人方法編制生命表。 通常采用假設同批人方法編制，即把某一時期各個年齡的死亡水平當做同時出生的一批人在一生中經歷的各個年齡時的死亡水平看待，從而描述某一時期處于不同年齡人群的死亡水平。,步驟一、粗死亡率的估計,1、數(shù)據(jù)收集：規(guī)定一組生命和某一被稱為觀測期的期限，并在觀測期內對改組生命進行觀測。 觀測的不完全：在xx+1歲這一觀測過程中，對于哪些在觀測期開始前已進入x歲的生命，觀測是不完全的（某些生命在觀測前可能已死亡）；在觀測期結束后進入x+1的生命，觀測同樣不完全；另外，在觀測期間新進入或離開的生命，觀測也不完全。 2、初步估計死亡率：根據(jù)“死

12、亡數(shù)的期望值等于觀測到的死亡數(shù)”這一要求，可采用矩估計、極大似然估計等方法估計粗死亡率。,步驟二、死亡率曲線的修勻和附加安全幅度,1、在觀測誤差存在的情況下，上一步驟所得的死亡率不能消除異常波動，即可能出現(xiàn)某些年齡死亡率特別大，或某些年齡死亡率特別小的情況。 2、真實的死亡率應當落在一條隨年齡增長而平穩(wěn)上升的平滑曲線上，因此需要按某種標準對粗死亡曲線進行修勻。 3、修勻后的曲線還需消除正常的隨機波動現(xiàn)象，即對修勻死亡率附加一個安全幅度。 死亡率過高的隨機波動不利于年金投保人； 死亡率過低的隨機波動不利于壽險投保人。,步驟三、死亡率曲線的補正和生命表的估計,保險公司在估計死亡率時，由于缺乏大年齡和小年齡投保人的經驗數(shù)據(jù)，難以采用統(tǒng)計方法得到其估計值，因此通常運用數(shù)學插值補正法得到完整的死亡率曲線。 在得出一年內的死亡率之后，運用以下公式得到生命函數(shù)s(x)的估計值：,1990-1993中國壽險經驗生命表的編制,1994年，中國人民保險公司正式展開編制工作。 編制過程：資料收集和整理、調查表的填報與數(shù)據(jù)錄入、經驗資料的計算機處理、經驗資料分析、基本死亡率的計算、死亡率補整修勻等