1、1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),自主學(xué)習(xí) 新知突破,1了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從幾何的角度直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會(huì)靈活應(yīng)用 2掌握函數(shù)極值的判定及求法 3掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件 4增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思維意識(shí)，提高運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的基本思想去分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力,已知yf(x)的圖象(如圖) 問(wèn)題1當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)值f(a)有何特點(diǎn)？ 提示1在xa的附近，f(a)最小， f(a)并不一定是yf(x)的最小值,問(wèn)題2試分析在xa的附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào) 提示2在xa附近的左側(cè)，曲線的切線斜率小于零，即f(x)0. 問(wèn)題3f(a)值是什么？ 提示3f(a)0.,若函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa的函數(shù)值f(a)比

2、它在點(diǎn)xa附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)_；而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)_，右側(cè)_，就把點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值,極小值點(diǎn)與極小值,0,f(x)0,f(x)0,若函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(b)_；而且在點(diǎn)xb附近的左側(cè)_ ，右側(cè)_，就把點(diǎn)b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值,極大值點(diǎn)與極大值,0,f(x)0,f(x)0,1對(duì)函數(shù)極值概念的理解 (1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，它反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況 (2)由函數(shù)極值的定義知道，函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處一定不可能取

3、得極值，即端點(diǎn)一定不是函數(shù)的極值點(diǎn) (3)在一個(gè)給定的區(qū)間上，函數(shù)可能有若干個(gè)極值點(diǎn)，也可能不存在極值點(diǎn)；函數(shù)可能只有極大值，沒(méi)有極小值，或者只有極小值，沒(méi)有極大值，也可能既有極大值，又有極小值極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小,求函數(shù)yf(x)的極值的方法是： 解方程f(x)0，當(dāng)f(x0)0時(shí) (1)如果在x0附近的左側(cè)_，右側(cè)_，那么，f(x0)是極大值 (2)如果在x0附近的左側(cè)_，右側(cè)_，那么，f(x0)是極小值,函數(shù)極值的求法,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,2極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 (1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)

4、(2)不可導(dǎo)點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn) (3)導(dǎo)數(shù)為0是極值點(diǎn)：yx2，y(0)0，x0是極小值點(diǎn),1下圖是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象，給出下列命題：,3是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn)； 1是函數(shù)yf(x)的最小值點(diǎn)； yf(x)在x0處切線的斜率小于零； yf(x)在區(qū)間(3，1)上單調(diào)遞增 則正確命題的序號(hào)是() AB C D,解析：由導(dǎo)函數(shù)圖象知函數(shù)f(x)在(，3)上單調(diào)遞減，(3，)上單調(diào)遞增，f(3)0，f(0)0，x3是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，正確 答案：B,2函數(shù)y(x21)31的極值點(diǎn)是() A極大值點(diǎn)x1 B極大值點(diǎn)x0 C極小值點(diǎn)x0 D極小值點(diǎn)x1 解析：y6

5、x(x21)20有三個(gè)根，x11，x20，x31，由解y0得x0；由解y0得x0，只有x0是極小值點(diǎn)，故選C. 答案：C,3函數(shù)f(x)x33x21的極小值點(diǎn)為_(kāi) 解析：由f(x)3x26x0， 解得x0或x2. 列表如下： 當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得極小值 答案：x2,合作探究 課堂互動(dòng),求函數(shù)的極值,求下列函數(shù)的極值： 思路點(diǎn)撥先確定函數(shù)定義域，然后正確求導(dǎo)，再解方程f(x)0，列表分析，求出函數(shù)的極值,(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽. f(x)x22x3(x1)(x3) 令f(x)0，得x11，x23. 由此可知當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表所示：,當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變

6、化情況如下表： 故當(dāng)x3時(shí)函數(shù)取得極小值，且f(3)22.,1.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟： (1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)； (2)令f(x)0，求出全部的根x0； (3)列表，方程的根x0將整個(gè)定義域分成若干個(gè)區(qū)間，把x，f(x)，f(x)在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的變化情況列在這個(gè)表格內(nèi)； (4)判斷得結(jié)論，若導(dǎo)數(shù)在x0附近左正右負(fù)，則在x0處取得極大值；若左負(fù)右正，則取得極小值 2注意事項(xiàng)： (1)不要忽略函數(shù)的定義域； (2)要正確地列出表格，不要遺漏區(qū)間和分界點(diǎn),1求下列函數(shù)的極值： (1)f(x)x312x； (2)f(x)x2ex. 解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽. f(x)3x2123

7、(x2)(x2) 令f(x)0，得x2或x2.,當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表： 從表中可以看出，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)有極大值， 且f(2)(2)312(2)16； 當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值， 且f(2)2312216.,(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽. f(x)2xexx2ex(x)2xexx2ex x(2x)ex. 令f(x)0，得x0或x2.,已知函數(shù)極值求參數(shù),設(shè)函數(shù)f(x)ax3bx2cx，在x1和x1處有極值，且f(1)1，求a，b，c的值，并求出相應(yīng)的極值,根據(jù)x1列表分析f(x)的符號(hào)，f(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn). 由上表可以看出， 當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有極大值

8、，且f(1)1； 當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)有極小值，且f(1)1.,已知函數(shù)極值情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式，進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，注意兩點(diǎn)： (1)常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解； (2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性,2已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，當(dāng)x1時(shí)，取得極大值7；當(dāng)x3時(shí)，取得極小值求這個(gè)極小值及a，b，c的值 解析：f(x)3x22axb. 據(jù)題意，1，3是方程3x22axb0的兩個(gè)根， 由根與系數(shù)的關(guān)系得,極值的綜合應(yīng)用,已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)x33xa. (1)求函數(shù)f(x)的極值，并畫(huà)

9、出其圖象(草圖)； (2)當(dāng)a為何值時(shí)，方程f(x)0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？,思路點(diǎn)撥,(2)結(jié)合圖象，當(dāng)極大值a20時(shí)，有極小值小于0，此時(shí)曲線f(x)與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)0恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以a2滿足條件；當(dāng)極小值a20時(shí)，有極大值大于0，此時(shí)曲線f(x)與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以a2滿足條件 綜上，當(dāng)a2時(shí)，方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.12分,1.如何利用導(dǎo)數(shù)畫(huà)函數(shù)的大致圖象？ 求出函數(shù)的極值點(diǎn)和極值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及x時(shí)，f(x)值的變化趨勢(shì)，可畫(huà)出函數(shù)的大致圖象 2如何利用導(dǎo)數(shù)判斷方程根的個(gè)數(shù)？ 用求導(dǎo)的方法確定方程根的個(gè)數(shù)，是一種很有效的方法它通過(guò)函數(shù)的變化情況，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷方程根的個(gè)數(shù),3將本例中(2)改為： f(x)0恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根；若只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 求實(shí)數(shù)a的取值范圍,若f(x)0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，如圖(2)則有： a20，解得a2，或a22，或a2時(shí)，f(x)0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,已知f(x)x33ax2bxa2在x1時(shí)有極值0，求常數(shù)a，b的值,【錯(cuò)因】根據(jù)極值的定義，函數(shù)先減后增為極小值，函數(shù)先增后減為極大值，此題未驗(yàn)證x1兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性，故求錯(cuò),當(dāng)a1，b3時(shí)，f(x)3x26x33