1、22.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c 圖象和性質(zhì),安陽市第二十中學(xué) 鄭永華,一般地，拋物線y=a(x-h) +k與y=ax 的 相同， 不同,2,2,知識(shí)回顧：,形狀,位置,y=ax,2,y=a(x-h) +k,2,上加下減,左加右減,知識(shí)回顧：,拋物線y=a(x-h) +k有如下特點(diǎn):,1.當(dāng)a0時(shí)，開口 ， 當(dāng)a0時(shí)，開口 ，,向上,向下,2.對(duì)稱軸是 ；,3.頂點(diǎn)坐標(biāo)是 。,直線X=h,(h,k),2,直線x=3,直線x=1,直線x=2,直線x=3,向上,向上,向下,向下,（3，5）,（1，2）,（3，7 ）,（2，6）,你能說出二次函數(shù)y=x 6x21圖像的特征嗎？,2,1,2,探

2、究:,如何畫出 的圖象呢?,我們知道,像y=a(x-h)2+k這樣的函數(shù),容易確定相應(yīng)拋物線的頂點(diǎn)為(h,k), 二次函數(shù) 也能化成這樣的形式嗎?,配方,y= (x6) +3,2,1,2,你知道是怎樣配方的嗎？,(1)“提”：提出二次項(xiàng)系數(shù)；,( 2 )“配”：括號(hào)內(nèi)配成完全平方；,（3）“化”：化成頂點(diǎn)式。,歸納,二次函數(shù) y= x 6x +21圖象的 畫法：,(1)“化” ：化成頂點(diǎn)式 ；,(2)“定”：確定開口方向、對(duì)稱軸、頂 點(diǎn)坐標(biāo)；,(3)“畫”：列表、描點(diǎn)、連線。,2,1,2,畫二次函數(shù)的圖象取點(diǎn)時(shí)先確定頂點(diǎn)，再在頂點(diǎn)的兩旁對(duì)稱地取相同數(shù)量的點(diǎn)，一般取57個(gè)點(diǎn)即可。,注意,求二次函

3、數(shù)y=ax+bx+c的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo),函數(shù)y=ax+bx+c的頂點(diǎn)是,配方:,提取二次項(xiàng)系數(shù),配方:加上再減去一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值一半的平方,整理:前三項(xiàng)化為平方形式,后兩項(xiàng)合并同類項(xiàng),化簡:去掉中括號(hào),這個(gè)結(jié)果通常稱為求頂點(diǎn)坐標(biāo)公式.,函數(shù)y=ax+bx+c的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么？,1. 說出下列函數(shù)的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)：,函數(shù)y=ax+bx+c的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么？,對(duì)于y=ax2+bx+c我們可以確定它的開口方向，求出它的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（有交點(diǎn)時(shí)），這樣就可以畫出它的大致圖象。,方法歸納,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象和性質(zhì),

4、.頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸,.位置與開口方向,.增減性與最值,拋物線,頂點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)稱軸,位置,開口方向,增減性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符號(hào)確定,由a,b和c的符號(hào)確定,向上,向下,在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小. 在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而增大.,在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大. 在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而減小.,根據(jù)圖形填表：,圖象的畫法,步驟：1利用配方法或公式法把,化為,的形式。,2確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)。,3在對(duì)稱軸的兩側(cè)以頂點(diǎn)為中心左右對(duì)稱描點(diǎn)畫圖。,所以當(dāng)x2時(shí)， 。,解法一（配方法）：,

5、例 當(dāng)x取何值時(shí)，二次函數(shù) 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？,因?yàn)?所以當(dāng)x2時(shí)， 。,因?yàn)閍20，拋物線 有最低點(diǎn)，所以y有最小值，,總結(jié)：求二次函數(shù)最值，有兩個(gè)方法 (1)用配方法；(2)用公式法,解法二（公式法）：,又,例已知函數(shù) ，當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)值y隨自變量的值的增大而減小。,解法一： ，,拋物線開口向下，, 對(duì)稱軸是直線x3，當(dāng) x3時(shí)，y隨x的增大而減小。,解法二：,，拋物線開口向下，, 對(duì)稱軸是直線x3，當(dāng) x3時(shí)，y隨x的增大而減小。,例已知二次函數(shù),的最大值是0，求此函數(shù)的解析式,解：此函數(shù)圖象開口應(yīng)向下，且頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為0所以應(yīng)滿足以下的條件組,由解方程得,所

6、求函數(shù)解析式為,。,練習(xí)1、已知拋物線y= ax2+bx+c與拋物線 y=-2x2 形狀相同,且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-5)的函數(shù)解析式為 .,2、若拋物線ya(x-m )2+n的圖象與函數(shù)y2x2的圖象的形狀相同,且頂點(diǎn)為(-3,2),則函數(shù)的解析式為 .,3、已知拋物線y= ax2+bx+c與拋物線y=x2 形狀相同,但開口方向相反,且頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (-1,5)的函數(shù)解析式為 .,4.拋物線y=-x2+mx-n的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （2，-3），求m，n的值。,5.不畫圖象，說明拋物線y=-x2+4x+5可由拋物線y=-x2經(jīng)過怎樣的平移得到？,y=2x2-5x+3,y=(x-3)(x+2),y= x2+

7、4x-9,求下列二次函數(shù)圖像的開口、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸,請(qǐng)畫出草圖:,小試牛刀,3,9,6,拋物線位置與系數(shù)a，b，c的關(guān)系：,a決定拋物線的開口方向： a0 開口向上,a0 開口向下, a，b決定拋物線對(duì)稱軸的位置: (對(duì)稱軸是直線x = ),a，b同號(hào) 對(duì)稱軸在y軸左側(cè)； b=0 對(duì)稱軸是y軸； a，b異號(hào) 對(duì)稱軸在y軸右側(cè),2a,b,【左同右異】, c決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置： c0 圖象與y軸交點(diǎn)在x軸上方； c=0 圖象過原點(diǎn)； c0 圖象與y軸交點(diǎn)在x軸下方。,頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ， ）。,（5）二次函數(shù)有最大或最小值由a決定。,當(dāng)x= 時(shí),y有最大(最小)值 y=,b,2a,_,4a,4a

8、cb,2,-1,例2、已知函數(shù)y = ax2 +bx +c的圖象如下圖所示，x= 為該圖象的對(duì)稱軸，根 據(jù)圖象信息你能得到關(guān)于系數(shù)a，b，c的一些什么結(jié)論？,y,1,.,.,x,1.拋物線y=2x2+8x-11的頂點(diǎn)在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.不論k 取任何實(shí)數(shù)，拋物線y=a(x+k)2+k(a0)的頂點(diǎn)都在 （ ） A.直線y = x上 B.直線y = - x上 C.x軸上 D.y軸上 3.若二次函數(shù)y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,則a的值是 （ ） A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1,C,B,A,4.若二次函數(shù) y=ax2 +

9、b x + c 的圖象如下,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),則下列各式中不成立的是 （ ） A.b2-4ac0 B. 0,5.若把拋物線y = x2 - 2x+1向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位,得拋物線y=x2+bx+c,則（ ） A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18,B,B,6.若一次函數(shù) y=ax+b 的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則二次函數(shù) y=ax2+bx-3 的大致圖象是 ( ),7.在同一直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù) y=ax2+bx+c 與一次函數(shù)y=ax+c的大致圖象可能是 （ ）,C,C,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(

10、a0)的圖象和性質(zhì),.頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸,.位置與開口方向,.增減性與最值,拋物線,頂點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)稱軸,位置,開口方向,增減性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符號(hào)確定,由a,b和c的符號(hào)確定,向上,向下,在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小. 在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而增大.,在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大. 在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而減小.,根據(jù)圖形填表：,（五）、學(xué)習(xí)回顧：,填寫表格：,1.相同點(diǎn): (1)形狀相同(圖像都是拋物線,開口方向相同). (2)都是軸對(duì)稱圖形. (3)都有最(大或小)值. (4)a0時(shí), 開口向上, 在對(duì)稱軸左側(cè),y都隨x的增大而減小, 在對(duì)稱軸右側(cè),y都隨 x的增大而增大. a0時(shí),開口向下, 在對(duì)稱軸左側(cè),y都隨x的增大而增大, 在對(duì)稱軸右側(cè),y都隨 x的增大而減小 .,駛向勝利的彼岸,回味無窮,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)與=ax的關(guān)系,2.不同點(diǎn): (1)位置不同(2)頂點(diǎn)不同:分別是 和(0