1、第十七章 勾股定理單 元課件,17.1 勾股定理,第十七章 勾股定理,導入新課,講授新課,當堂練習,課堂小結(jié),第1課時 勾股定理,1.經(jīng)歷勾股定理的探究過程，了解關于勾股定理的一 些文化歷史背景，會用面積法來證明勾股定理，體 會數(shù)形結(jié)合的思想.（重點） 2.會用勾股定理進行簡單的計算 .（難點）,其他星球上是否存在著“人”呢？為了探尋這一點，世界上許多科學家向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等.,導入新課,情景引入,據(jù)說我國著名的數(shù)學家華羅庚曾建議“發(fā)射”一種勾股定理的圖形(如圖).,很多學者認為如果宇宙“人”也擁有文明的話，那么他們一定會認識這種語言，因為幾乎所有具有古

2、代文化的民族和國家都對勾股定理有所了解.,勾股定理有著悠久的歷史：古巴比倫人和古代中國人看出了這個關系，古希臘的畢達哥拉斯學派首先證明了這關系，下面讓我們一起來通過視頻來了解吧：,講授新課,我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形磚鋪成的地面（如圖）：,問題1 試問正方形A、B、C面積之間有什么樣的數(shù)量關系？,一直角邊2,另一直角邊2,斜邊2,+,=,問題2 圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關系？,問題3在網(wǎng)格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個正方形A、B、C 是否也有類似的面積關系？觀察下邊兩幅圖(每個小

3、正方形的面積為單位1)：,這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？,方法1：補形法(把以斜邊為邊長的正方形補成各邊都在網(wǎng)格線上的正方形）：,左圖：,右圖：,方法2：分割法(把以斜邊為邊長的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）：,左圖：,右圖：,你還有其他辦法求C的面積嗎？,根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表：,4,13,25,9,16,9,思考 正方形A、B、C 所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關系？,命題1 如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.,由上面的幾個例子，我們猜想：,下面動圖形象的說明命題1

4、的正確性，讓我們跟著以前的數(shù)學家們用拼圖法來證明這一猜想.,a,b,b,c,a,b,c,a,證法1 讓我們跟著我國漢代數(shù)學家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.,a,b,c,S大正方形c2，,S小正方形(b-a)2,S大正方形4S三角形S小正方形，,趙爽弦圖,b-a,證明：,“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學的驕傲.因為，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學大會的會徽.,證法2 畢達哥拉斯證法，請先用手中的四個全等的直角三角形按圖示進行拼圖，然后分析其面積關系后證明吧.,a2+b2+2ab=c2+2ab，,a2 +b2 =c2.,證明： S大正方形=

5、(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab，,a,a,b,b,c,c,a2 + b2 = c2.,證法3 美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.,如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2 + b2 = c2.,在我國又稱商高定理，在外國則叫畢達哥拉斯定理，或百牛定理.,a、b、c為正數(shù),如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.,公式變形：,勾股定理,a,b,c,歸納總結(jié),在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為

6、“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.,勾2+股2=弦2,小貼士,例1 如圖，在RtABC中， C=90.,（1）若a=b=5,求c;,（2）若a=1,c=2,求b.,(2)據(jù)勾股定理得,（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;,（2）若b=15，A=30,求a,c.,【變式題1】在RtABC中， C=90.,x2+(2x)2=52，,解得,(2),因此設a=x,c=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得,(2x)2-x2=152，,解得,已知直角三角形兩邊關系和第三邊的長求未知兩邊時，要運用方程思想設未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.,【變式題2】 在RtABC中，AB4，AC3，求BC的長.

7、,解：本題斜邊不確定，需分類討論： 當AB為斜邊時，如圖， 當BC為斜邊時，如圖，,圖,圖,當直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進行分類討論，否則容易丟解.,例2 已知ACB=90,CDAB,AC=3,BC=4.求CD的長.,解：由勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根據(jù)三角形面積公式， ACBC= ABCD. CD= .,由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯(lián)合使用,練一練,求下列圖中未知數(shù)x、y的值：,解：由勾股定理可得 81+ 144=x2，

8、 解得x=15.,解：由勾股定理可得 y2+ 144=169， 解得 y=5,當堂練習,1.下列說法中,正確的是 （ ） A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2 B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方 C.在RtABC中，C=90,所以a2+b2=c2 D.在RtABC中，B=90,所以a2+b2=c2,C,2.圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為 .,36 cm,3.在ABC中，C=90. （1）若a=15，b=8，則c= . （2）若c=13，b=12，則a= . 4.若直角三角形中，有兩邊長是5和7，則第三邊長 的平方為_.,17,5,74或24,5.求斜邊

9、長17 cm、一條直角邊長15 cm的直角三角形的面積.,解：設另一條直角邊長是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289225=64， x=8（負值舍去）， 另一直角邊長為8 cm，,直角三角形的面積是,(cm2).,6.如圖，在ABC中，ADBC，B=45，C=30，AD=1，求ABC的周長,解：ADBC，ADB=ADC=90 在RtADB中，B+BAD=90，B=45， B=BAD=45， BD=AD=1，AB= 在RtADC中，C=30， AC=2AD=2， CD= ，BC=BD+CD=1+ ， ABC的周長=AB+AC+BC= ,解：AEBE，

10、 SABE AEBE AE2. 又AE2BE2AB2， 2AE2AB2， SABE AB2 ； 同理可得SAHCSBCF AC2 BC2. 又AC2BC2AB2， 陰影部分的面積為 AB2 .,7.如圖，以RtABC的三邊長為斜邊分別向外作等腰直角三角形若斜邊AB3，求ABE及陰影部分的面積.,能力提升：,課堂小結(jié),勾股定理,內(nèi)容,在RtABC中， C=90,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.,注意,在直角三角形中,看清哪個角是直角,已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論,17.1 勾股定理,第十七章 勾股定理,導入新課,講授新課,當堂練習,課堂小結(jié),第2課時 勾股定理

11、在實際生活中的應用,1. 會運用勾股定理求線段長及解決簡單的實際問題. （重點） 2.能從實際問題中抽象出直角三角形這一幾何模型，利用勾股定理建立已知邊與未知邊長度之間的聯(lián) 系，并進一步求出未知邊長.（難點）,情景引入,數(shù)學來源于生活，勾股定理的應用在生活中無處不在，觀看下面視頻，你們能理解曾小賢和胡一菲的做法嗎？,導入新課,問題 觀看下面同一根長竹竿以三種不同的方式進門的情況，并結(jié)合曾小賢和胡一菲的做法，對于長竹竿進門之類的問題你有什么啟發(fā)？,這個跟我們學的勾股定理有關，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,講授新課,例1 一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m,寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)通過?為

12、什么?,典例精析,解：在RtABC中，根據(jù)勾股定理，,AC2=AB2+BC2=12+22=5,因為AC大于木板的寬2.2m,所以木板能從門框內(nèi)通過.,分析：可以看出木板橫著，豎著都不能通過，只能斜著.門框AC的長度是斜著能通過的最大長度，只要AC的長大于木板的寬就能通過.,解：在RtABC中，根據(jù)勾股定理得,OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，,OB=1.,在RtCOD中，根據(jù)勾股定理得,OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.,例2 如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎

13、直的墻AO上，這時AO為2.4m. 如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?,例3 在一次臺風的襲擊中，小明家房前的一棵大樹在離地面6米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部8米處.你能告訴小明這棵樹折斷之前有多高嗎？,A,C,B,解：根據(jù)題意可以構(gòu)建一直角三角形模型，如圖. 在RtABC中， AC=6米，BC=8米， 由勾股定理得,這棵樹在折斷之前的高度是10+6=16（米）.,利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：,（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關系；,（2）構(gòu)造直角三角形；,（3）利用勾股定理等列方程；,（4）解決實際問題.,歸納總結(jié),數(shù)學問題,直角三角形,勾股定理,

14、實際問題,1.湖的兩端有A、B兩點，從與BA方向成直角的BC方向上的點C測得CA=130米,CB=120米,則AB為 ( ),A.50米 B.120米 C.100米 D.130米,130,120,?,A,練一練,C,A,B,2.如圖，學校教學樓前有一塊長方形長為4米，寬為3米的草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“徑路”，卻踩傷了花草. （1）求這條“徑路”的長； （2）他們僅僅少走了幾步(假設2步為1米)？,解：(1)在Rt ABC中， 根據(jù)勾股定理得 這條“徑路”的長為5米.,（2）他們僅僅少走了 (3+4-5)2=4(步).,A,2,1,-4,-3,-2,-1,-1

15、,2,3,1,4,5,例4 如圖，在平面直角坐標系中有兩點A(-3,5),B(1,2)求A,B兩點間的距離.,y,O,x,3,B,C,解：如圖，過點A作x軸的垂線,過點B作x,y軸的垂線.相交于點C,連接AB. AC=5-2=3，BC=3+1=4， 在RtABC中，由勾股定理得 A,B兩點間的距離為5.,方法總結(jié)：兩點之間的距離公式：一般地，設平面上任意兩點,思考 在八年級上冊中，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等學習了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？,已知：如圖，在RtABC 和RtA B C 中，C= C =90，AB=A B ，AC=A C 求證：AB

16、CA B C ,證明：在RtABC 和RtA B C 中， C=C=90， 根據(jù)勾股定理得,C,B,A,問題 在A點的小狗，為了盡快吃到B點的香腸，它選擇A B 路線，而不選擇A C B路線，難道小狗也懂數(shù)學？,AC+CB AB（兩點之間線段最短）,思考 在立體圖形中，怎么尋找最短線路呢？,想一想：螞蟻走哪一條路線最近？,A,螞蟻AB的路線,問題：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，螞蟻怎么走最近？,根據(jù)兩點之間線段最短易知第一個路線最近.,若已知圓柱體高為12 cm，底面半徑為3 cm，取3.,側(cè)面展開圖,A,A

17、,解：在RtABA中，由勾股定理得,立體圖形中求兩點間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據(jù)兩點之間線段最短確定最短路線.,例5 有一個圓柱形油罐，要以A點環(huán)繞油罐建梯子，正好建在A點的正上方點B處，問梯子最短需多少米(已知油罐的底面半徑是2 m，高AB是5 m，取3）?,A,B,A,B,A,B,解：油罐的展開圖如圖，則AB為梯子的最短距離. AA=232=12, AB=5, AB=13. 即梯子最短需13米.,典例精析,數(shù)學思想：,立體圖形,平面圖形,轉(zhuǎn)化,展開,B,牛奶盒,A,【變式題】看到小螞蟻終于喝到飲料的興奮勁兒，小明又靈光乍現(xiàn)，拿出了牛奶盒，把小螞蟻放在了點A處，

18、并在點B處放上了點兒火腿腸粒，你能幫小螞蟻找到完成任務的最短路程么？,6cm,8cm,10cm,B,B1,8,A,B2,6,10,B3,AB12 =102 +（6+8）2 =296，,AB22= 82 +（10+6）2 =320，,AB32= 62 +（10+8）2 =360，,解：由題意知有三種展開方法，如圖.由勾股定理得,AB1AB2AB3.,小螞蟻完成任務的最短路程為AB1，長為 .,例5 如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家他要完成這件事情所走的最短路程是多少？,牧童A,小屋B,A,C,東,北,解：如

19、圖，作出點A關于河岸的對稱點A，連接AB則AB就是最短路線. 由題意得AC=4+4+7=15(km)，BC=8km. 在RtADB中，由勾股定理得,求直線同側(cè)的兩點到直線上一點所連線段的和的最短路徑的方法：先找到其中一點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一點的線段就是最短路徑長，以連接對稱點與另一個點的線段為斜邊，構(gòu)造出直角三角形，再運用勾股定理求最短路徑.,如圖，是一個邊長為1的正方體硬紙盒，現(xiàn)在A處有一只螞蟻，想沿著正方體的外表面到達B處吃食物，求螞蟻爬行的最短距離是多少.,A,B,解：由題意得AC =2，BC=1, 在RtABC中，由勾股定理得 AB= AC+ BC=2+1=5 AB=

20、 ，即最短路程為 .,練一練,1.從電桿上離地面5m的C處向地面拉一條長為7m的鋼纜，則地面鋼纜A到電線桿底部B的距離是（） A.24m B.12m C. m D. cm,D,當堂練習,2.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這只鉛筆的長度可能是（） A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm,D,3.已知點(2,5),(-4,-3),則這兩點的距離為_.,10,4.如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵2米，兩棵對 相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵的樹梢，問小鳥至少飛行多少？,A,B,C,解：如圖，過點A作ACBC于點C. 由題意得AC

21、=8米，BC=8-2=6(米)， 答：小鳥至少飛行10米.,5.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于55cm，10cm和6cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？,B,A,解：臺階的展開圖如圖，連接AB.,在RtABC中，根據(jù)勾股定理得,AB2=BC2AC25524825329,AB=73cm.,6. 為籌備迎接新生晚會，同學們設計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖.已知圓筒的高為108cm，其橫截面周長為36cm，如果在表面均勻纏繞油紙4圈，應裁剪多長的油紙？

22、,能力提升：,解：如右下圖，在RtABC中， AC36cm，BC108427(cm) 由勾股定理，得 AB2AC2BC23622722025452， AB45cm， 整個油紙的長為454180(cm),課堂小結(jié),勾股定理 的應用,用勾股定理解決實際問題,用勾股定理解決點的距離及路徑最短問題,解決“HL”判定方法證全等的正確性問題,17.1 勾股定理,第十七章 勾股定理,導入新課,講授新課,當堂練習,課堂小結(jié),第3課時 利用勾股定理作圖或計算,1. 會運用勾股定理確定數(shù)軸上表示實數(shù)的點及解決 網(wǎng)格問題.（重點） 2.靈活運用勾股定理進行計算，并會運用勾股定理 解決相應的折疊問題.（難點）,欣賞下

23、面海螺的圖片：,導入新課,情景引入,在數(shù)學中也有這樣一幅美麗的“海螺型”圖案， 如第七屆國際數(shù)學教育大會的會徽.,這個圖是怎樣繪制出來的呢？,問題1 我們知道數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù).你能在數(shù)軸上分別畫出表示3,-2.5的點嗎？,3,-2.5,問題2 求下列三角形的各邊長.,1,2,1,2,3,？,？,？,1,復習引入,問題1 你能在數(shù)軸上表示出 的點嗎？ 呢？,用同樣的方法作 呢？,講授新課,提示：可以構(gòu)造直角三角形作出邊長為無理數(shù)的邊，就能在數(shù)軸上畫出表示該無理數(shù)的點.,思考 根據(jù)上面問題你能在數(shù)軸上畫出表示 的點嗎？,問題2 長為 的線段能是直角邊的長都為

24、正整數(shù)的直角三角形的斜邊嗎？,0,1,2,3,4,步驟：,l,A,B,C,1.在數(shù)軸上找到點A,使OA=3;,2.作直線lOA,在l上取一點B，使AB=2;,3.以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數(shù)軸交 于C點，則點C即為表示 的點.,O,也可以使OA=2，AB=3，同樣可以求出C點.,利用勾股定理表示無理數(shù)的方法:,（1）利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊.,（2）以原點為圓心，以無理數(shù)斜邊長為半徑畫弧與數(shù)軸存在交點，在原點左邊的點表示是負無理數(shù)，在原點右邊的點表示是正無理數(shù).,歸納總結(jié),“數(shù)學海螺”,類似地，利用勾股定理可以作出長為 線段.,1,1,類比

25、遷移,例1 如圖，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，求a的值.,解：圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2， 斜邊長為 ， 即1到A的距離是 ， 點A所表示的數(shù)為 .,易錯點撥：求點表示的數(shù)時注意畫弧的起點不從原點起，因而所表示的數(shù)不是斜邊長.,典例精析,1.如圖，點A表示的實數(shù)是 （）,2.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在數(shù)軸上，若以點A為圓心，對角線AC的長為半徑作弧交數(shù)軸于點M，則點M表示的數(shù)為（）,C,D,練一練,0,1,2,3,4,l,A,B,C,3.你能在數(shù)軸上畫出表示 的點嗎？,畫一畫 在55的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，請在給定網(wǎng)格中以A出發(fā)分別畫出長度為 的

26、線段AB,B,B,B,例2 在如圖所示的68的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，寫出格點ABC各頂點的坐標，并求出此三角形的周長,解：由題圖得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2). 由勾股定理得 ABC的周長為,勾股定理與網(wǎng)格的綜合求線段長時，通常是把線段放在與網(wǎng)格構(gòu)成的直角三角形中，利用勾股定理求其長度.,例3 如圖是由4個邊長為1的正方形構(gòu)成的田字格，只用沒有刻度的直尺在這個田字格中最多可以作出多少條長度為 的線段？,解：如圖所示，有8條.,一個點一個點的找，不要漏解.,例4 如圖，在22的方格中，小正方形的邊長是1，點A、B、C都在格點上，求AB邊上的高.,解：如圖，過點C作C

27、DAB于點D.,D,此類網(wǎng)格中求格點三角形的高的題，常用的方法是利用網(wǎng)格求面積，再用面積法求高.,如圖，在55正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長 均為1，畫出一個三角形的長分別為 .,A,B,C,練一練,解：如圖所示.,例5 如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的F點處，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.,解：在RtABF中,由勾股定理得 BF2=AF2AB2=10282=36， BF=6cm.CF=BCBF=4. 設EC=xcm，則EF=DE=(8x)cm ， 在RtECF中,根據(jù)勾股定理 得 x2+ 42=(8x)2， 解得 x=3.,即EC的長為3cm.,要用到方

28、程思想,【變式題】如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的B處，點A的對應點為A，且BC3，求AM的長.,解：連接BM，MB.設AMx， 在RtABM中，AB2AM2BM2. 在RtMDB中，MD2DB2=MB2. MBMB， AB2AM2MD2DB2， 即92x2(9x)2(93)2， 解得x2. 即AM2.,折疊問題中結(jié)合勾股定理求線段長的方法: (1)設一條未知線段的長為x(一般設所求線段的長為x)； (2)用已知線數(shù)或含x的代數(shù)式表示出其他線段長； (3)在一個直角三角形中應用勾股定理列出一個關于x 的方程； (4)解這個方程，從而求出所求線段長

29、.,歸納總結(jié),例6 如圖，四邊形ABCD中A=60，B=D=90，AB=2，CD=1，求四邊形ABCD的面積,解：如圖，延長AD、BC交于E B=90，A=60， E=9060=30， 在RtABE和RtCDE中， AB=2，CD=1， AE=2AB=22=4，CE=2CD=21=2， 由勾股定理得,E,D,C,B,A,補形法求面積,當堂練習,1.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B都是格點，則線段AB的長度為（ ） A.5 B.6 C.7 D.25,A,2.小明學了利用勾股定理在數(shù)軸上作一個無理數(shù)后，于是在數(shù)軸上的2個單位長度的位置找一個點D，然后點D做一條垂直于數(shù)軸的

30、線段CD，CD為3個單位長度，以原點為圓心，以到點C的距離為半徑作弧，交數(shù)軸于一點，則該點位置大致在數(shù)軸上（）A.2和3之間 B.3和4之間 C.4和5之間 D.5和6之間,B,3.如圖，網(wǎng)格中的小正方形邊長均為1，ABC的三個頂點均在格點上，則AB邊上的高為_.,解：AB=AD=8cm，A=60， ABD是等邊三角形. ADC=150, CDB=15060=90， BCD是直角三角形. 又四邊形的周長為32cm， CD+BC=32-AD-AB=32-8-8=16(cm). 設CD=x，則BC=16-x， 由勾股定理得82+x2=(16-x)2 解得x=6cm.SBCD= 68=24(cm)2

31、.,4.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=8cm，A=60，ADC=150，已知四邊形ABCD的周長為32cm，求BCD的面積,5.如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點D落在點D處，求重疊部分AFC的面積.,解：易證AFDCFB， DF=BF， 設DF=x，則AF=8-x， 在RtAFD中，(8-x)2=x2+42， 解得x=3. AF=AB-FB=8-3=5， SAFC= AFBC=10,6.問題背景： 在ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為 ,求這個三角形的面積小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點AB

32、C（即ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖所示這樣不需求ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積 （1）求ABC的面積；,圖,能力提升：,（2）若ABC三邊的長分別為 (a0)，請利用圖的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應的ABC，并求出它的面積,解：如圖,思維拓展：,ABC即為所求，,圖,A,B,C,課堂小結(jié),利用勾股定理 作圖或計算,在數(shù)軸上表示出無理數(shù)的點,利用勾股定理解決網(wǎng)格中的問題,利用勾股定理解決折疊問題及其他圖形的計算,通常與網(wǎng)格求線段長或面積結(jié)合起來,通常用到方程思想,17.2 勾股定理的逆定理,第十七章 勾股定理,導入新課,講授新課,當堂練習,課堂小結(jié),第1課

33、時 勾股定理的逆定理,1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命題、定 理的概念、關系及勾股數(shù).（重點） 2.能證明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆 定理判斷一個三角形是直角三角形.（難點）,導入新課,問題1 勾股定理的內(nèi)容是什么?,如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.,b,c,a,問題2 求以線段a、b為直角邊的直角三角形的斜邊c的長：, a3，b4； a2.5，b6； a4，b7.5.,c=5,c=6.5,c=8.5,復習引入,思考 以前我們已經(jīng)學過了通過角的關系來確定直角三角形，可不可以通過邊來確定直角三角形呢？,同學們你們知道古埃及人用什么方法得

34、到直角的嗎?,打13個等距的結(jié),把一根繩子分成等長的12段,然后以3段，4段，5段的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角.,情景引入,思考：從前面我們知道古埃及人認為一個三角形三邊長分別為3,4,5,那么這個三角形為直角三角形.按照這種做法真能得到一個直角三角形嗎?,大禹治水,相傳，我國古代的大禹在治水時也用了類似的方法確定直角.,講授新課,下面有三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a, b, c: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17. 問題 分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？,是,下面有三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a, b, c

35、: 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17. 問題2 這三組數(shù)在數(shù)量關系上有什么相同點？, 5,12,13滿足52+122=132, 7,24,25滿足72+242=252, 8,15,17滿足82+152=172.,問題3 古埃及人用來畫直角的三邊滿足這個等式嗎？,32+42=52，滿足.,a2+b2=c2,我覺得這個猜想不準確，因為測量結(jié)果可能有誤差.,我也覺得猜想不嚴謹，前面我們只取了幾組數(shù)據(jù)，不能由部分代表整體.,問題3 據(jù)此你有什么猜想呢?,由上面幾個例子，我們猜想： 命題2 如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.,？,已知：如圖，

36、ABC的三邊長a，b，c，滿足a2+b2=c2 求證：ABC是直角三角形,構(gòu)造兩直角邊分別為a,b的RtABC,證一證:,證明：作RtABC，使C=90，AC=b，BC=a，,ABC ABC(SSS)，,C= C=90 ， 即ABC是直角三角形.,則,勾股定理的逆定理:,如果三角形的三邊長a 、b 、c滿足 a2+b2=c2 那么這個三角形是直角三角形.,勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形 ，最長邊所對應的角為直角.,特別說明：,歸納總結(jié),例1 下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果

37、是,那么哪一個角是直角？,(1) a=15 ， b=8 ，c=17;,解：(1)152+82=289，172=289，152+82=172， 根據(jù)勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形， 且C是直角.,(2) a=13 ，b=14 ，c=15.,(2)132+142=365，152=225， 132+142152，不符合勾股定理的逆定理， 這個三角形不是直角三角形.,根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.,【變式題1】若ABC的三邊a,b,c滿足 a:b: c=3:4:5，是判斷ABC的形狀.,解：設a=3k,b=4k,c=5

38、k(k0), (3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, (3k)2+(4k)2=(5k)2, ABC是直角三角形，且C是直角.,已知三角形三邊的比例關系判斷三角形形狀：先設出參數(shù)，表示出三條邊的長，再用勾股定理的逆定理判斷其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三邊中有兩個相同的數(shù)，那么該三角形還是等腰三角形.,【變式題2】(1)若ABC的三邊a,b,c，且a+b=4,ab=1, c= ，試說明ABC是直角三角形.,解：a+b=4,ab=1, a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14. 又c2=14, a2+b2=c2, ABC是直角三角形.,(2) 若ABC的三邊 a,

39、b,c 滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 試判斷ABC的形狀.,解： a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， a26a+9+b28b+16+c210c+25=0. 即 (a3)+ (b4)+ (c5)=0. a=3, b=4, c=5， 即 a2+b2=c2. ABC是直角三角形.,例2 如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點，E為BC上一點，且CE CB，試判斷AF與EF的位置關系，并說明理由,解：AFEF.理由如下： 設正方形的邊長為4a, 則ECa，BE3a，CFDF2a. 在RtABE中，得AE2AB2BE216a29a225a2. 在RtCEF中，得EF2CE

40、2CF2a24a25a2. 在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2. 在AEF中，AE2EF2AF2， AEF為直角三角形，且AE為斜邊 AFE90，即AFEF.,練一練,1.下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（） A2，3，4 B3，4，6 C5，12，13 D4，6，7,C,2.一個三角形的三邊的長分別是3，4，5，則這個三角形最長邊上的高是 （） A4 B3 C2.5 D2.4,D,3.若ABC的三邊a、b、c滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0，則ABC是_.,等腰三角形或直角三角形,如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2 那么這個三角形是直角三角形.

41、 滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).,概念學習,常見勾股數(shù)：,3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.,勾股數(shù)拓展性質(zhì)：,一組勾股數(shù)，都擴大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).,下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132,A,方法點撥：根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計算最長邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.,練一練,命題1 如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b

42、2=c2.,命題2 如果三角形的三邊長a 、b 、c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.,前面我們學習了兩個命題，分別為：,命題1：,直角三角形,a2+b2=c2,命題2：,直角三角形,a2+b2=c2,題設,結(jié)論,它們是題設和結(jié)論正好相反的兩個命題.,問題1 兩個命題的條件和結(jié)論分別是什么？,問題2 兩個命題的條件和結(jié)論有何聯(lián)系？,一般地，原命題成立時，它的逆命題既可能成立，也可能不成立.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，我們稱這兩個定理互為逆定理.勾股定理與勾股定理的逆定理為互逆定理.,題設和結(jié)論正好相反的兩個命題，叫做互逆命題，其中一個叫做原命題，另

43、一個叫做原命題的逆命題.,歸納總結(jié),說出下列命題的逆命題,這些逆命題成立嗎？ (1)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等； (2)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等； (3)全等三角形的對應角相等； (4)在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.,內(nèi)錯角相等，兩條直線平行.,如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么它們相等.,對應角相等的三角形全等 .,在角平分線上的點到角的兩邊距離相等.,成立,不成立,不成立,成立,練一練,當堂練習,1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是 ( ) A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5,將直角三角形的三邊長擴大同樣的倍數(shù),則得到 的三角形 (

44、 ) A.是直角三角形 B.可能是銳角三角形 C.可能是鈍角三角形 D.不可能是直角三角形,B,A,3.在ABC中，A, B, C的對邊分別a,b,c. 若C- B= A,則ABC是直角三角形； 若c2=b2-a2,則ABC是直角三角形,且C=90； 若(c+a)(c-a)=b2,則ABC是直角三角形; 若A：B：C=5：2：3，則ABC是直角三角形. 以上命題中的假命題個數(shù)是（ ） A.1個 B.2個 C.3個 D.4個,A,4.已知a、b、c是ABC三邊的長，且滿足關系式 ，則ABC的形狀是 _,等腰直角三角形,5.(1)一個三角形的三邊長分別為15cm、20cm、25cm，則這個三角形最

45、長邊上的高是_cm;,12,(2)“等腰三角形兩底角相等”的逆定理為_,有兩個角相等的三角形是等腰三角形,6.已知ABC，AB=n-1，BC=2n，AC=n+1(n為大 于1的正整數(shù)).試問ABC是直角三角形嗎？若是， 哪一條邊所對的角是直角？請說明理由.,解：AB+BC=(n-1)+(2n) =n4 -2n+1+4n =n4 +2n+1 =(n+1) =AC， ABC直角三角形，邊AC所對的角是直角.,7.如圖，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10， AD=CD= ,求四邊形ABCD 的面積., ABC是直角三角形且B是直角., ADC是直角三角形且 D是直角，, S 四邊形

46、ABCD=,課堂小結(jié),勾股定理 的逆定理,內(nèi)容,作用,從三邊數(shù)量關系判定一個三角形是 否是直角形三角形.,如果三角形的三邊長a 、b 、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.,注意,最長邊不一定是c， C也不一定是直角.,勾股數(shù)一定是正整數(shù),17.2 勾股定理的逆定理,第十七章 勾股定理,導入新課,講授新課,當堂練習,課堂小結(jié),第2課時 勾股定理的逆定理的應用,1.靈活應用勾股定理及其逆定理解決實際問題.（重點） 2.將實際問題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學問 題.（難點）,導入新課,問題 前面的學習讓我們對勾股定理及其逆定理 的知識有了一定的認識，你能說出它們的內(nèi)容嗎?,回

47、顧與思考,a2+b2=c2 (a,b為直角邊，c斜邊）,RtABC,C是直角,勾股定理,勾股定理的逆定理,a2+b2=c2 (a,b為較短邊，c為最長邊）,RtABC，且C是直角.,(2)等腰 ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,則BC 邊上的高是 cm.,8,(1)已知 ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形 為 三角形， 是最大角.,直角,A,快速填一填：,思考 前面我們已經(jīng)學會了用勾股定理解決生活中的很多問題，那么勾股定理的逆定理解決哪些實際問題呢？你能舉舉例嗎？,在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而常需要使用一些數(shù)學知識和方法，其中勾股定理的逆定理經(jīng)常會

48、被用到，這節(jié)課讓我們一起來學習吧.,講授新課,1,2,例1 如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上. “遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠航”號每小時航行16海里,“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后分別位于點Q,R處，且相距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行,能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？,N,E,P,Q,R,問題1 認真審題，弄清已知是什么？要解決的 問題是什么？,1,2,N,E,P,Q,R,161.5=24,121.5=18,30,“遠航”號的航向、兩艘船的一個半小時后的航程及距離已知，如圖.,問題2 由于我們現(xiàn)在所能得到的都是線

49、段長，要求角，由此你聯(lián)想到了什么？,實質(zhì)是要求出兩艘船航 向所成角.,勾股定理逆定理,解：根據(jù)題意得,PQ=161.5=24(海里),PR=121.5=18(海里),QR=30海里.,242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,QPR=90.,由“遠航”號沿東北方向航行可知1=45. 2=45，即“海天”號沿西北方向航行.,解決實際問題的步驟：構(gòu)建幾何模型(從整體到局部)；標注有用信息,明確已知和所求；應用數(shù)學知識求解.,【變式題】 如圖，南北方向PQ以東為我國領海，以西為公海，晚上10時28分，我邊防反偷渡巡邏101號艇在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿?？拷?，便立即通知

50、在PQ上B處巡邏的103號艇注意其動向，經(jīng)檢測，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若該船只的速度為12.8海里/時，則可疑船只最早何時進入我領海？,分析：根據(jù)勾股定理的逆定可得ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面積公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.,解：AC=10，AB=6，BC=8， AC2=AB2+BC2， 即ABC是直角三角形. 設PQ與AC相交于點D，根據(jù)三 角形面積公式有 BCAB= ACBD， 即68=10BD，解得BD= 在RtBCD中，,又該船只的速度為12.8海里/時， 6.412.8=0.5（小時）=30（分鐘）， 需要30分鐘進

51、入我領海，即最早晚上10時58分進入我領海.,例2 一個零件的形狀如圖所示,按規(guī)定這個零件中A和DBC都應為直角,工人師傅量得這個零件各邊的尺寸如圖所示,這個零件符合要求嗎?,D,A,B,C,4,3,5,13,12,D,A,B,C,圖,圖,在BCD中， BCD 是直角三角形，DBC是直角. 因此，這個零件符合要求.,解：在ABD中， ABD 是直角三角形，A是直角.,D,A,B,C,4,3,5,13,12,圖,1.A、B、C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C在B地的什么方向？,解： BC2+AB2=52+122=169， AC2 =132=169， BC2+AB2=AC2， 即A

52、BC是直角三角形， B=90. 答：C在B地的正北方向,練一練,2.如圖，是一農(nóng)民建房時挖地基的平面圖，按標準應為長方形，他在挖完后測量了一下，發(fā)現(xiàn)ABDC8m，ADBC6m，AC9m，請你運用所學知識幫他檢驗一下挖的是否合格？,解：ABDC8m，ADBC6m， AB2BC282626436100. 又AC29281， AB2BC2AC2， ABC90， 該農(nóng)民挖的不合格,例3 如圖，四邊形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13,求四邊形ABCD的面積.,解析：連接AC，把四邊形分成兩個三角形.先用勾股定理求出AC的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷ACD是直角三角形.,解：連接AC.,在RtABC中， 在ACD中， AC2+CD2=52+122=169=AD2， ACD是直角三角形， 且ACD=90. S四邊形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36.,四邊形問題對角線是常用的輔助線，它把四邊形問題轉(zhuǎn)化成兩個三角形的問題.在使用勾股定理的逆定理解決問題時，它與