1、透視高考數(shù)學(xué)試題與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的三大熱點(diǎn)問(wèn)題 湖南祁陽(yáng)四中 何雙橋【考題回顧】近5年全國(guó)新課程卷對(duì)本章內(nèi)容的考查情況：科別年份題型題量分值考查內(nèi)容文科2002解答題114導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用2003解答題112利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2004解答題112綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義證明不等式2005解答題112利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程2006(浙江卷)解答題112求函數(shù)導(dǎo)數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)求最值，解有關(guān)單調(diào)性問(wèn)題。理科2002解答題112導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用2003選擇、解答題各1題5+12利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和證明函數(shù)的單調(diào)性。2004解答題112綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義證明不等式2005選擇、解答題各1題5+1

2、2導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2006(浙江卷)選擇、解答題各1題5+12導(dǎo)函數(shù)的概念，；利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，求函數(shù)的最值。【考點(diǎn)解讀】導(dǎo)數(shù)是高中新課程的新增內(nèi)容，它既是研究函數(shù)性態(tài)的有力工具，又是對(duì)學(xué)生進(jìn)行理性思維訓(xùn)練的良好素材。從近幾年的高考命題分析，高考對(duì)到導(dǎo)數(shù)的考查可分為三個(gè)層次：第一層次是主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和某些實(shí)際背景，求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則。第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的增減性等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問(wèn)題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式和函數(shù)的單調(diào)性、方程根的分布、解析幾何中的切線問(wèn)題等有機(jī)的結(jié)合在一起，設(shè)計(jì)綜

3、合試題。熱點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f (x) 在點(diǎn)x0導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f (x) 在點(diǎn)P(x0, f(x0)處的切線的斜率，也就是說(shuō)，曲線y=f (x) 在P (x0, f (x0)處的切線的斜率是f(x0)，于是相應(yīng)的切線方程為yy0=f(x0) (xx0)，巧借導(dǎo)數(shù)幾何意義“傳接”的各類綜合題頻頻出現(xiàn),因此也就成為了高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)?！惧e(cuò)題分析】錯(cuò)例1（06全國(guó)II）過(guò)點(diǎn)（1，0）作拋物線的切線，則其中一條切線方程為（A） （B） （C） （D）誤解： ,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何去何從意義可知，曲線的切線斜率(-1)=1，所以曲線的切線方程為y=(x1),即,選擇（C）剖析：本題錯(cuò)

4、在對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解有誤，切線的斜率k是應(yīng)是在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，而點(diǎn)(1，0) 不在曲線上。故本題應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求斜率，寫出直線的方程。正確解法：，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率為2，且于是切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)（1，0）在切線上，可解得0或4，代入可驗(yàn)正D正確。選D【典型題例】例1 已知雙曲線與點(diǎn)M（1，1），如圖所示.（1）求證：過(guò)點(diǎn)M可作兩條直線，分別與雙曲線C兩支相切；（2）設(shè)（1）中的兩切點(diǎn)分別為A、B，其MAB是正三角形，求m的值及切點(diǎn)坐標(biāo)?！究疾槟康摹勘绢}考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義在解析幾何綜合問(wèn)題中的特殊作用，使代數(shù)與幾何實(shí)現(xiàn)了和諧的勾通。（1）證明：設(shè)，要證命題成立只需要證明關(guān)于t的方程有兩個(gè)

5、符號(hào)相反的實(shí)根。 ，且t0，t1。設(shè)方程的兩根分別為t1與t2，則由t1t2=m0，知t1，t2是符號(hào)相反的實(shí)數(shù)，且t1，t2均不等于0與1，命題獲證。（2）設(shè)，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，從而，即線段AB的中點(diǎn)在直線上。又，AB與直線垂直。故A與B關(guān)于對(duì)稱， 設(shè)，則有t2-2mt+m=0 由及夾角公式知，即 由得 從而由知，代入知因此，。探究：求切線方程的常見(jiàn)方法有：1、數(shù)刑結(jié)合。2、將直線方程代入曲線方程利用判別式。3、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義。小結(jié)：深刻理解導(dǎo)數(shù)作為一類特殊函數(shù)，其幾何意義所在，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基本方法；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為

6、研究函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象開(kāi)辟了新的途徑，成為勾通函數(shù)與數(shù)列、圓錐曲線等問(wèn)題的一座橋梁；此外，導(dǎo)數(shù)還具有方法程序化，易掌握的顯著特點(diǎn)。【熱點(diǎn)沖刺】1（06安徽卷）若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為 A BC D解：與直線垂直的直線為，即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為，故選A2.（06四川卷）曲線在點(diǎn)處的切線方程是（A） （B） （C） （D）解：曲線，導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以切線方程是，選D.3.（06湖南卷）曲線和在它們交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是 .解析：曲線和在它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)，兩條切線方程分別是y=x+2和y=2x1，它們

7、與軸所圍成的三角形的面積是.4（07預(yù)測(cè)題）設(shè)拋物線y=x2與直線y=xa（a是常數(shù)）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，記拋物線在兩交點(diǎn)處切線分別為l1，l2，求值a變化時(shí)l1與l2交點(diǎn)的軌跡。解答：將y=xa代入y=x2整數(shù)得x2xa=0,為使直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，必須= (1)24a0，所以a設(shè)此兩交點(diǎn)為(，2)，(, 2)，由y=x2知y=2x，則切線l1，l2的方程為y=2x2，y=2x2.兩切線交點(diǎn)為(x，y) 則 因?yàn)?，是的解，由違達(dá)定理可知=1，=a由此及可得x=，y=a從而，所求的軌跡為直線x=上的y的部分。熱點(diǎn)二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、極值和

8、最值）必將是07年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。高考試題常以解答題形式出現(xiàn),主要考查利用導(dǎo)數(shù)為工具解決函數(shù)、不等式及數(shù)列有關(guān)的綜合問(wèn)題，題目較難?！惧e(cuò)解分析】錯(cuò)例2 (06湖南十校大聯(lián)考)已知函數(shù)f(x) = 在(2，)內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是_誤解：f(x)=，由f (x)在(2，)內(nèi)單調(diào)遞減，知f(x)0在x(2，)內(nèi)恒立，即0在x(2，)內(nèi)恒立。因此，a。剖析：(1)本題看似正確，實(shí)際上卻忽視了一個(gè)重要問(wèn)題：未驗(yàn)證f(x)是否恒為零。因?yàn)閒 (x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增（或遞減）的充要條件f(x)0 (f(x)0且f(x)在任一子區(qū)間上不恒為零。而當(dāng)a=時(shí)，f(x) =不是單調(diào)遞減函數(shù)，不合題意。

9、(2)在區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)數(shù)f(x) ，利用導(dǎo)數(shù)判別f(x)單調(diào)性法則為：若xD時(shí)，有f(x)0(0, 則f(x)在D內(nèi)是增（減）函數(shù)；反之，若f(x)在D內(nèi)是增(減)函數(shù)，則xD時(shí)，恒有f(x)0（0）。（不恒為0）（3）再由函數(shù)的單調(diào)性過(guò)渡到函數(shù)的極值，由錯(cuò)例2 到 錯(cuò)例3錯(cuò)例3 (06江蘇南通三模)函數(shù)f (x) = (x21)32的極值點(diǎn)是（ ）A、x=2B、x=1C、x=1或1或0D、x=0誤解: f (x) =x63x43x21,則由f(x)=6x512x36x=0得極值點(diǎn)為x=1，x=1和x=0，故正確答案為C.剖析：滿足f(x0)=0的點(diǎn)x=x0（稱為駐點(diǎn)）只是它為極大（?。┲迭c(diǎn)的必

10、要而不充分條件，如果一味地把駐點(diǎn)等同于極值點(diǎn)，往往容易導(dǎo)致失誤。正確解法: 事實(shí)上，這三點(diǎn)只是駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn))，由f(x) =6x512x36x=6x(x1)2(x1)2知，當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(0，1)，f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0. f (x)在 (，1)、(1，0)單調(diào)遞增，在(0，1)、(1，)單調(diào)遞減。則x=0為極小值點(diǎn)，x=1或1都不是極值點(diǎn)（稱為拐點(diǎn)）。故應(yīng)選D?！镜湫皖}例】例2：（06湖南卷）已知函數(shù),數(shù)列滿足:證明:(); ().證明: （I）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，1,2,3, (i).當(dāng)n=1時(shí),由已知顯然結(jié)論成立.

11、(ii).假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即.因?yàn)?x0成立.于是故點(diǎn)評(píng)：由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式、數(shù)列有關(guān)的綜合問(wèn)題必將會(huì)成為2007高考的重點(diǎn)內(nèi)容，在學(xué)習(xí)中要足夠地重視。 例3：設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、dR)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x=1時(shí)，f(x)取極小值-。(1)求a、b、c、d的值；(2)當(dāng)x-1,1時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過(guò)此兩點(diǎn)的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論；(3)若x1,x2-1,1時(shí)，求證：|f(x1)-f(x2)|?！究疾槟康摹勘绢}主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用、絕對(duì)值不等式以及綜合推理能力。解(1) 函數(shù)f(

12、x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(-x)=- f(x).-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx. f(x)=3ax2+c.x=1時(shí),f(x)取極小值-. f(1)=0且f(1)=- ,即3a+c=0且a+c=-. 解得a=,c=-1.(2)證明：當(dāng)x-1,1時(shí)，圖象上不存在這樣的兩點(diǎn)使結(jié)論成立，假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得過(guò)這兩點(diǎn)的切線互相垂直，則由f(x)=x2-1，知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-1)=-1

13、. (*)x1、x2-1,1, x12-10，x22-10(x12-1)(x22-1)0，這與(*)相矛盾，故假設(shè)不成立.(3)證明：f(x)=x2-1,由f(x)=0,得x=1.當(dāng)x(-，-1)或（1，+）時(shí)，f(x)0; 當(dāng) x(-1，1)時(shí)，f(x)0.f(x)在-1,1上是減函數(shù)，且fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= -.在-1,1上，|f(x)|.于是x1,x2-1,1時(shí)，|f(x1)-f(x2)|f(x1)|+|f(x2)|+=.故x1,x2-1,1時(shí),|f(x1)-f(x2)|.探究：若x0點(diǎn)是y=f(x)的極值點(diǎn)，則f(x0)=0,反之不一定成立；在討

14、論存在性問(wèn)題時(shí)常用反證法；利用導(dǎo)數(shù)得到y(tǒng)=f(x)在-1,1上遞減是解第(3)問(wèn)的關(guān)鍵.【熱點(diǎn)沖刺】1.（06浙江卷）在區(qū)間上的最大值是(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4解：，令可得x0或2（2舍去），當(dāng)1x0，當(dāng)0x1時(shí)，0，所以當(dāng)x0時(shí)，f（x）取得最大值為2。選C2（06安徽卷）已知函數(shù)在R上有定義，對(duì)任何實(shí)數(shù)和任何實(shí)數(shù)，都有（）證明；（）證明 其中和均為常數(shù)；（）當(dāng)（）中的時(shí)，設(shè)，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值。證明（）令，則，。（）令，則。假設(shè)時(shí)，則，而，即成立。令，假設(shè)時(shí)，則，而，即成立。成立。（）當(dāng)時(shí)，令，得；當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)取得極小

15、值，極小值為3（06福建卷）已知是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在實(shí)數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。解：（I）當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，綜上，（II）函數(shù)的圖象與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)或時(shí)

16、，當(dāng)充分接近0時(shí)，當(dāng)充分大時(shí)，要使的圖象與軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須即所以存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)與的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，的取值范圍為4.（預(yù)測(cè)題）證明方程x=sinx在(，)內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根。解答：設(shè)f(x)=xsinx，即證f(x)=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)。因?yàn)閒(x)=1cosx0，其中等號(hào)只在孤立點(diǎn)x=2k(kZ)時(shí)成都市立。故f(x)在(，)上是遞增的。又由于f(0)=0，故當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，當(dāng)x0時(shí)，f (x)0。因此f (x)=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根x=0.5（預(yù)測(cè)題）.已知0x1，n為大于1的正整數(shù)，求證：xn(1x)n1解答：設(shè)則，令，得，由于0x1，則有x=1x，解得x=又

17、經(jīng)比較知f(x)在0，1上的最小值、最大值分別為，所以xn(1x)n1熱點(diǎn)三：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題：學(xué)習(xí)的目的，就是要會(huì)實(shí)際應(yīng)用，學(xué)生要有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，思想方法以及能力。近幾年，高考越來(lái)越注重對(duì)實(shí)際問(wèn)題的考查，因此要學(xué)會(huì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)最優(yōu)化的問(wèn)題及即時(shí)速度、邊際成本等問(wèn)題。實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的考查必將是07年高考的又一熱點(diǎn).【錯(cuò)解分析】錯(cuò)例4從邊長(zhǎng)為2a 的正方形鐵片的四個(gè)角各截去一小塊邊為的正方形（如右圖所示），再將四邊向上折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵盒，要求長(zhǎng)方體的高度與底面正方形邊長(zhǎng)的比值不超過(guò)常數(shù)t.問(wèn)：取何值時(shí)，容積V有最大值。誤解： 因?yàn)樗院瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，這時(shí)V

18、在定義域內(nèi)有惟一極值點(diǎn)由問(wèn)題的實(shí)際意義可知，剖析：求解函數(shù)的最值問(wèn)題，應(yīng)注意函數(shù)的定義域，本例由導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是否落在定義域內(nèi)，引出了討論。有時(shí)還要注意對(duì)導(dǎo)數(shù)為0的情形進(jìn)行討論。正確解法：當(dāng)這時(shí)V在定義域內(nèi)有惟一極值點(diǎn)由問(wèn)題的實(shí)際意義可知，知V在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故當(dāng)【典型題例】例4（06江蘇卷）請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？點(diǎn)撥：本題難點(diǎn)是如何把實(shí)際問(wèn)題中所涉及的幾個(gè)變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式. 技巧與方法主要有：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形

19、的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變化，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系.解：設(shè)OO1為x m,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為O1（單位：m）于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）帳篷的體積為（單位：m3）求導(dǎo)數(shù)，得令解得x=-2(不合題意，舍去),x=2.當(dāng)1x2時(shí)，,V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2x4時(shí)，,V(x)為減函數(shù)。所以當(dāng)x=2時(shí),V(x)最大。答當(dāng)OO1為2m時(shí)，帳篷的體積最大。點(diǎn)評(píng)：解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù).把“問(wèn)題情景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系近似化，形式化，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再劃歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解（尤其要注意使用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化的問(wèn)題）?！緹狳c(diǎn)沖刺】1.(06福建