1、人教版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè),第十七 勾股定理ppt,寒蔥溝鎮(zhèn)中學(xué) 孫元成 2015.3.19,1,17.2.1 勾股定理的逆定理（1）,2,本課在學(xué)習(xí)勾股定理的基礎(chǔ)上，研究當(dāng)三角形中兩 邊的平方和等于第三邊的平方時(shí)，這個(gè)三角形是否 為直角三角形在研究過(guò)程中，介紹了逆命題、逆 定理的概念,課件說(shuō)明,3,學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1理解勾股定理的逆定理，經(jīng)歷“觀察測(cè)量 猜想論證”的定理探究的過(guò)程，體會(huì)“構(gòu)造 法”證明數(shù)學(xué)命題的基本思想； 2了解逆命題的概念，知道原命題為真命題，它 的逆命題不一定為真命題 學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 探索并證明勾股定理的逆定理.,課件說(shuō)明,4,勾股定理如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為

2、a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2,題設(shè)（條件）：直角三角形的 兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c ,結(jié)論：a2+b2=c2,問(wèn)題1回憶勾股定理的內(nèi)容,形,數(shù),回憶舊知再次梳理,5,溫故知新,勾股定理： 如果直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊長(zhǎng)為c ，那么a2+b2=c2.,反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2 .那么這個(gè)三角形的形狀怎樣？,思考：,6,逆向思考提出問(wèn)題,思考 如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c 滿足a2+b2=c2， 那么這個(gè)三角形是否是直角三角形？,7,逆向思考提出問(wèn)題,據(jù)說(shuō)，古埃及人曾用下面的方法畫(huà)直角：把一根長(zhǎng) 繩打上等距離的13 個(gè)結(jié)，然后以3 個(gè)

3、結(jié)間距，4 個(gè)結(jié)間 距、5 個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形， 其中一個(gè)角便是直角你認(rèn)為結(jié)論正確嗎？,8,實(shí)驗(yàn)操作： （1）畫(huà)一畫(huà)：下列各組數(shù)中的兩數(shù)平方和等于第三數(shù)的 平方，分別以這些數(shù)為邊長(zhǎng)畫(huà)出三角形（單位：cm）， 它們是直角三角形嗎？ 2.5，6，6.5； 6，8，10 （2）量一量：用量角器分別測(cè)量上述各三角形的最大角 的度數(shù) （3）想一想：請(qǐng)判斷這些三角形的形狀，并提出猜想,精確驗(yàn)證提出猜想,9,已知：如圖，ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿足a2+b2=c2 求證：ABC是直角三角形,？,三角形全等,邏輯推理 證明結(jié)論,a,10, C=900, AB2= a2+b2, a2+

4、b2=c2, AB 2=c2, AB =c, 邊長(zhǎng)取正值, ABC ABC（SSS）, C= C(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）, C= 900,已知:在ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2,求證: ABC是直角三角形,證明:畫(huà)一個(gè)ABC,使 C=900,BC=a, CA=b,在 ABC和 ABC中, ABC是直角三角形（直角三角形的定義）,勾股定理的逆命題證明,11,作用：判定一個(gè)三角形三邊滿足什么條件時(shí)為直角三角形,演繹推理形成定理,定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c 滿足a2+b2=c2， 那么這個(gè)三角形是直角三角形,12,例1判斷由線段a，b，c 組成的三角形是不是直 角

5、三角形： （1） a=15，b=17，c=8； （2） a=13，b=15，c=14； （3） a= ，b=4，c=5,直接運(yùn)用鞏固知識(shí),分析：根據(jù)勾股定理及其逆定理判斷一個(gè)三角形是 不是直角三角形，只要看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等 于最大邊長(zhǎng)的平方,13,解：（1）,152+82 =225+64=289， 172 =289， 152+82 =172.,以15，8，17為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形,例1判斷由線段a，b，c 組成的三角形是不是直 角三角形： （1） a=15，b=17，c=8； （2） a=13，b=15，c=14； （3） a= ，b=4，c=5,直接運(yùn)用鞏固知識(shí),像15，17

6、，8 這樣，能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù),分析：根據(jù)勾股定理及其逆定理判斷一個(gè)三角形是 不是直角三角形，只要看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等 于最大邊長(zhǎng)的平方,14,勾股定理的逆定理：,定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c 滿足a2+b2=c2， 那么這個(gè)三角形是直角三角形,兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，像這樣的兩個(gè)命 題叫做互逆命題如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那 么另一個(gè)命題叫做它的逆命題,階段小結(jié)適時(shí)梳理,勾股定理的逆命題：,勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b， 斜邊為c，那么a2+b2=c2,15,直接運(yùn)用鞏固知識(shí),說(shuō)出下列命題的逆命題這些命題的逆命題是真命

7、題嗎？ （1）兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等； 逆命題：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行真命題 （2）對(duì)頂角相等； 逆命題：相等的角是對(duì)頂角假命題 （3）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等 逆命題：到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的 垂直平分線上真命題,16,隨堂練習(xí)： 1、將下列長(zhǎng)度的三木棒首尾順次連接，能組成直角三角形的是（ ） (A)1, 2, 3 (B)4, 6, 8 (C)5, 5, 4 (D)15,12, 9,2、如果線段a、b、c能組成直角三角形, 則它們的比可能是（ ） （A）3:4:7; （B）5:12:13; （C）1:2:4; （D）1:3:5.,D,B,三角形的三邊分別是a、b

8、、c, 且滿足 (a+b)2-c2=2ab, 則此三角形是:( ) A. 直角三角形; B. 是銳角三角形; 是鈍角三角形; D. 是等腰直角三角形.,A,17,4、一個(gè)零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件 中A和DBC都應(yīng)為直角工人師傅量出了這個(gè) 零件各邊尺寸，那么這個(gè)零件符合要求嗎?,此時(shí)四邊形ABCD 的面積是多少?,5、 已知a、b、c為ABC的三邊,且 滿足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 試判斷ABC的形狀.,18,6、ABC三邊a,b,c為邊向外作正方形，正三角形，以三邊為直徑作半圓，若S1+S2=S3成立，則,是直角三角形嗎？,A,C,a,b,c,S1,S2

9、,S3,B,A,B,C,a,b,c,S1,S2,S3,19,活動(dòng)2：范例講解,例7：判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形： （1）a=15，b=8，c=17； （2）a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（mn，m、n是正整數(shù)）,解；（1)a2 = 225， b2 = 64， c2 = 289 又 225 + 64 = 289 a2 + b2 = c2 即: 三角形是直角三角形,(2)a2 = (m2 - n2 )2 = m4 - 2m2n2 + n4, b2 = (m2 + n2 )2 = m4 + 2m2n2 + n4, c2 = (2mn )2 = 4m2n2 又m4 -

10、 2m2n2 + n4 + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 a2 + c2 = b2 即: 三角形是直角三角形,20,知識(shí)運(yùn)用:,8如圖:在正方形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),F是CD上一點(diǎn), 且CF= CD.猜想AEF的形狀,并證明你的結(jié)論.,解: AEF是直角三角形； 理由：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是a,則:,21,9.臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周?chē)鷶?shù)十千米的范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力。如圖所示，據(jù)氣象部門(mén)報(bào)道：距沿海城市A的正南方向220千米B處有一個(gè)臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力12級(jí)，距離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力會(huì)減弱一級(jí)。該臺(tái)風(fēng)正以15km/h的速度沿北

11、偏東30方向往C處移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過(guò)四級(jí)，則稱(chēng)受到臺(tái)風(fēng)影響。 （1）該城市是否會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由。 （2）若受到影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間為多長(zhǎng)？ （3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？,思考題：,22,10.已知a.b.c為ABC的三邊,且滿足 a2c2 b2c2=a4 b4,試判斷ABC的形狀. 解 a2c2- b2c2 = a4 b4 (1) c2(a2 b2) = (a2+ b2) (a2- b2) (2) c2 = a2 + b2 (3) ABC是直角三角形 問(wèn): (1) 上述解題過(guò)程,從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤?請(qǐng)寫(xiě)出該步的代號(hào)

12、(2) 錯(cuò)誤原因是 (3) 本題正確的結(jié)論是,3,a2- b2可能是0,直角三角形或等腰三角形,23,11、如圖：在 ABC中，AB=13，BC=10，BC邊上的中線AD=12，求證：AB=AC。,證明：AD是BC邊上的中線， BD=CD=1/2BC=5 在ABD中，AB=13，BD=5，AD=12 BD2+AD2=52+122=169=AB2 ABD是直角三角形。 ACD也是直角三角形。 根據(jù)勾股定理得到：,AB=AC=13,24,判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法,角：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.,邊：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足 a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形,2

13、5,26,1.2 勾股定理的逆定理 （2）,27,互逆命題: 兩個(gè)命題中, 如果它們的題設(shè)、結(jié)論正好相反,那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題. 如果把其中一個(gè)叫做原命題, 那么另一個(gè)叫做它的逆命題. 互逆定理: 如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是正確的, 那么它也是一個(gè)定理, 稱(chēng)這兩個(gè)定理叫做互逆定理, 其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆定理.,知識(shí)回顧,28,(1)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 (2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等 (3)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等 (4)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等,說(shuō)出下列命題的逆命題這些命題的逆命題成立嗎?,逆命題: 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行. 成立,逆命題:如果兩個(gè)實(shí)

14、數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等. 不成立,逆命題:如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等. 不成立,逆命題:對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形. 不成立,感悟: 原命題成立時(shí), 逆命題有時(shí)成立, 有時(shí)不成立,一個(gè)命題是真命題,它的逆命題卻不一定是真命題.,29,勾股定理: 直角三角形的兩直角邊為a ,b , 斜邊為 c ,則有 a2+ b2=c2 勾股定理的逆定理: 若三角形的三邊a, b, c滿足a2+b2=c2,則這個(gè)三角形是直角三角形; 較大邊c 所對(duì)的角是直角.,知識(shí)回顧,30,例1 判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形： (1) a15 , b 8 , c17,(2)

15、 a13 , b 15 , c14,分析：由勾股定理的逆定理，判斷三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊的平方和是否等于最大邊的平方。,解：1528222564289 172289 15282172 這個(gè)三角形是直角三角形,31,下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個(gè)角是直角？,(1) a=25 b=20 c=15 _ _ ;,(2) a=13 b=14 c=15 _ _ ;,(4) a:b: c=3:4:5 _ _ ;,是,是,不是,是, A=900, B=900, C=900,(3) a=1 b=2 c= _ _ ;,像25,20,15,能夠成為直角三角形三條邊

16、長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù).,32,33,B,A、銳角三角形 B、直角三角形 C、鈍角三角形 D、等邊三角形,1.,34,2.已知：如圖，四邊形ABCD中， B900，AB3，BC4，CD12，AD13,求四邊形ABCD的面積?,S四邊形ABCD=36,35,1.長(zhǎng)度分別為 3 , 4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能搭成(首尾連接)直角三角形的個(gè)數(shù)為( ) A 1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè),B,A,復(fù)習(xí)與鞏固,36,3.三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足 (a+b)2=c2+2ab ,則這個(gè)三角形是( ) A 等邊三角形 B鈍角三角形 C 直角三角形 D 銳角三角形,C,37,1.已知

17、三角形的三邊長(zhǎng)為 9 ,12 ,15 ,則這個(gè)三角形的最大角是度;,2.ABC的三邊長(zhǎng)為 9 ,40 ,41 ,則ABC的面積為;,90,180,3.三角形的三邊長(zhǎng)為 8 ,15 ,17 ,那么最短邊上的高為;,4.若ABC中 ,AB= 5 ,BC=12 ,AC=13 ,則AC邊上的高長(zhǎng)為;,15,60/13,38,5.在RtABC中,斜邊AB=1 , 則 AB2 + BC2 + CA2 =;,6.在RtABC中,C=90,CD 是高,AB=1,則 2 CD2 + AD2 +BD2 =;,7.等腰三角形ABC中,若 AB =AC =10 ,BC =6 ,則ABC的面積為;,8.三角形的三邊長(zhǎng)

18、a, b, c 滿足 a2 +b2 +c2 +338 = 10a + 24b +26c,此三角形為三角形.,39,9.如果一個(gè)三角形的三邊為a ,b ,c 滿足 a2+c2=b2,那么這個(gè)三角形是三角形,其中 b邊是邊, b邊所對(duì)的角是角.,直角,斜,直,10工人師傅想要檢測(cè)一扇小門(mén)兩邊 AB .CD 是否垂直于底邊 BC,但他只帶了一把卷尺,你能替工人師傅想辦法完成任務(wù)嗎?,40,12、如圖，有一塊地，已知，AD=4m， CD=3m，ADC=90，AB=13m， BC=12m。求這塊地的面積。,24平方米,41,例1： 某港口位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)