1、24 NS方程在柱坐標(biāo)及球坐標(biāo)中的表示1. 柱坐標(biāo)中的表示x= rcosy= rsinz= z 在r分量方向 = 在分量方向 = 在z分量方向 = 2. 球坐標(biāo)中的表示x= (rsin)cosy= (rsin)sinz= rcosr分量：分量： 分量： 3 流體運動方程的應(yīng)用3-1 平壁間的穩(wěn)定層流設(shè)平板無限大，相互平行，作層流運動一維穩(wěn)定流動，不可壓縮于是 uy=uz=0 (1)由連續(xù)性方程有 (2) 又對穩(wěn)定流動 (3) 故NS方程簡化為：對無限大平板可認(rèn)為 故，又在x方向 X = 0于是 邊界條件(Boundary Condition) y=y0, ux=0初始條件(Initial co

2、ndition) y=0, 于是 及 式中： 又設(shè)平板的寬度為w，則流體流過二平行平板間的體積流量為另一方面，若設(shè)平板間的主體流速（即截面平均流速）為ub則有QV=ubB(2y0)可得： 故 及 3-2 圓形直管內(nèi)的穩(wěn)定層流 化工原理中已得出了相應(yīng)的結(jié)論。 若采用NS方程可知： 在沿軸的一維流動時，若處于重力場中： 及 故 NS方程可簡化為： 應(yīng)用柱坐標(biāo)系則為: 或 邊界條件 r= R uz= 0初始條件 r= 0 uz=umax故：,及 ， ， 上式均為哈根泊稷葉 (HagenPoiseuille) 方程。根據(jù)以上關(guān)系，不難證明，在穩(wěn)定的層流時，管壁處的流體剪應(yīng)力R 及 3-3 環(huán)形套管中的

3、穩(wěn)態(tài)層流 圓形直管中的柱坐標(biāo)系NS方程仍可適應(yīng)于環(huán)形套管中： 或 邊界及初始條件: r= R1，uz = 0； (2) r =R2，uz = 0； (3) r=Rmax，uz = umax ；及對前式積分得:或 根據(jù)以上二式有: 此即為對數(shù)平均“半徑平方”，于是：及: 環(huán)形面積中流體的主體流速（平均流速）ub或: 4 爬流（蠕動流）1、概念爬流非常低Re數(shù)下的流動。具體來說指Re1時的流動，在此情況下，流體流動過程的粘性力超過其慣性力。2、根據(jù)NS方程可知，爬流時，慣性力的影響比粘性力小得多而可忽略。故有： 對不可壓縮流體 （不可壓縮流體連續(xù)性方程） X， Y及Z0（慣性力） ，及0（慣性力）

4、故NS方程可簡化為： 及 當(dāng)流體以極慢的速度繞過半徑為 r0 的球體時，采用球坐標(biāo)方程并結(jié)合球坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程及初始條件：r =r0時，可解得 3、球體在流體中所受阻力包括： a .由于壓力分布在球體表面所產(chǎn)生的形體阻力Fdf b .球體表面處的剪應(yīng)力所產(chǎn)生的表面阻力Fds 對形體阻力，其方向在“- Z”方向，其大小為 對表面阻力，其方向在+Z方向（即與球面法向應(yīng)力相反的方向）其大小為 ： r作用于球面的剪應(yīng)力，因pr，故-pcos 恰與rsin在同一方向?qū)τ谇蜃鴺?biāo)系，牛頓粘性定律可表示為 由上述已知的解，代入方程得 故: Fds =4r0u0總阻力: Fd = Fdf+ Fds =6r0

5、u0此即為斯托克斯方程（注意與化工原理中的斯托克斯方程相聯(lián)系）通常對粒子的自由沉降，定義，式中 CD為阻力系數(shù)()根據(jù)以上結(jié)論可得: CD = = 式中A球形粒子在運動方向的投影面積 A = r025 流線及流函數(shù)1、概念流線歐拉法考察流體運動的結(jié)果。即指任一瞬間，在流場（流動空間）的一條曲線，處于該曲線上的各質(zhì)點流動方向與該點處曲線的切線相重合（流線既可以為直線，也可為曲線）。2、流線的幾個屬性 一個流動空間是由許多條流線組成的，這許多流線通常稱為流線束（曲線族）； 不同時間，流動空間中的流線束有可能不同（如不穩(wěn)定流動過程）； 同一時間，同一空間位置，由于流體質(zhì)點速度大小及方向的唯一性，故通

6、過該空間點的流線唯一。亦即，同一時間、空間中的不同流線不可能相交。3、流線方程 對質(zhì)點A，在時間d內(nèi)，有：dx = uxd dy = uydx dz = uzd故 此即為三維流動系統(tǒng)的流線微分方程。特殊地，對二維流動，則有：uxdy - uydx = 0根據(jù)這一關(guān)系，可以求出流體在空間流動的流線方程。即 y = f (x)關(guān)系（見例題）4、流函數(shù)概念： 相對于某基準(zhǔn)流線而言的流體體積流量，設(shè)有一函數(shù)滿足：則 d= 即定義為流函數(shù)。對二維不可壓縮流體，則：（不可壓縮流體連續(xù)性方程用流函數(shù)表示的結(jié)果）亦可表述為：穿過由基準(zhǔn)流線和任一流線及垂直于紙面方向上的單位厚度流道所構(gòu)成的體積流量。即 d Q

7、=A- B = d不難看出： 當(dāng)= 常數(shù)時，其所表示的即為流線； 流速越大的地方，流線越密集； 流體流過曲線c的單位厚度流量等于曲線c上A、B兩點的流函數(shù)差；5 柱坐標(biāo)中流函數(shù)的定義式 定義： 6 勢流及勢函數(shù)1 概念 勢流函數(shù)：即速度勢（Velocity Potential）函數(shù)。 根據(jù)勢能的概念可知：在重力場中，單位質(zhì)量流體（固體）勢能的變化d等于將流體升舉一個微分高度所做的功，即：d= - gdz 或 - g=d/dz （注意：流體勢能的意義p+gz）將此概念引入速度問題，規(guī)定一個函數(shù)，并定義：可見，流體沿x方向的運動速度是其在x方向的速度勢梯度。2 用勢函數(shù)表示的不可壓流體的二維流動連

8、續(xù)性方程直角座標(biāo)中，不可壓流體的二維流動連續(xù)性方程為：引入速度勢概念則有 （不可壓流體連續(xù)性方程用勢函數(shù)表示）此即為Laplace方程。通過引入Laplace變換，并已知適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，即可求解。3根據(jù)勢函數(shù) 及 故有: ()即由右圖28分析可知： a 、平面上微元流體在經(jīng)過d時間后，由于x方向速度梯度使上層流體運動所引起的位移為 （順時針方向）； b、同理，在y方向引起的位移為（逆時針方向）。這二者使流體微元繞z軸方向發(fā)生旋轉(zhuǎn)。故總的旋轉(zhuǎn)速度為二者之和的平均值。即:（以逆時針方向為正計）當(dāng)= 0時，稱此流體為無旋運動，或說為有勢運動。即此時： 4 勢函數(shù)的應(yīng)用舉例泊努利方程的導(dǎo)出 由歐拉方程

9、（二維） (1) (2) (3)在穩(wěn)態(tài)、二維運動及不可壓縮流體條件下有： (1) (2)又由有勢（無旋運動） 有： (1)” (2)”即: = 常數(shù)或: = 常數(shù) 此即為著名的柏努利(Bernoulli)方程。5 討論 由有勢運動（無旋運動）可知：只有對于理想流體流動才會有勢函數(shù)（無旋運動）存在。對實際流體，由于其粘性，將會使流體微元發(fā)生有旋運動。 盡管實際流體不存在勢函數(shù)，但其流函數(shù)仍然存在。只要該流體滿足連續(xù)性方程，而并不需要滿足流體不可壓縮條件。6 流網(wǎng)、勢線與流線的關(guān)系 流網(wǎng)：由一組等勢線和一組流線所交織成的圖稱為平面有勢（無旋）運動流網(wǎng)。 流網(wǎng)的特性：等勢線與流線必然正交。 證明：對

10、等勢線，其方程為(x, y)=常數(shù)或 （法線向量）對流線: （切線向量）即： （流線）而對勢線：（勢線）又在直角座標(biāo)中：xy故: 即與正交。7 應(yīng)用舉例例A. 對于穩(wěn)態(tài)二維流動的流體，已知某流場的速度向量形式為 試求出過點（1，3）的流線方程； 判別其無旋性（有勢性）。 解： 流線方程的一般形式為 由已知向量形式可知： 對穩(wěn)定二維流動d= 0即: 故 即: 或 又該流線過點（2，3）故c= 1/3y= 此即為過點（1，3）的流線方程。 判別有旋性（有勢性） 若流體有勢，則應(yīng)滿足 ux dx + uydy=0即: 或 對方程求導(dǎo): 又: 可見在一般情況下，該流體均為有旋運動，即為非理想流體。 例B. 已知二維流場中，穩(wěn)態(tài)流動下的速度向量為u(x,y) = 3xy2i + 3x2yj，且流線過點（1，2）。試問其是否作無旋運動。若無旋，試求其勢函數(shù)及流函數(shù)，并證明與正交。 解：由題可知: ux = 3xy2，uy=3x2y若作無旋運動，則應(yīng)滿足:由此可判斷其作無旋運動（有勢運動）又: 故 故: c(y) = 0 即c (y) = 常數(shù)=c于是: 勢函數(shù) 對于穩(wěn)定的二維運動，其流函數(shù)應(yīng)滿足：即: 即: ydy = xdx y2 = x2+c當(dāng)其過點（1，2）時有: 22 = 12+ c 即: 或 正交性若流線的切線與勢線的法線二者斜率相等，則