1、小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級)本教程共30講第30講 包含與排除同學(xué)們對這個題目可能很陌生，為了搞清楚什么是“包含與排除”，大家先一起回答兩個問題：(1) 兩個面積都是4厘米2的正方形擺在桌面上(見左下圖)，它們遮蓋住桌面的面積是8厘米2嗎？(2)一個正方形每條邊上有6個點(diǎn)(見右上圖)，四條邊上一共有24個點(diǎn)嗎？聰明的同學(xué)馬上就會發(fā)現(xiàn)：(1)兩個正方形的面積和是8厘米2，現(xiàn)在它們有一部分重疊了。因此蓋住桌面的面積應(yīng)當(dāng)從兩個正方形的面積和中減去重疊的這部分面積，所以蓋住桌面的面積應(yīng)少于8厘米2。(2)四個角上的點(diǎn)每個點(diǎn)都在兩條邊上，因此被重復(fù)計算了，在求四條邊上共有多少點(diǎn)時，應(yīng)當(dāng)減去重復(fù)計算的點(diǎn)

2、，所以共有 64-4 20(個)點(diǎn)。這兩個問題，在計算時，都采用了“去掉”重復(fù)的數(shù)值(面積或個數(shù))的方法。一般地，若已知A，B，C三部分的數(shù)量(見右圖)，其中C為A，B的重復(fù)部分，則圖中的數(shù)量就等于A B- C。因?yàn)锳，B有互相包含(重復(fù))的部分C，所以，在求A和B合在一起的數(shù)量時，就要在AB中減去A和B互相包含的部分C。這種方法稱為包含排除法。實(shí)際上，我們前面已經(jīng)遇到過包含與排除的問題。如，第10講“植樹問題”的例3和例4，只不過那時我們沒有明確提出“包含排除法”。例1 把長38厘米和53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條。已知焊接部分長4厘米，焊接后這根鐵條有多長？解：因?yàn)楹附硬糠譃閮筛F條的重

3、合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長38 53- 4 87(厘米)。例2某小學(xué)三年級四班，參加語文興趣小組的有28人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有29人，有12人兩個小組都參加。這個班有多少人參加了語文或數(shù)學(xué)興趣小組？分析與解：如上頁左下圖所示，A圓表示參加語文興趣小組的人，B圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，A與B重合的部分(陰影部分)表示同時參加兩個小組的人。圖中A圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有28-1216(人)；圖中B圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語文興趣小組的人，有29-1217(人)(見上頁右下圖)。由此得到參加語文或數(shù)學(xué)興趣小組的有16

4、 12 17 45(人)。根據(jù)包含排除法，直接可得28 29- 12 45(人)。例3 某班共有46人，參加美術(shù)小組的有12人，參加音樂小組的有23人，有5人兩個小組都參加了。這個班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人？分析與解：與例2對比，本例已知全班總?cè)藬?shù)，如果能仿照例2求出參加了美術(shù)或音樂小組的人數(shù)，那么只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個人數(shù)，就得到所求的人數(shù)。根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個小組的總?cè)藬?shù)為12 23- 5 30(人)。所以，該班未參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)是46-30=16(人)。綜合列式為46- ( 12 23- 5) 16(人)。例4 三年級科技活動組共有63人。在一

5、次剪貼汽車模型和裝配飛機(jī)模型的定時科技活動比賽中，老師到時清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有42人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有34人。每個同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動。問：同時完成這兩項(xiàng)活動的同學(xué)有多少人？分析與解：因423476，7663，所以必有人同時完成了這兩項(xiàng)活動。由于每個同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動，根據(jù)包含排除法知，4234-(完成了兩項(xiàng)活動的人數(shù))=全組人數(shù)，即76-(完成了兩項(xiàng)活動的人數(shù))63。由減法運(yùn)算法則知，完成兩項(xiàng)活動的人數(shù)為76-6313(人)。例5 在前100個自然數(shù)中，能被2或3整除的數(shù)有多少個？分析與解：如右圖所示，A圓內(nèi)是前100個自然數(shù)中所有能被2整除的數(shù)，B圓內(nèi)是

6、前100個自然數(shù)中所有能被3整除的數(shù)，C為前100個自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù)。前100個自然數(shù)中能被2整除的數(shù)有1002=50(個)。由 1003 33 1知，前 100個自然數(shù)中能被 3整除的數(shù)有 33個。由 100(23) 164知，前 100個自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù)有16個。所以A中有50個數(shù)，B中有33個數(shù)，C中有16個數(shù)。因?yàn)锳，B都包含C，根據(jù)包含排除法得到，能被2或3整除的數(shù)有50 33- 16 67(個)。練習(xí)301.三年級四班組織了一次象棋和軍棋的棋類比賽，參加象棋比賽的有35人，參加軍棋比賽的有24人，有16人兩項(xiàng)比賽都參加了。這個班參加棋類比賽的

7、共有多少人？2.某校一個歌舞表演隊(duì)里，能表演獨(dú)唱的有10人，能表演跳舞的有18人，兩種都能表演的有7人。這個表演隊(duì)共有多少人能登臺表演歌舞？3.一班有45人，其中26人參加了數(shù)學(xué)競賽，22人參加了作文比賽，12人兩項(xiàng)比賽都參加了。一班有多少人兩項(xiàng)比賽都沒有參加？4.甲、乙兩家合住在一套單元房里。甲家能夠使用的面積(包括廚房、廁所、走廊等，下同)有56米2，乙家能夠使用的面積有65米2，甲、乙兩家都能使用的面積有30米2。求這套單元的使用面積。5.在自然數(shù)1100中，能被3或5中任一個整除的數(shù)有多少個？6.在自然數(shù)1100中，不能被2，3中任一個整除的數(shù)有多少個？答案與提示練習(xí)301.43人。解：3524-16=43(人)。2.21人。解：1018-7=21(人)。3.9人。解：45-(2622-12)=9(人)。4.91米2