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1、科學(xué)出版社,第三節(jié),一、已知平行截面面積的立體的體積,二、旋轉(zhuǎn)體體積,體積,第六章,科學(xué)出版社,一、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),則對應(yīng)于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,上連續(xù),科學(xué)出版社,例1.,并,與底面交成 角,解: 如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為,垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為,利用對稱性,計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .,一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,科學(xué)出版社,如果選擇 y 作積分變量，怎么處理 ?,此時截面面積函數(shù)是什么 ?,如何用定積分表示體積 ?,提示:,科學(xué)出版社,解:,所圍立體(橢球體),

2、它的面積為,因此橢球體體積為,特別當(dāng) a = b = c 時就是球體體積 .,的體積.,例2.,計算由曲面,垂直 x 軸的截面是橢圓,科學(xué)出版社,二、旋轉(zhuǎn)體體積,旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積：,當(dāng)連續(xù)曲線是,時，其繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體,體積為：,連續(xù)曲線,科學(xué)出版社,例3.,所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而,轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.,解: 方法1,則利用對稱性，有,計算由橢圓,利用直角坐標(biāo)方程,科學(xué)出版社,方法2 利用橢圓參數(shù)方程,則,特別當(dāng)b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積,科學(xué)出版社,例4.,的一拱與 y0,所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .,解:,利用對稱性,計算擺線,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,科學(xué)出版社,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,注意上下限 !,科學(xué)出版社,分部積分,(利用“偶倍奇零”),科學(xué)出版社,柱殼體積,注:,柱面面積,科學(xué)出版社,偶函數(shù),奇函數(shù),科學(xué)出版社,例5.,在 x0 時為連續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且,形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明:,證:,利用柱殼法,則,故,設(shè),科學(xué)出版社,*例6.,與 x 軸圍成的封閉圖形

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