1、高二數(shù)學復習講義導數(shù)及其應(yīng)用知識歸納1導數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。如果當時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點x處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x處的導數(shù)，記作f（x）或y|。即f（x）=。說明：（1）函數(shù)f（x）在點x處可導，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點x處不可導，或說無導數(shù)。（2）是自變量x在x處的改變量，時，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點x處的導數(shù)的步驟：（1）求函數(shù)的增量=f（x+）f（x）；（2）

2、求平均變化率=；（3）取極限，得導數(shù)f(x)=。2導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f（x）在點x處的導數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率是f（x）。相應(yīng)地，切線方程為yy=f/（x）（xx）。3幾種常見函數(shù)的導數(shù): ; ; ; .4兩個函數(shù)的和、差、積的求導法則法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差)，即： (法則2：兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)，即：若C為常數(shù),.即常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導數(shù)： 法則3：兩個

3、函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)與分母的積，減去分母的導數(shù)與分子的積再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函數(shù)稱為復合函數(shù)。復合函數(shù)求導步驟：分解求導回代。法則：y|= y| u|5.單調(diào)區(qū)間：一般地，設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)；6.極點與極值：曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數(shù)為0；曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負；曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負，右側(cè)為正；7最值：一般地，在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f在a，b上必有最大值與最小值。求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；求函數(shù)在區(qū)間端點的值(a)、(b)；將函數(shù) 的各極值與

4、(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。高考題型1.導數(shù)定義的應(yīng)用2BCAyx1O34561234例1 (北京高考）如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標分別為， _ 解：由圖可知，根據(jù)導數(shù)的定義知例(重慶高考)已知函數(shù),其中，（）略，（）若且，試證：解：，易知故， 所以解得2. 利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像例3 （安徽高考）設(shè)b,函數(shù)的圖像可能是 解：，由得，當時，取極大值0，當時取極小值且極小值為負故選C或當時，當時，選C點評:通過導數(shù)研究函數(shù)圖像的變化規(guī)律,也是考試的熱點題型.3.利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題例5（全國高考）已知函數(shù)，（）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)

5、是減函數(shù)，求的取值范圍解：（1）求導得當時，在上遞增；當，求得兩根為，即在遞增，遞減， 遞增。（2）因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以當時恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖像可知解得點評：函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)轉(zhuǎn)化為導函數(shù)或在區(qū)間上恒成立問題，是解決這類問題的通法本題也可以由函數(shù)在上遞減，所以求解【變式1】（ 全國高考）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍解：，令得或，結(jié)合圖像知，故點評：本題也可轉(zhuǎn)化為恒成立且恒成立來解【變式2】（ 浙江高考）已知函數(shù) 若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍解：函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價于在區(qū)間上有實數(shù)解，且無重根又，由，得。從而或解得或所以的取值范圍是點評：這種

6、逆向設(shè)問方式是今后高考命題的一種趨勢，充分體現(xiàn)高考“能力立意”的思想，高考中應(yīng)高度重視。（4）利用導數(shù)的幾何意義研究曲線的切線問題例6 （江西高考）若存在過點的直線與曲線和都相切，則等于 A或 B或 C或 D或解：設(shè)過的直線與相切于點，所以切線方程為即，又在切線上，則或，當時，由與相切可得，當時，由與相切可得，所以選.點評：函數(shù)的切線問題，切點是關(guān)鍵，因為它是聯(lián)結(jié)曲線和其切線的“橋梁”，在做題中往往需要設(shè)出切點【變式】（ 遼寧高考）設(shè)為曲線：上的點，且曲線在點處切線傾斜角的取值范圍為，則點橫坐標的取值范圍為（ ） ABC D解：由曲線在點處切線傾斜角的取值范圍為，可得曲線在點處切線的斜率范圍為

7、，又，設(shè)點的橫坐標為，則，解得，故選5. 利用導數(shù)求函數(shù)的極值與最值例7（天津高考）已知函數(shù)（），其中若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍解：，顯然不是方程的根為使僅在處有極值，必須成立，即有解不等式，得這時，是唯一極值因此滿足條件的的取值范圍是6.利用導數(shù)解決實際問題例8用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？解：設(shè)長方體的寬為（m），則長為 (m)，高為.故長方體的體積為從而令，解得（舍去）或，因此.當時，；當時，故在處取得極大值，并且這個極大值就是的最大值，從而最大體積，此時長方體的長為2

8、m，高為1.5 m導數(shù)及其應(yīng)用 基礎(chǔ)訓練A組一、選擇題1若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，且則 的值為（ B ）A B C D 2一個物體的運動方程為其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在秒末的瞬時速度是（C ）A米/秒 B米/秒 C米/秒 D米/秒3函數(shù)的遞增區(qū)間是（C ）A B C D 對于任何實數(shù)都恒成立4,若,則的值等于（D ）A BCD5函數(shù)在一點的導數(shù)值為是函數(shù)在這點取極值的（ D ）A充分條件 B必要條件 C充要條件 D必要非充分條件對于不能推出在取極值，反之成立6函數(shù)在區(qū)間上的最小值為（D ）A B C D 得而端點的函數(shù)值，得二、填空題1若，則的值為_ _；2曲線在點 處的切線傾斜角為_ 3 函數(shù)的導數(shù)為_；4曲線在點處的切線的斜率是_，切線的方程為_； 5函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_ 三、解答題1求垂直于直線并且與曲線相切的直線方程。解：設(shè)切點為，函數(shù)的導