1、第12章 離散控制系統(tǒng)的經(jīng)典法設(shè)計(jì),吉林大學(xué)儀器科學(xué)與電氣工程學(xué)院 隨陽(yáng)軼,連續(xù)與離散控制系統(tǒng),主要內(nèi)容,概述 控制系統(tǒng)的離散化方法 PID控制器及其算法,12.1概述,數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)大體上分成兩大類：經(jīng)典法設(shè)計(jì)和狀態(tài)空間法。經(jīng)典法設(shè)計(jì)可分兩種方法：離散化法和直接法。離散化法則是先設(shè)計(jì)連續(xù)系統(tǒng)的控制器，然后通過(guò)某種離散化方法轉(zhuǎn)化成數(shù)字控制器，這種方法僅能逼近連續(xù)系統(tǒng)的性能，不會(huì)優(yōu)于連續(xù)系統(tǒng)的性能。直接法為Z平面的根軌跡法、W平面的伯德圖法等等。,12.2控制系統(tǒng)的離散化方法,前向差分法； 后向差分法； 雙線性變換法； 脈沖響應(yīng)不變法； 階躍響應(yīng)不變法； 零、極點(diǎn)匹配法等六種方法。,前向差分法

2、,已知控制器的傳遞函數(shù)為,傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化成微分方程,再將微分方程改寫(xiě)成積分形式,=u(kT-T)+從(kT-T)到kT的面積,前向差分法（續(xù)1）,由差分方程求其Z變換,脈沖傳遞函數(shù),前向差分法（續(xù)2）,比較s與z的關(guān)系得：,故前向差分法就是將模擬控制器的傳遞函數(shù)D(s)中的s用 代替即可。,必須強(qiáng)調(diào)用前向差分關(guān)系將連續(xù)控制器離散化成數(shù)字控制器時(shí)穩(wěn)定性不能保證。因此很少應(yīng)用。,后向差分法,推導(dǎo)過(guò)程同前向差分法，只是變?yōu)楹笙蚓匦畏e分。,脈沖傳遞函數(shù),比較s與z的關(guān)系得：,連續(xù)系統(tǒng)時(shí)是穩(wěn)定的，通過(guò)后向差分離散化后，離散系統(tǒng)一定穩(wěn)定。,雙線性變換法,推導(dǎo)過(guò)程同前向差分法，只是變?yōu)樘菪畏e分。,對(duì)上式取Z變

3、換,脈沖傳遞函數(shù),雙線性變換法（續(xù)1）,比較s與z的關(guān)系得：,該變換保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性不改變。,三種變換關(guān)系總結(jié)如下：,前三種方式的穩(wěn)定性討論,1.前向差分z與s的關(guān)系,令z 為1，對(duì)應(yīng)s平面為一個(gè)圓，則以1/T為半徑的極點(diǎn)映射到Z平面單位圓內(nèi)。,對(duì)于整個(gè)S左半平面映射Z平面是1為邊緣的整個(gè)Z平面。,前三種方式的穩(wěn)定性討論（續(xù)1）,2.后向差分z與s的關(guān)系,可見(jiàn)s的虛軸映射為以點(diǎn)(1/2，0)為圓心， 1/2為半徑的圓，s左半平面映射到圓內(nèi)。,前三種方式的穩(wěn)定性討論（續(xù)2）,3.雙線性變換z與s的關(guān)系,z的模為1，可見(jiàn)為單位圓,三種變換法的運(yùn)用舉例,例12.1分別用前向差分法、后向差分法和雙線性

4、變換法將傳遞函數(shù) 離散化成脈沖傳遞函數(shù)。,解：(1) 三種變換法的離散化,前向差分法,三種變換法的運(yùn)用舉例（續(xù)1）,后向差分法,雙線性變換法,三種變換法的運(yùn)用舉例（續(xù)2）,通過(guò) 轉(zhuǎn)換成脈沖傳遞函數(shù)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn),(2) 三種變換法的穩(wěn)定性,前向差分法,極點(diǎn)在單位圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,三種變換法的運(yùn)用舉例（續(xù)3）,后向差分法,極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,三種變換法的運(yùn)用舉例（續(xù)4）,雙線性變換法,極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,通過(guò)這三種方法得到的離散化結(jié)果與通過(guò) 的數(shù)學(xué)關(guān)系 的離散化結(jié)果比較，雙線性變換法更接近準(zhǔn)確值。,階躍響應(yīng)不變法,使離散近似后數(shù)字控制器的階躍響應(yīng)序列，與連續(xù)控制器的階躍響應(yīng)

5、采樣值相等。,設(shè)D(z)為離散控制器，D(s)為連續(xù)控制器。即,脈沖響應(yīng)不變法,離散近似后數(shù)字控制器的脈沖響應(yīng)序列，與連續(xù)控制器的脈沖響應(yīng)采樣值相等。,T是補(bǔ)償采樣引進(jìn)的1/T因子。,例12.2已知連續(xù)控制器的傳遞函數(shù) 試用階躍響應(yīng)不變法和脈沖響應(yīng)不變法將連續(xù)控制器離散成數(shù)字控制器。,解：(1) 階躍響應(yīng)不變法,階躍脈沖響應(yīng)不變法舉例,(2) 脈沖響應(yīng)不變法,零極點(diǎn)匹配等效法,通過(guò)映射保證連續(xù)和離散控制器的零極點(diǎn)匹配。,映射規(guī)則如下：,(1) D(s)的全部有限零點(diǎn)和極點(diǎn)按照 映射到Z平面。,(2) D(s)的全部無(wú)限遠(yuǎn)的零點(diǎn)映射到Z平面為z=-1。(這是近似映射關(guān)系),解釋如下：,零極點(diǎn)匹配

6、等效法（續(xù)1）,相當(dāng)于j軸上從0到/T這段對(duì)應(yīng)于Z平面從z=1到z=-1的半個(gè)單位圓。,當(dāng)= s/2=/T時(shí)，該是信號(hào)的最高頻率，高于此頻率則不滿足采樣定理。,另外通常D(s)具有低通特性，即,因此將s的零點(diǎn)映射到Z平面，相當(dāng)于與D(z)的z=-1的零點(diǎn)對(duì)應(yīng)，也就是說(shuō)在的D(s)上有一個(gè)s 的零點(diǎn)時(shí)，則在D(z)的分子上補(bǔ)一個(gè)(z+1)因子，有兩個(gè)s 的零點(diǎn)，在D(z)的分子上補(bǔ)一個(gè)(z+1)2 ，以此類推。,零極點(diǎn)匹配等效法（續(xù)2）,(3) 讓數(shù)字控制器的增益在某一主頻處與模擬控制器的增益匹配，即, 若D(s)具有低通特性則令, 若D(s)具有高通特性則令, 若D(s)既不具有高通特性也不具

7、有低通特性則在一個(gè)特殊頻率處令,零極點(diǎn)匹配等效法舉例,例12.3已知連續(xù)控制器的傳遞函數(shù) 試用零極點(diǎn)匹配等效法將連續(xù)控制器離散成數(shù)字控制器。,解：(1) 將連續(xù)系統(tǒng)的有限零極點(diǎn)映射到Z平面, 有限零點(diǎn), 有限極點(diǎn),零極點(diǎn)匹配等效法舉例（續(xù)1）,(2)將連續(xù)系統(tǒng)的s零點(diǎn)映射到Z平面，對(duì)應(yīng)于D(z)分子上的(z+1)因子。,零極點(diǎn)匹配等效法舉例（續(xù)2）,(3)匹配增益因子,通過(guò)零極點(diǎn)匹配等效法，得到的總的脈沖傳遞函數(shù)為：,六種離散化方法的特點(diǎn),設(shè)計(jì)者應(yīng)該交替使用幾種等效技術(shù)，通常零極點(diǎn)匹配映射法和雙線性變換法較好。,1. 前向差分法：穩(wěn)定性不能保證，很少使用。,2. 后向差分法：無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題，并維

8、持穩(wěn)態(tài)增益不變。但是得到的離散控制器暫態(tài)特性和頻率響應(yīng)特性與連續(xù)控制器特性有相當(dāng)大的差別，采用高采樣率可減少這種差別。,3. 脈沖響應(yīng)不變法：無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題，但存在頻率混疊問(wèn)題 ，只適用于連續(xù)控制器具有陡峭的衰減特性，且為帶限信號(hào)的場(chǎng)合。,六種離散化方法的特點(diǎn)（續(xù)1）,4.階躍響應(yīng)不變法：相當(dāng)于連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)一個(gè)零階保持器后取Z變換常用來(lái)求取控制系統(tǒng)的對(duì)象或其他環(huán)節(jié)的離散等效。無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題。,5.雙線性變換法：無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題，導(dǎo)至頻率特性的嚴(yán)重畸變，在伯德圖的設(shè)計(jì)中或系統(tǒng)要求較高時(shí)，則要對(duì)變換式進(jìn)行修正。,6.零極點(diǎn)匹配等效法：無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題，這種映射有較好的逼近特性，首推此法。,12.3PID控制器

9、的基本原理,PID控制器的離散化表示,連續(xù)域描述PID控制器的微分方程通過(guò)后向差分法離散化：,其中Ki為積分系數(shù)，Kd為微分系數(shù),PID控制器的兩種形式,(1) 位置式PID,上頁(yè)公式數(shù)字控制器的控制量u(k)與執(zhí)行機(jī)構(gòu)的閥門(mén)開(kāi)啟位置一一對(duì)應(yīng)，因此叫位置式PID算式,(2) 增量式PID,優(yōu)點(diǎn)是改善積分飽和，手動(dòng)自動(dòng)切換沖擊小，系統(tǒng)超調(diào)減少，動(dòng)態(tài)時(shí)間縮短，動(dòng)態(tài)性能改善。,PID控制器的各種算法,1. 不完全微分PID控制算法,誤差變化率的大小決定微分控制量的大小，而誤差值的絕對(duì)大小不影響微分控制量強(qiáng)弱。,當(dāng)突然大幅度改變給定值時(shí)，會(huì)導(dǎo)至誤差突然大幅度改變，引起很大的誤差變化率，因此產(chǎn)生很強(qiáng)的微

10、分控制量，在一個(gè)采樣周期全部輸出，使控制系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)和振蕩，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)性能下降。,不完全微分PID控制算法（續(xù)1）,引進(jìn)不完全微分PID算法，其傳遞函數(shù)如下：,其中：U(s)為PID控制器的輸出；E(s)為偏差(控制器的輸入)；Krp實(shí)際的比例放大系數(shù)；Tri實(shí)際的積分時(shí)間常數(shù)；Trd實(shí)際的微分時(shí)間常常數(shù)。,微分項(xiàng)為：,比例和積分項(xiàng)為：,不完全微分PID控制算法（續(xù)2）,不完全微分PID算式的差分方程為：,積分分離PID算法,積分控制是通過(guò)對(duì)誤差的積分產(chǎn)生控制量來(lái)提高控制精度，但是當(dāng)偏差很大時(shí)，投入積分控制會(huì)帶來(lái)負(fù)作用，這時(shí)由積分項(xiàng)產(chǎn)生的控制量將很強(qiáng)，導(dǎo)致系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間的超調(diào)和大幅度的振蕩，產(chǎn)生積

11、分飽和。 數(shù)字控制系統(tǒng)中要消除這種現(xiàn)象，可以采用積分分離的方法解決，當(dāng)誤差很大時(shí)，不投入積分，當(dāng)誤差比較小時(shí)加入積分，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)控制精度，可以設(shè)定一個(gè)閥值a，按照下邊方式控制。,變速積分PID算法,積分控制應(yīng)該是誤差大時(shí)減小積分作用，防止超調(diào)和積分飽和，誤差小時(shí)，加強(qiáng)積分迅速減少穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的控制精度。,設(shè)置積分系數(shù)是誤差的函數(shù)，即f(e(k),變速積分PID的積分項(xiàng)為,變速積分PID算法（續(xù)）,總的變速積分PID算式,(1) 能完全消除積分飽和；,(2) 減少超調(diào)量，穩(wěn)定性得到改善；,(3) 能適應(yīng)較復(fù)雜的情況；,(4) 參數(shù)整定簡(jiǎn)單，參數(shù)之間相互影響小。,(5) 積分分離控制屬于開(kāi)關(guān)控制，而變速積分控制連續(xù)性好，且控制平穩(wěn)。,優(yōu)點(diǎn)：,帶死區(qū)的PID算式,在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，為了防止執(zhí)行機(jī)構(gòu)頻繁動(dòng)作，引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定則可以采用帶死區(qū)的PID控制算式,特點(diǎn)是當(dāng)系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)態(tài)控制精度要求不很高，如液位控制等。,本章小結(jié),本章首先介紹了控制系統(tǒng)的六種離散化方法：前向差分法、后向差分法、雙線性變換