1、學(xué)案10 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（二）,考點1,考點2,考點3,返回目錄,考 綱 解 讀,返回目錄,從近兩年的高考試題看，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決實際應(yīng)用問題是高考的熱點，既有填空題，又有解答題，它常常與函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值及與解析幾何、不等式、數(shù)列綜合考查. 預(yù)測2012年高考仍將考查函數(shù)的最值或?qū)嶋H應(yīng)用，或者與函數(shù)的單調(diào)性、極值結(jié)合起來考查綜合題，主要考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.,考 向 預(yù) 測,返回目錄,1.函數(shù)的最值 (1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a,b上必有最大值與最小值. (2)若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞增,則 為函數(shù)的最小值, 為函數(shù)的最大值;若函數(shù)

2、f(x)在a,b上單調(diào)遞減,則 為函數(shù)的最大值, 為函數(shù)的最小值.,f(a),f(b),f(a),f(b),返回目錄,(3)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求y=f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下: 求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的 ; 將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.,極值,返回目錄,2.實際應(yīng)用問題：首先要充分理解題意，列出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最大值或最小值，最后回到實際問題中，得出最優(yōu)解.表示為：,函數(shù)建模,考點1 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù),2009年高考遼寧卷設(shè)f(x

3、)=ex(ax2+x+1),且曲線y=f(x)在x=1處的切線與x軸平行. (1)求a的值，并討論f(x)的單調(diào)性； (2)證明：當(dāng)0, 時，|f(cos)-f(sin)|2.,返回目錄,【解析】 (1)f(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1). 由條件知，f(1)=0, 故a+3+2a=0 a=-1. 于是f(x)=ex(-x2-x+2) =-ex(x+2)(x-1). 故當(dāng)x(-,-2)(1,+)時，f(x)0. 從而f(x)在(-,-2),(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減，在（-2，1）內(nèi)單調(diào)遞增.,返回目錄,(2)證明：由(1)知f(x)在0,1上單調(diào)遞增，故f(x)在0,1上的最大值為f(1

4、)=e，最小值為f(0)=1. 從而對任意x1,x20,1，有 |f(x1)-f(x2)|e-12. 而當(dāng)0, 時，cos,sin0,1. 從而|f(cos)-f(sin)|2.,返回目錄,本題主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，同時考查運算求解能力.,返回目錄,已知a為常數(shù)，求函數(shù)f(x)=-x3+3ax(0 x1)的最大值.,f(x)=-3x2+3a=-3(x2-a). 若a0，則f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 當(dāng)x=0時，有最大值f(0)=0. 若a0，則令f(x)=0，解得x= . x0,1,則只考慮x= 的情況. 如下表所示:,【解析】,返回目錄,(1)0 1，即0a1，當(dāng)

5、x= 時,f(x)有最大值f( )=2a . (2) 1，即a1，當(dāng)x=1時,f(x)有最大值f(1)=3a-1. 綜上,當(dāng)a0,x=0時，f(x)有最大值0; 當(dāng)0a1,x= 時,f(x)有最大值2a ; 當(dāng)a1，x=1時，f(x)有最大值3a-1.,返回目錄,返回目錄,考點2 最優(yōu)化問題,一 艘 輪船在航行中的燃料費和它速度的立 方成 正比，已知在速度為每小時10公里時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元.問此輪船以多大速度航行時，能使行駛每公里的費用總和最?。?【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值.,【解析】設(shè)船的速度為x(x0)（公里/小時）時,燃料費用為Q元，

6、則Q=kx3. 由6=k103可得k= ,Q= x3. 總費用y=( x3+96) = x2+ . y= x- .令y=0得x=20. 當(dāng)x(0,20)時,y0，此時函數(shù)單調(diào)遞減. 當(dāng)x(20,+)時,y0，此時函數(shù)單調(diào)遞增. 當(dāng)x=20時，y取得最小值. 此輪船以20公里/小時的速度行駛時每公里的費用總和最小.,返回目錄,（1）用導(dǎo)數(shù)解應(yīng)用題求最值的一般方法是：求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零;求y=0的根，求出極值點;最后寫出解答. （2）在有關(guān)極值應(yīng)用的問題中，絕大多數(shù)在所討論的區(qū)間上函數(shù)只有一點使得f(x)=0,且在兩側(cè)f(x)的符號各異，一般稱為單峰問題，此時該點就是極值點 ，也是最值點.,返回目

7、錄,從邊長為2a的正方形鐵片的四個角各截去一個邊長為x的正方形，再將四邊向上折起，做成一個無蓋長方體鐵盒，要求長方體的高度與底面邊長的比值不超過常數(shù)t(t0).試問當(dāng)x取何值時，容積V有最大值?,返回目錄,V=x(2a-2x)2=4(a-x)2x. t,00,得0a，此時V(x)為增函數(shù)；由V0，得 xa，此時V（x）為減函數(shù).,返回目錄,當(dāng) ，即t 時， 在x= 時，V有最大值 a3; 當(dāng) ,即0t 時， 在x= 時，V有最大值 .,返回目錄,2010年高考陜西卷已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a0. （1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間； （2）若f(x)在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f

8、(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍.,返回目錄,考點3 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,【分析】首先求出f(x)，利用f(x)0求出其單調(diào)遞增區(qū)間，從而求得單調(diào)遞減區(qū)間，再利用f(x)的草圖確定m的取值.,【解析】 （1）f(x)=3x2-3a=3(x2-a). 當(dāng)a0, 當(dāng)a0時，由f(x)0解得x ， 由f(x)0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-,- )，（ ,+）,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為（- , ）.,返回目錄,(2)f(x)在x=-1處取得極值， f(-1)=3(-1)2-3a=0. a=1. f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3. 由f(x)=0解得x1=-1,x2=1,

9、由（1）中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=1，在x=1處取得極小值f(1)=-3. 直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個不同的交點，又f(-3)=-191, 結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知m的取值范圍是(-3,1).,返回目錄,（1）本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，研究曲線的交點問題，考查運算能力及綜合運用知識的能力. （2）近幾年高考題目，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考查得很頻繁，可直接應(yīng)用于對某一類函數(shù)性質(zhì)的研究，也可以聯(lián)系方程的根、不等式的解等綜合問題，填空、解答等題型很全面.特別是利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性與最值問題已成為高考的熱點.既有填空題，側(cè)重于

10、利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，也有解答題，側(cè)重于導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，即導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合應(yīng)用.,返回目錄,已知mR，函數(shù)f(x)=(x2+mx+m)ex. （1）若函數(shù)f(x)沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍； （2）若函數(shù)f(x)存在極大值，并記為g(m)，求g(m)的表達(dá)式； （3）當(dāng)m=0時，求證：f(x)x2+x3.,返回目錄,【解析】 （1）令f(x)=0，得(x2+mx+m)ex=0, x2+mx+m=0. 函數(shù)f(x)沒有零點，=m2-4m2時，則-m-2,返回目錄,當(dāng)x=-m時，f(x)取得極大值me-m, 當(dāng)m=2時，f(x)=（x+2）2ex0，f(x)在R上為增函數(shù)

11、， f(x)無極大值. 當(dāng)m-2， 當(dāng)x=-2時，f(x)取得極大值（4-m）e-2, me-m, m2, (4-m)e-2, m2.,返回目錄,g(m)=,（3）當(dāng)m=0時，f(x)=x2ex, 令j(x)=ex-1-x，則j(x)=ex-1, 當(dāng)x0時，j(x)0，j(x)為增函數(shù)， 當(dāng)x0時，j(x)0,j(x)為減函數(shù). 當(dāng)x=0時，j(x)取得最小值0. j(x)j(0)=0.ex-1-x0. ex1+x.x2exx2+x3,即f(x)x2+x3.,返回目錄,返回目錄,1.函數(shù)的最值 函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值