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1、線性代數(shù)第三講,BY ZHU 3-Oct-20,第五節(jié) 初等變換和初等矩陣,第一章 矩陣,引例,一、初等變換的引入-方程組 的同解變換,求解線性方程組,我們來分析用消元法解下列方程組的過程,小結(jié)：,1上述解方程組的方法稱為Gauss消元法,2,（1）交換兩個方程的次序；,（3）一個方程加上另一個方程的常數(shù)k倍,（2）以不等于的常數(shù) 乘上某個方程；,3上述三種變換都是可逆的,由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換,因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運算，未知量并未參與運算,若記,則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣 (方程組（I

2、）的增廣矩陣）的變換,定義1,下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:,二、矩陣的初等變換,定義2 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換,初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同,同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”),逆變換,逆變換,逆變換,等價關(guān)系的性質(zhì)：,具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價關(guān)系,例如，兩個線性方程組同解，,就稱這兩個線性方程組等價,定義 由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.,三種初等變換對應(yīng)著三種初等方陣.,矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應(yīng)用廣泛.,三、初等矩陣的概念,定理1 設(shè) 是一個 矩陣，對 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在

3、的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣.,初等變換,初等矩陣,初等逆變換,初等逆矩陣,定理1 設(shè) 是一個 矩陣，對 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣.,初等變換,初等矩陣,初等逆變換,初等逆矩陣,四、初等矩陣的應(yīng)用,特點：,例如，,標(biāo)準(zhǔn)形,定理3 A為可逆方陣的充分必要條件是存在有限個初等方陣,（應(yīng)用一）利用初等變換求逆陣的方法：,解,例 2,初等行變換,例 3,解,1.初等行(列)變換,初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同,3.矩陣等價具有的性質(zhì),五、小結(jié),5. 利用

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