1、,第二節(jié),一、 偏導(dǎo)數(shù),二 、高階偏導(dǎo)數(shù),偏 導(dǎo) 數(shù),第九章,目的要求：理解偏導(dǎo)數(shù)的基本概念、意義及與 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系與區(qū)別，熟練掌握偏導(dǎo)數(shù) 的計(jì)算方法。,一 偏導(dǎo)數(shù),(一) 定義及求法 (二)幾何意義 (三)與連續(xù)的關(guān)系,引入,理想氣態(tài)方程：,溫度T不變,等溫過(guò)程,P對(duì)V的變化率？,容積V不變,等容過(guò)程,P對(duì)T的變化率？,固定y,z對(duì)x的變化率？,固定x,z對(duì)y的變化率？,一元函數(shù),二元函數(shù),(一)、 偏導(dǎo)數(shù)的定義及求法,定義1,設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0有增量x時(shí),相應(yīng)地函數(shù)有增量:f(x0+ x,y0)-f(x0,y0),如果

2、,存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作：,類似地，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為：,記作：,定義2,如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在, 那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x 、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作：,類似地，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)：,記作：,通常把偏導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù),偏導(dǎo)函數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系:,區(qū)別:,函數(shù),數(shù),聯(lián)系:,例如, 三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn) (x , y , z) 處對(duì) x 的,偏導(dǎo)數(shù)的概念可

3、以推廣到二元以上的函數(shù) .,偏導(dǎo)數(shù)定義為,(請(qǐng)自己寫出),例1 . 求,解法1,解法2,在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).,先求后代,先代后求,例2. 設(shè),證:,例3. 求,的偏導(dǎo)數(shù) .,解:,求證,偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè),例4. 已知理想氣體的狀態(tài)方程,求證:,證:,說(shuō)明:,(R 為常數(shù)) ,不能看作,分子與分母的商 !,此例表明,整體記號(hào),二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,是曲線,(二)、 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,例5,在上節(jié)已證 f (x , y) 在點(diǎn)(0 , 0)并不連續(xù)!,解:,偏導(dǎo)數(shù)存在,連續(xù),(三)、與連續(xù)的關(guān)系,例6,結(jié)論,偏導(dǎo)數(shù)存在,連續(xù),解:,f (x , y) 在點(diǎn)(0 , 0) 連續(xù),f

4、 (x , y) 在點(diǎn)(0 , 0)偏導(dǎo)數(shù)不存在,設(shè) z = f (x , y)在區(qū)域 D 內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù),概念,混合偏導(dǎo)數(shù),類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).,二、高階偏導(dǎo)數(shù),類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).,例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為,z = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階,例7. 求函數(shù),解 :,注意:此處,但這一結(jié)論并不總成立.,的二階偏導(dǎo)數(shù)及,定理,本定理對(duì)n元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.,注,例如, 對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,說(shuō)明:,函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 ,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo),數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.,因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù),在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)時(shí), 有,而初等,例8. 證明函數(shù),滿足拉普拉斯,證：,利用對(duì)稱性 , 有,方程,思考與練習(xí),解答提示:,P129 題 5,P129 題 5 , 6,即 xy0 時(shí),P129 題6,(1),(