1、專題復(fù)習(xí) 幾何探究問題一、結(jié)論探究【例1】如圖，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=900，點D是BC中點，作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG（1）試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你得到的結(jié)論（2）將正方形DEFG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角大于00，小于或等于3600），如圖，通過觀察和測量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由。（3）若BC=DE=2，在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE為最大值時，求AF的值。變式練習(xí)：已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中

2、點，連接EG，CG（1）直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45，如圖2所示，取DF中點G，連接EG，CG你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明 （3）將圖1中BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）FBACE圖3DFBADCEG圖2FBADCEG圖1二、條件探究【例2】已知兩個全等的直角三角形紙片ABC、DEF，如圖（1）放置，點B、D重合，點F在BC上，AB與EF交于點G，C=EFB=900，E=ABC=300，AB=DE=4（1）求證：EGB是等腰三角形（2）若紙片DEF不動

3、，問ABC繞點F旋轉(zhuǎn)最小 度時，四邊形ACDE成為以ED為底的梯形（如圖（2），求此梯形的高。 【例3】如圖，RtAB C 是由RtABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，連結(jié)CC 交斜邊于點E，CC 的延長線交BB 于點F（1）證明：ACEFBE；（2）設(shè)ABC=，CAC =，試探索、滿足什么關(guān)系時，ACE與FBE是全等三角形，并說明理由三、類比探究【例4】（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將ABE沿BE折疊后得到GBE，且點G在舉行ABCD內(nèi)部小明將BG延長交DC于點F，認(rèn)為GF=DF，你同意嗎？說明理由（2）問題解決：保持（1）中的條件不變，若DC=2DF，求的值；（3）類比探

4、求：保持（1）中條件不變，若DC=nDF，求的值【例5】如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線如，平行四邊形的一條對線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有_；（2）如圖1，梯形ABCD中，ABDC，如果延長DC到E，使CEAB，連接AE，那么有S梯形ABCDSABE請你給出這個結(jié)論成立的理由，并過點A作出梯形ABCD的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）如圖，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，SADCSABC，過點A能否作出四邊形ABCD的面積等分

5、線？若能，請畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說明理由ADBADEBADCFEBADDQFEBAD圖1ADBADCFEBADDQFEBAD圖2【例6】（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點,P是BC延長線上一點，N是DCP的平分線上一點若AMN=90，求證：AM=MN下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE（下面請你完成余下的證明過程）（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形A

6、BC”（如圖2）,N是ACP的平分線上一點，則當(dāng)AMN=60時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCDX”，請你作出猜想：當(dāng)AMN=時，結(jié)論AM=MN仍然成立（直接寫出答案，不需要證明）圖2圖1【例7】請閱讀下列材料問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA=2， PB=， PC=1求BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長李明同學(xué)的思路是：將BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）連接PP，可得PPC是等邊三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）所以APC=150，而BPC=APC=150進(jìn)而求出等

7、邊ABC的邊長為問題得到解決請你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長圖2圖3圖1能力檢測1如圖1，已知ABC=90，ABE是等邊三角形，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），連結(jié)AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60得到線段AQ，連結(jié)QE并延長交射線BC于點F.（1）如圖2，當(dāng)BP=BA時，EBF=，猜想QFC= ；（2）如圖1，當(dāng)點P為射線BC上任意一點時，猜想QFC的度數(shù)，并加以證明；圖1ACBEQFP（3）已知線段AB=，設(shè)BP=，點Q到射線BC的距離為y，求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式

8、圖2ABEQPFC2如圖（1），在ABC和EDC中，ACCECBCD，ACBECD，AB與CE交于F，ED與AB、BC分別交于M、H（1）求證：CFCH；（2）如圖（2），ABC不動，將EDC繞點C旋轉(zhuǎn)到BCE=時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結(jié)論ACDBMEFH圖（2）ACDBMEFH圖（1） 3、如圖（1）已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，連接EB，過點A作AMBE于M，AM交BD于點F（1）求證：OE=OF（2）如圖（2）若點E在AC的延長線上，AMBE于M，交DB的延長線于點F，其它條件不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請給出證

9、明；如果不成立，請說明理由。 4已知：如圖，在梯形ABCD中，ADBC，DCB = 90，E是AD的中點，點P是BC邊上的動點（不與點B重合），EP與BD相交于點O.（1）當(dāng)P點在BC邊上運(yùn)動時，求證：BOPDOE；（2）設(shè)（1）中的相似比為，若ADBC = 23. 請?zhí)骄浚寒?dāng)k為下列三種情況時，四邊形ABPE是什么四邊形？當(dāng)= 1時，是 ；當(dāng)= 2時，是 ；當(dāng)= 3時，是 . 并證明= 2時的結(jié)論.ABCDEPO圖14-1連桿滑塊滑道5觀察思考：某種在同一平面進(jìn)行傳動的機(jī)械裝置如圖14-1，圖14-2HlOPQ圖14-2是它的示意圖其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動，在Q滑動的過

10、程中，連桿PQ也隨之運(yùn)動，并且PQ帶動連桿OP繞固定點O擺動在擺動過程中，兩連桿的接點P在以O(shè)P為半徑的O上運(yùn)動數(shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，過點O作OHl于點H，并測得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米解決問題：（1）點Q與點O間的最小距離是 分米；點Q與點O間的最大距離是 分米；點Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是 分米（2）如圖14-3，小明同學(xué)說：“當(dāng)點Q滑動到點H的位置時，PQ與O是相切的”你認(rèn)為他的判斷對嗎？為什么？HlO圖14-3P（Q）（3）小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點P運(yùn)動到OH上時，點P到l的距離最小”事實上，還存在著點P到l距離最大的位置，此

11、時，點P到l的距離是 分米；當(dāng)OP繞點O左右擺動時，所掃過的區(qū)域為扇形，求這個扇形面積最大時圓心角的度數(shù)6(9分)如圖，點C為線段AB上任意一點(不與點A、B重合)，分別以AC、BC為一腰在AB的同側(cè)作等腰ACD和BCE，CACD，CBCE，ACD與BCE都是銳角，且ACDBCE，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接CP(1)求證：ACEDCB；(2)請你判斷ACM與DPM的形狀有何關(guān)系并說明理由；DEAMNCB(3)求證：APCBPC部分答案【變式練習(xí)】解：（1）CG=EG 1分（2）（1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即EG=CG證明：連接AG，過G點作MNAD于M，

12、與EF的延長線交于N點FBADCEGMNN圖 2在DAG與DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG2分在DMG與FNG中， DGM=FGN，F(xiàn)G=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 3分FBADCE圖3G 在矩形AENM中，AM=EN 4分在RtAMG 與RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG5分 EG=CG 6分（3）（1）中的結(jié)論仍然成立7分【例2】【例3】【例4】【例5】解：（1）如圖，將BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90，得BPA，則BPCBPAAP=PC=1，BP=BP=連結(jié)P P，在RtBPP中， BP=BP

13、=，PBP=90， P P=2，BPP=45 2分在APP中， AP=1，P P=2，AP=， ，即AP 2 + PP 2 = AP2 APP是直角三角形，即A P P=90 APB=135 BPC=APB=135 4分（2）過點B作BEAP 交AP 的延長線于點E EP B=45. EP=BE=1. AE=2. 在RtABE中，由勾股定理，得AB= 7分 BPC=135，正方形邊長為能力檢測：【題1】解: （1） 30 = 60.2分 （2）=60.1分不妨設(shè)BP, 如圖1所示 BAP=BAE+EAP=60+EAP EAQ=QAP+EAP=60+EAP BAP=EAQ.2分 在ABP和AEQ中 AB=AE，BAP=EAQ， AP=AQABPAEQ（SAS）.3分 AEQ=ABP=90.4分BE