1、東 南 大 學(xué) 考 試 卷（A卷）課程名稱(chēng)工科數(shù)分考試學(xué)期04052（期中）得分學(xué)號(hào) 姓名 適用專(zhuān)業(yè)選修數(shù)分各專(zhuān)業(yè)考試形式閉考試時(shí)間長(zhǎng)度120分鐘題號(hào)一二三四五六得分一 填空題（每小題4分，共20分） 1當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮小，則=。2設(shè)曲線，在的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的的切線方程為。3設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，則。4設(shè)則= 。5（為有限數(shù)）的定義是: 對(duì)任意的存在當(dāng)時(shí)，都有。二 選擇題（每小題4分，共16分）1 設(shè)， 而在處連續(xù)，且， （ D ）（A） （B）（C） （D）不存在 2.設(shè)數(shù)列滿足，則必有 （ D ）（A） （B）（C）不存在 （D） 3若與可導(dǎo)，且（為有限數(shù)）則 （ C ）（A）必有 （B）必有存在，且

2、（C）若存在，則 （D）若存在，未必 4設(shè) （ D ）（A）當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小 （B）當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮大 （C）在內(nèi)有界 （D）在內(nèi)無(wú)界三（每小題7分，共28分）1 計(jì)算極限解：原式-1分 -2分-3分-1分2 計(jì)算極限解：-1分 -1分-2分-2分所以，原式-1分3 設(shè)函數(shù)是由方程確定的隱函數(shù)，求.解：在方程兩邊同時(shí)求微分得： -4分 所以-3分4 設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且其一階導(dǎo)數(shù)不等于，求。解：在方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)數(shù)得-2分 所以-1分 所以-3分 -1分四（每小題7分，共21分）1 用語(yǔ)言證明。證明：先不妨設(shè)，則-2分對(duì)，要使，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，-2分所以只須，所以取，則當(dāng)時(shí)，-2分所以-1分2 證明函數(shù)在上不一致連續(xù)。證明：取-1分則構(gòu)造兩數(shù)列-2分則，-1分所以對(duì)，都能找到某個(gè),使得而-2分所以，在上不一致連續(xù)-1分 3 證明數(shù)列是收斂的。證明：，因?yàn)閷?duì)，有-2分 -2分所以對(duì)，取，則當(dāng)有，所以數(shù)列收斂。-3分五（8分）設(shè)且有，證明數(shù)列收斂，并求出極限。證明：因?yàn)榧僭O(shè)則，所以對(duì)有-3分所以，數(shù)列單調(diào)增加，所以收斂。-3分設(shè)其極限為則，所以或（舍），所以-2分六（7分）證明方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，其中為正整數(shù)。證明：令，則，所以在上有一零點(diǎn)，很顯然在上無(wú)零點(diǎn)。-3分假設(shè)在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為其兩零點(diǎn)，則對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用Rolle定理，得至少存在，使得，-2分