1、1,定義：若存在一個任意的控制向量 , 能在有限的時間 內，把系統(tǒng)從初始狀態(tài) (t0可為0)轉移到終止狀態(tài) ，則稱系統(tǒng)狀態(tài)在t0時刻是能控的；若系統(tǒng)對任意一個初始狀態(tài)都能控，則稱系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是能控的.,第二節(jié) 能控性定義及其判別準則,線性定常能控性的定義,設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,2,由定義可知： 1) 系統(tǒng)能控性定義中的初始狀態(tài)x(t0)是狀態(tài)空間中任意的非零有限點，控制的目標是狀態(tài)空間的原點. 2) 如果在時間區(qū)間t0,t1內存在控制向量u(t)，使系統(tǒng)從狀態(tài)空間坐標原點推向預先指定的狀態(tài)x(t1)，則稱狀態(tài)能達。系統(tǒng)的能控性與能達性是等價的。,3,1) 對于線性時

2、變系統(tǒng)，由于A(t)，B(t)是時變矩陣，系統(tǒng)狀態(tài)向量 的轉移，與初始時刻 的選取有關。,注意：,2)在上述定義中提到的控制向量u(t)是任意的，其選擇并非唯一的，關心的只是能否將系統(tǒng)狀態(tài)從x(t0)轉移到x(t1)，并不關心轉移的運動軌跡。,4,2. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性判別準則,判別線性系統(tǒng)能控性的問題實際是判別狀態(tài)方程式解的存在問題。根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)方程和任意指定的初始狀態(tài)，能否求得任意的控制向量，把初始狀態(tài) 在有限的時間內轉移到狀態(tài)空間的原點。,狀態(tài)方程的解的表達式為：,（1）卡爾曼（Kalman）準則：,5,6,若對任意給定的初始狀態(tài) ，都能解出 ，則系統(tǒng)具有能控性。要求矩陣 的秩為

3、n。（n為系統(tǒng)階次，系統(tǒng)矩陣A的維數(shù)）,能控性矩陣,7,A,B稱為能控對。 參考例題可看到： 能控標準型的能控性矩陣是三角陣，可證明系統(tǒng)是完全能控的。,8,例:以三階系統(tǒng)為例，證明具有能控標準型狀態(tài)方程的系統(tǒng)必定是狀態(tài)完全能控的。,9,上式是一個三角形矩陣，其對角線元素為1，可以證明，無論 為何值，此矩陣均為滿秩，故給定系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控的。,10,（2）吉伯特(Gilbert)準則：,卡爾曼能控性準則物理含義不很明顯，下面介紹Gilbert準則。當系統(tǒng)的狀態(tài)方程可化為對角線型或亞當標準型時，此方法比較方便。,下面給出將狀態(tài)方程化為對角線型或亞當標準型的方法，同時根據(jù)能控性定義，給出吉伯特準則

4、。,11,設矩陣A的各特征值互不相同，則有一個nn維非奇異陣V將A化為對角線矩陣 ,首先考慮單變量系統(tǒng)（線性定常），其狀態(tài)方程為：,即,12,用這種相似變換后得到的狀態(tài)方程中狀態(tài)變量是彼此解耦的，即每個狀態(tài)變量都不受其它狀態(tài)變量的影響，而只受控制作用的直接控制，顯然，系統(tǒng)狀態(tài)能控的條件是控制矩陣每個元素均不為零, 即,13,推廣到多變量系統(tǒng)，變換后，狀態(tài)方程為:,14,以上能控性條件只適用于特征值不同的系統(tǒng)，一般說來，這種系統(tǒng)狀態(tài)方程能化為對角線型。 注意：某些具有重根特征值的矩陣也可變換為對角線陣。此時，上述條件不適用。,吉伯特準則： 對于一個具有不同特征值的控制系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A 化為對角線

5、矩陣以后，狀態(tài)完全能控的條件是， 矩陣中的行向量不為0。,15,若系統(tǒng)矩陣A有重特征值，并且可以用一個非奇異矩陣V將其變換為亞當標準型矩陣時，有：,16,在這種情況下，Gilbert提出的系統(tǒng)狀態(tài)完全 能控的條件為： V-1B中與每個亞當塊最后一行相對應的行向量不為0； V-1B中與不同特征值相對應的各行中元素不全為0；,解釋： 第二個條件完全和無重特征值情況一致； 第一個條件只考察與亞當塊最后一行對應的那一行，其它行可以為零。,17,以上述亞當矩陣J為例，假設是單變量系統(tǒng)，來說明第一個條件的合理性。,狀態(tài)方程的前三個式子（對應于三重特征值 ）為：,解耦,18,因此對于重根，只需 V-1B 陣中對應亞當塊的最后一行不全為0，就可保證該亞當塊的其它狀態(tài)變量能控。,若 ，則從第三式可知， 受 直接控制，第二式中 不受 控制，但包含 ， 能控則 能控， 也是同理。,19,例: 用Gilbert準則判斷系統(tǒng)的能控性。,20,選擇范德蒙矩陣（Vandmont）為變換矩