1、11.3 多邊形及其內(nèi)角和,第2課時(shí) 多邊形的內(nèi) 角和,第十一章 三角形,1,課堂講解,多邊形的內(nèi)角和 多邊形的外角和 多邊形內(nèi)角和與外角和的關(guān)系,2,課時(shí)流程,逐點(diǎn) 導(dǎo)講練,課堂小結(jié),作業(yè)提升,如圖，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A 出發(fā)，沿多邊形的各 邊走過各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)的方向，一 共轉(zhuǎn)過了多少度呢？,知1講,1,知識點(diǎn),多邊形的內(nèi)角和,思考 我們知道，三角形的內(nèi)角和等于180，正方形、長方形的內(nèi)角和都 等于360.那么，任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和是否也等于360呢？你能利用 三角形內(nèi)角和定理證明四邊形的內(nèi)角和等于360嗎？,知1講,任意四邊形的內(nèi)角和等于多少度？ 你是怎樣得到的？,A,

2、B,C,D,知1講,2180 =360 ,4180 360 =360 ,四邊形的內(nèi)角和是360,3180 180 =360 ,E,P,知1講,(n2)180,4 180,2 180,3 180,1 180,0,1,1,2,2,3,3,4,n3,n2,知1講,一般地，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作(n 3) 條對角線，它們將n邊形分為（n 2)個(gè)三角形，n邊形 的內(nèi)角和等于180(n 2).,把一個(gè)多邊形分成幾個(gè)三角 形，還有其他分法嗎？由新 的分法，能得出多邊 形內(nèi)角 和公式嗎？,如果一個(gè)四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角 有什么關(guān)系？ 如圖，在四邊形ABCD中，A+C=180, A+B+C

3、+D=(42) 180 =360 B+D=360 (A+C ) =360180=180 這就是說，如果四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一 組對角也互補(bǔ).,例1,解：,知1講,一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都等于120，它是幾邊形？,知1練,（來自教材）,1,已知正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是156，求這個(gè)多邊形的邊數(shù),2,解：,設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則(n2)180n120，解得n6.所以它是六邊形,解：,設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意得(n2)180156n，解得n15，即這個(gè)多邊形的邊數(shù)為15.,若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1 260， 則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_,設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意知， (n2)1801 2

4、60，解得n9.,例2,導(dǎo)引：,9,知1講,(1)已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)n的方法：根據(jù)多邊形內(nèi) 角和公式列方程：(n2)180內(nèi)角和，解方程 求出n，即得多邊形的邊數(shù)； (2)已知正多邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)k求邊數(shù)n的方法：根據(jù) 多邊形內(nèi)角和公式列方程：(n2)180kn，解 方程求出n，即得多邊形的邊數(shù),知1講,一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是360，這個(gè)多邊形是() A三角形 B四邊形 C六邊形 D不能確定,1,知1練,B,一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角均為120，則這個(gè)多邊形是() A四邊形 B五邊形 C六邊形 D七邊形,2,知1練,C,知2導(dǎo),問題1我們知道，三角形的內(nèi)角和是180，三角 形的外角和是360得

5、出三角形的外角和是360 有多種方法如圖，你 能說說怎樣由外角與相 鄰內(nèi)角互補(bǔ)的關(guān)系 得出這個(gè)結(jié)論嗎？,2,知識點(diǎn),三角形的外角和,知2導(dǎo),由 1BAE180，2 CBF180， 3 ACD180， 得 123BAECBFACD 540 由 123180，得 BAECBFACD 540180 360,知2導(dǎo),問題2如圖，你能仿照上面的方法求四邊形的外 角和嗎？,知2導(dǎo),由 BAD +1 =180， ABC +2 =180， BCD +3 =180， ADC +4 =180， 得BAD + 1 + ABC +2 +BCD +3 +ADC +4 =1804 由BAD +ABC +BCD +ADC

6、=1802， 得1 +2 +3 +4 =1804 1802 =360,知2導(dǎo),問題3五邊形的外角和等于多少度？六邊形呢？ 仿照上面的方法試一試,類比求三角形、四邊形的外角和的方法求出五邊 形的外角和是360，六邊形的外角和是360(解 答過程略),知2導(dǎo),如圖，在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的 和叫做六邊形的外角和.六邊形的外角和等于多少？,例3,考慮以下問題：,（1）任何一個(gè)外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么 關(guān)系？ （2）六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi) 角，所得總和是多少？ （3）上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有 什么關(guān)系？ 聯(lián)系這些問題，考慮外角和的求法.,六邊形的任何一個(gè)外角

7、加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180.因此六 邊形 的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和等于6180. 這個(gè)總和就是六邊形的外角和加上內(nèi)角和.所以外角和等于總和 減去內(nèi)角 和，即外角和等于,6180 (6 2) 180=2180 =360 .,分析：,解：,知2導(dǎo),思考： 如果將例2中六邊形換為n邊形(n是不小于3的 任意整數(shù)），可以 得到同樣結(jié)果嗎？,知2導(dǎo),知2導(dǎo),歸 納,由上面的思考可以得到： 多邊形的外角和等于360.,你也可以像以下這樣理解為什么多邊形的外 角和等 于360. 如圖11.3-12,從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)， 沿多邊形 的各邊走過各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后 轉(zhuǎn)向出發(fā)時(shí)的方向

8、. 在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和， 就 是多邊形的外角和.由于走了一周， 所轉(zhuǎn)的各 個(gè)角的和等于一個(gè)周角， 所以多邊形的外角和等 于 360.,知2講,圖 11.3-12,已知四邊形的四個(gè)外角度數(shù)比為1234，求各外角的度數(shù),由四邊形外角和定理和各外角之間的比例關(guān)系可求出各外角 設(shè)四邊形的最小外角為x，則其他三個(gè)外角分別為2x， 3x，4x.根據(jù)四邊形外角和等于360，得x2x3x 4x360. 所以x36，2x72，3x108，4x144. 所以四邊形各外角的度數(shù)分別為36，72，108，144.,例4,導(dǎo)引：,解：,知2講,知2講,(1)用多邊形外角和定理求內(nèi)(外)角或求正多邊形的邊數(shù)，一般可 利用方程思想通過列方程解決，都是列出外角和的字母表達(dá)式： 各個(gè)外角的和(如本例)或邊數(shù)正多邊形每個(gè)外角的度數(shù)，再 說明它們等于360，即可求出； (2)由