1、橢圓講義與練習題型一：橢圓的第一定義與標準方程例1 、橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置解：（1）當為長軸端點時，橢圓的標準方程為：；（2）當為短軸端點時，橢圓的標準方程為：；說明：橢圓的標準方程有兩個，給出一個頂點的坐標和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況變式練習：求適合條件的橢圓的標準方程（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點；（2）在軸上的一個焦點與短軸兩端點的聯(lián)線互相垂直，且焦距為6分析：當方程有兩種形式時，應(yīng)分別求解，如（1）題中由求出，在得方程后，不能依此寫出另一方程解：（1）設(shè)橢圓的標準方程為或

2、由已知 又過點，因此有或 由、，得，或，故所求的方程為或（2）設(shè)方程為由已知，所以故所求方程為說明：根據(jù)條件求橢圓的標準方程的思路是“選標準，定參數(shù)”關(guān)鍵在于焦點的位置是否確定，若不能確定，應(yīng)設(shè)方程或例2、已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程解：如圖所示，設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點動點到兩定點，即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：變式練習：已知點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程解：設(shè)兩焦點為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點所在

3、的對稱軸，所以在中，可求出，從而所求橢圓方程為或例3、已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由得，故的取值范圍是出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中這個條件，當時，并不表示橢圓變式練習： 已知橢圓的離心率，求的值分析：分兩種情況進行討論解：當橢圓的焦點在軸上時，得由，得當橢圓的焦點在軸上時，得由，得，即滿足條件的或說明：本題易出現(xiàn)漏解排除錯誤的辦法是：因為與9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點可能在軸上，也可能在軸上故必須進行討論總結(jié)區(qū)：求橢圓方程的總結(jié)：題型二：第二定義的應(yīng)用及焦半徑，焦點弦和焦點三角形問題例4、 橢圓的右焦點為，過點，點在

4、橢圓上，當為最小值時，求點的坐標分析：本題的關(guān)鍵是求出離心率，把轉(zhuǎn)化為到右準線的距離，從而得最小值一般地，求均可用此法解：由已知：，所以，右準線過作，垂足為，交橢圓于，故顯然的最小值為，即為所求點，因此，且在橢圓上故所以說明：本題關(guān)鍵在于未知式中的“2”的處理事實上，如圖，即是到右準線的距離的一半，即圖中的，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點，使到的距離與到右準線距離之和取最小值變式練習：已知橢圓內(nèi)有一點，、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點(1)求的最大值、最小值及對應(yīng)的點坐標；(2)求的最小值及對應(yīng)的點的坐標分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標函數(shù)當，即代數(shù)方法二

5、是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法本題若按先建立目標函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標，運用數(shù)形結(jié)合，就能簡捷求解解：(1)如上圖，設(shè)是橢圓上任一點，由，等號僅當時成立，此時、共線由，等號僅當時成立，此時、共線建立、的直線方程，解方程組得兩交點、綜上所述，點與重合時，取最小值，點與重合時，取最大值(2)如下圖，設(shè)是橢圓上任一點，作垂直橢圓右準線，為垂足，由，由橢圓第二定義知，要使其和最小需有、共線，即求到右準線距離右準線方程為到右準線距離為此時點縱坐標與點縱坐標相同為1，代入橢圓得滿足條件的點坐標說明：求的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后，過向相應(yīng)準線作垂線段巧用焦點半徑與點準距互化是解決

6、有關(guān)問題的重要手段例5、設(shè)是離心率為的橢圓 上的一點，到左焦點和右焦點的距離分別為和，求證：，并由此證明橢圓上的點到焦點距離最遠和最近的點都在頂點。分析：本題考查橢圓的兩個定義，利用橢圓第二定義，可將橢圓上點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到相應(yīng)準線距離解：點到橢圓的左準線的距離，由橢圓第二定義，由橢圓第一定義，說明：本題求證的是橢圓的焦半徑公式，在解決與橢圓的焦半徑（或焦點弦）的有關(guān)問題時，有著廣泛的應(yīng)用請寫出橢圓焦點在軸上的焦半徑公式變式練習：（06四川）如圖，把橢圓的長軸AB分成8分，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于,七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則_ 【解析】只需取橢圓的另一焦點與,七個點分別

7、連接，由結(jié)論1和對稱性可知：例6、 已知橢圓，、為兩焦點，問能否在橢圓上找一點，使到左準線的距離是與的等比中項？若存在，則求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：假設(shè)存在，設(shè)，由已知條件得，左準線的方程是，又由焦半徑公式知：，整理得解之得或 另一方面 則與矛盾，所以滿足條件的點不存在說明：（1）利用焦半徑公式解?？珊喕忸}過程（2）本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條件進行推理和運算進而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷（3）本例也可設(shè)存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完成）例7、已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求證：的面積.分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義

8、求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限由余弦定理知： 由橢圓定義知： ，則得 故 總結(jié)區(qū)：焦點三角形的處理方法：變式訓練： 已知，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證的面積與橢圓短軸長有關(guān)分析：不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為（），（）思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條直線的夾角公式，即，設(shè)，化簡可得又，兩方程聯(lián)立消去得，由，可以確定離心率的取值范圍；解出可以求出的面積，但這一過程很繁思路二：利用焦半徑公式，在中運用余弦定理，求，再利用，可以確定離心率的取值范圍，將代入橢圓方程中求，便可求出的面積思路三：利

9、用正弦定理、余弦定理，結(jié)合求解解：(法1)設(shè)橢圓方程為（），則，在中，由余弦定理得，解得(1)，即故橢圓離心率的取范圍是(2)將代入得，即即的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)(法2)設(shè)，則(1)在中，由正弦定理得，當且僅當時等號成立故橢圓離心率的取值范圍是(2)在中，由余弦定理得：，即即的面積與橢圓短軸長有關(guān)說明：橢圓上的一點與兩個焦點，構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點三角形，涉及有關(guān)焦點三角形問題，通常運用三角形的邊角關(guān)系定理解題中通過變形，使之出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，這樣就可以應(yīng)用橢圓的定義，從而可得到有關(guān)，的關(guān)系式，使問題找到解決思路例8、設(shè)F1、F2為橢圓1的兩個焦點，P為橢圓上的一點.已知P、F1、F2是一個直

10、角三角形的三個頂點，且|PF1|PF2|,求的值.解:由題意，若為直角，則，即得，故若為直角，即得，故注：該題易忽略為直角，想當然的認為只是為直角題型三：橢圓的離心率問題例9、 一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率解： ，說明：求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求，求，再求比二是列含和的齊次方程，再化含的方程，解方程即可變式訓練：設(shè)橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，原點到直線的距離為求橢圓的離心率解：易得，從而有例10、橢圓與軸正向交于點，若這個橢圓上總存在點，使(為坐標原點)，求其離心率的取值范圍分析：、為定點，為動點，可以點坐標作為參數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為點坐標的一個

11、等量關(guān)系，再利用坐標的范圍建立關(guān)于、的一個不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式為減少參數(shù)，易考慮運用橢圓參數(shù)方程解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點，即，解得或，（舍去），又，又，變式訓練：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點使如何證明？選作思考：已知橢圓，、是其長軸的兩個端點（1）過一個焦點作垂直于長軸的弦，求證：不論、如何變化，（2）如果橢圓上存在一個點，使，求的離心率的取值范圍分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問都應(yīng)從和的正切值出發(fā)做出估計，因此要從點的坐標、斜率入手本題的第（2）問中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：，根據(jù)得到，將代入，消去，用、表示，以便利用列出

12、不等式這里要求思路清楚，計算準確，一氣呵成解：（1）設(shè)， 于是，是到的角，故 （2）設(shè)，則，由于對稱性，不妨設(shè)，于是是到的角， 整理得.， ， .，或（舍），總結(jié)區(qū)：離心率的值或范圍的求法（本質(zhì)和通法）：題型四：弦中點問題例11、 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交于、兩點，為中點，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，為所求說明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題變式訓練：橢圓上不同三點，與焦點的距離成等差數(shù)列（1）求證；（2）若線段的垂直平分線與軸的交

13、點為，求直線的斜率證明：（1）由橢圓方程知，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：， 同理 ，且， ，即 （2）因為線段的中點為，所以它的垂直平分線方程為： 又點在軸上，設(shè)其坐標為，代入上式，得： 又點，都在橢圓上， ， 將此式代入，并利用的結(jié)論得： 例12、已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一點求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得:由韋達定理得是弦中點，故得所以所求直線方程為分析二：設(shè)弦兩端坐標為、，列關(guān)于、的方程組，從而求斜率：解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為變

14、式訓練：求過點（0，2）的直線被橢圓x22y22所截弦的中點的軌跡方程.解：設(shè)直線方程為y=kx+2，把它代入x22y22，整理得（2k21）x2+8kx+6=0.要使直線和橢圓有兩個不同交點，則0，即k或k.設(shè)直線與橢圓兩個交點為A（x1，y1）、B（x2，y2），中點坐標為C（x，y），則x，y= +2.（k或k），從參數(shù)方程 x=，y= 消去k得x22（y1）22，且x，0y說明：（1）有關(guān)弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦中點軌跡（2）解法二是“點差法”，解決有關(guān)弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率（3）有關(guān)弦及弦中點問題常用的方法是：“

15、韋達定理應(yīng)用”及“點差法”有關(guān)二次曲線問題也適用總結(jié)區(qū)：點差法：題型五：參數(shù)方程問題（常用于最值）例13、 設(shè)橢圓(為參數(shù))上一點與軸正向所成角，求點的坐標分析：利用參數(shù)與之間的關(guān)系求解解：設(shè)，由與軸正向所成角為，即而，由此得到，點坐標為變式訓練： (1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用為簡化運算和減少未知數(shù)的個數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點坐標，所求問題便化歸為三角問題解：(1) (2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為，由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于軸和軸，設(shè)為矩形在第一象限的頂點，則故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化

16、為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便題型六：定值、最值問題例14、求橢圓上的點到直線的距離的最小值分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值解：橢圓的參數(shù)方程為設(shè)橢圓上的點的坐標為，則點到直線的距離為當時， 說明：當直接設(shè)點的坐標不易解決問題時，可建立曲線的參數(shù)方程變式訓練：設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上的點的距離等于的點的坐標分析：本題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求的最大值時，要注意討論的取值范圍此題可以用橢圓的

17、標準方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強等價轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標方程是，其中待定由可得：，即設(shè)橢圓上的點到點的距離是，則 ，其中如果，則當時，（從而）有最大值由題設(shè)得，由此得，與矛盾因此必有成立，于是當時，（從而）有最大值由題設(shè)得，可得，所求橢圓方程是由及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點，點到點的距離是解法二：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是，其中，待定，為參數(shù)由可得，即設(shè)橢圓上的點到點的距離為，則 ，如果，即，則當時，（從而）有最大值由題設(shè)得，由此得，與矛盾，因此必有成立于是當時（從而）有

18、最大值由題設(shè)知，所求橢圓的參數(shù)方程是由，可得橢圓上的是，例15、設(shè)，求的最大值和最小值分析：本題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致設(shè)，顯然它表示一個圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值解：由，得 可見它表示一個橢圓，其中心在點，焦點在軸上，且過（0，0）點和（3，0）點設(shè)，則 它表示一個圓，其圓心為（1，0）半徑為在同一坐標系中作出橢圓及圓，如圖所示觀察圖形可知，當圓過（0，0）點時，半徑最小，即，此時；當圓過（3，0）點時，半徑最大，即，的最小值為0，最大值為15變式訓練：關(guān)于的不等式恒成立，求參數(shù)的范圍. 解：利用數(shù)形結(jié)合。例16、以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應(yīng)在何處？并求出此時的橢圓方程分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，本題實際上就是要在已知直線上找一點，使該點到直線同側(cè)的兩已知點（即兩焦點）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決解：如圖所示，橢圓的焦點為，點關(guān)于直線的對稱點的坐標為（9，6），直線的方程為解方程組得交點的坐標為（5，4）此