1、上海九年級數學上知識總結相似三角形基本知識 知識點一：放縮與相似形知識點二：比例線段有關概念及性質（1）有關概念1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：bm：n（或）2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如4、比例外項：在比例（或a：bc：d）中a、d叫做比例外項。5、比例內項：在比例（或a：bc：d）中b、c叫做比例內項。6、第四比例項：在比例（或a：bc：d）中，d叫a、b、c的第四比例項。7、比例中項：如果比

2、例中兩個比例內項相等，即比例為（或a:bb:c時，我們把b叫做a和d的比例中項。8.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。（注意：在求線段比時，線段單位要統一，單位不統一應先化成同一單位）（2）比例性質1.基本性質: （兩外項的積等于兩內項積）2.反比性質： (把比的前項、后項交換)3.更比性質(交換比例的內項或外項)：4.合比性質：（分子加（減）分母,分母不變）注意：實際上，比例的合比性質可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立如： 5

3、.等比性質：（分子分母分別相加，比值不變.） 如果，那么注意：(1)此性質的證明運用了“設法” ，這種方法是有關比例計算，變形中一種常用方法 (2)應用等比性質時，要考慮到分母是否為零 (3)可利用分式性質將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數，再利用等比性質也成立知識點三：黃金分割1） 定義：在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC（ACBC），如果，即AC2=ABBC，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比。其中0.618。2）黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點C使C是線段AB的黃金分割點.作法：過點B作BDAB，使；

4、連結AD，在DA上截取DE=DB；在AB上截取AC=AE，則點C就是所求作的線段AB的黃金分割點.黃金分割的比值為：.（只要求記?。?）矩形中，如果寬與長的比是黃金比，這個矩形叫做黃金矩形。知識點四：平行線分線段成比例定理(一)平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比.例. 已知l1l2l3, A D l1 B E l2 C F l3可得2.推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例. （1） 是“A”字型（2） 是“8”字型 經常考，關鍵在于找由DEBC可得：.此推論較原定理應用更加廣泛,條件是平行.3.推論

5、的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊. (即利用比例式證平行線)4.定理:平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例. 5.平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線,如果在一條直線上截得的線段相等，難么在另一條直線上截得的線段也相等。 三角形一邊的平行線性質定理定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對應成比例。幾何語言 ABE中BDCE 簡記： 歸納： 和推廣：類似地還可以得到和 三角形一邊的平行線性質定理推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形

6、的三邊與原三角形的三邊對應成比例.三角形一邊的平行線的判定定理三角形一邊平行線判定定理 如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.三角形一邊的平行線判定定理推論 如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.平行線分線段成比例定理1平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例.用符號語言表示：ADBECF,.2平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等.用符號語言表示：. 重心定

7、義：三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心.重心的性質：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到對邊中點的距離的兩倍.知識點三：相似三角形1、 相似三角形1）定義：如果兩個三角形中，三角對應相等，三邊對應成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形。幾種特殊三角形的相似關系：兩個全等三角形一定相似。兩個等腰直角三角形一定相似。兩個等邊三角形一定相似。兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似。補充：對于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）；2） 性質：兩個相似三角形中，對應角相等、對應邊成比例。3） 相似比：兩個相似三角形的對應邊的比，叫做這兩個三角形的相似比

8、。 如ABC與DEF相似，記作ABC DEF。相似比為k。4）判定：定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。三角形相似的預備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。 三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似(此定理用的最多)判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角

9、形相似簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似直角三角形相似判定定理:.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。 補充一：直角三角形中的相似問題：斜邊的高分直角三角形所成的兩個直角三角形與原直角三角形相似.射影定理：CD=ADBD， AC=ADAB，BC=BDBA（在直角三角形的計算和證明中有廣泛的應用）. 補充二：三角形相似的判定定理推論推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。 推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。 推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。 推論四：直角三角形被

10、斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。 推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。相似三角形的性質 相似三角形對應角相等、對應邊成比例. 相似三角形對應高、對應角平分線、對應中線、周長的比都等于相似比(對應邊的比). 相似三角形對應面積的比等于相似比的平方.銳角三角函數知識點總結與復習1、勾股定理：直角三角形兩直角邊、的平方和等于斜邊的平方。 對邊鄰邊斜邊ACB1. 如下圖，在RtABC中，C為直角，則A的銳角三角函數為(A可換成B)：定 義表達式取值范圍關 系正弦(A為銳角)余弦(A為銳角)正切(A為銳角) (倒數)余切(A

11、為銳角) 3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0、30、45、60、90特殊角的三角函數值(重要)三角函數030456090011001不存在不存在10 6、正弦、余弦的增減性： 當090時，sin隨的增大而增大，cos隨的增大而減小。7、正切、余切的增減性：當090時，tan隨的增大而增大，cot隨的增大而減小。1、解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個，其中必有一邊）所有未知的邊和角。依據：邊的關系：；角的關系：A+B=90；邊角關系：三角函數的定義。(注意：盡

12、量避免使用中間數據和除法) 2、應用舉例：(1) 仰角：視線在水平線上方的角；(2) 俯角：視線在水平線下方的角。(3)坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般寫成的形式，如等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。3、從某點的指北方向按順時針轉到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC、OD的方向角分別是：45、135、225。4、指北或指南方向線與目標方向 線所成的小于90的水平角，叫做方向角。 如圖4：OA、OB、OC、OD的方向角分別是：北偏東30（東北方向），南偏東45（東南方向），南偏西60（西南方向），北偏西60（西北方向）。 第

13、一部分 基礎知識1.定義：一般地，如果是常數，那么y叫做x的二次函數.2.二次函數的性質（1）拋物線的頂點是坐標原點，對稱軸是軸.（2）函數的圖像與的符號關系.當時拋物線開口向上頂點為其最低點；當時拋物線開口向下頂點為其最高點.（3）頂點是坐標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數 的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.4.二次函數用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點. a的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.平行于軸（或重合）的直線

14、記作.特別地，軸記作直線.7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法 （1）公式法：，頂點是，對稱軸是直線. （2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線. （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點. 用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.9.拋物線中，的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的a完全一樣.（2

15、）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：b=0時，對稱軸為y軸；（即、同號）時，對稱軸在軸左側；（即a、b異號）時，對稱軸在軸右側.（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.當x=0時，y=c，拋物線與y軸有且只有一個交點（0，）：c=0，拋物線經過原點; c0,與y軸交于正半軸；c0,與y軸交于負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則 .10.幾種特殊的二次函數的圖像特征如下：函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標當時,開口向上；當時，開口向下。（y軸）（0,0）（y軸）(0,k)(,0)(,)()11.用待定系數法求二次函數的解析式 （

16、1）一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式. （2）頂點式：.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式. （3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.12.直線與拋物線的交點 （1）軸與拋物線得交點為(0, ). （2）與y軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,). （3）拋物線與x軸的交點(x1,0)、(x2,0) 二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點拋物線與軸相交；有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；沒有交點拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線

17、的交點同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k，則橫坐標是的兩個實數根.（5）一次函數的圖像與二次函數的圖像G的交點，由方程組 的解的數目來確定：方程組有兩組不同的解時與G有兩個交點; 方程組只有一組解時與只有一個交點；方程組無解時與G沒有交點.（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故第二部分 典型習題.拋物線yx22x2的頂點坐標是 （ ）A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3）.已知二次函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ）ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 a

18、b0，c0 第,題圖 第4題圖.二次函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（ ） Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如圖，已知中，BC=8，BC上的高，D為BC上一點，交AB于點E，交AC于點F（EF不過A、B），設E到BC的距離為，則的面積關于的函數的圖象大致為（ ）.拋物線與x軸分別交于A、B兩點，則AB的長為 6.已知二次函數與x軸交點的橫坐標為、（），則對于下列結論：當x2時，y1；當時，y0；方程有兩個不相等的實數根、；，；，其中所有正確的結論是 （只需填寫序號）7.已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為 .（1）若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線上，試確定這條拋物線的解析式；（2）過點B作直線BCAB交x軸交于點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線的解析式.8.有一個運算裝置，當輸入值為x時，其輸出值為，且是x的二次函數，已知輸入值為,0,時, 相應的輸出值分別為5,（1）求此二次函數的解析式；（2）在所給的坐標系中畫出這個二次函數的圖象,并根據圖象寫出當輸出值為正數時輸入值的取值范圍. 9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發(fā)現：駱駝的體溫會隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同他們將一頭駱駝前兩晝夜的