1、4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,復(fù)習(xí)引入,探究新知,應(yīng)用舉例,課堂小結(jié),課后作業(yè),復(fù)習(xí)引入,問題1：平面直角坐標(biāo)系中，如何確定一個 圓？,圓心：確定圓的位置 半徑：確定圓的大小,問題2：圓心是A(a,b),半徑是r的圓的方程是什么？,x,y,O,C,M(x,y),(x-a)2+(y-b)2=r2,三個獨立條件a、b、r確定一個圓的方程.,設(shè)點M (x,y)為圓C上任一點，則|MC|= r。,問題：是否在圓上的點都適合這個方程？是否適合這個方程的坐標(biāo)的點都在圓上？,點M(x, y)在圓上，由前面討論可知，點M的坐標(biāo)適合方程；反之，若點M(x, y)的坐標(biāo)適合方程，這就說明點 M與圓心的距離是 r ，即

2、點M在圓心為A (a, b)，半徑為r的圓上,想一想?,x,y,O,C,M(x,y),圓心C(a,b),半徑r,特別地,若圓心為O（0，0），則圓的方程為：,標(biāo)準(zhǔn)方程,知識點一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,1.說出下列圓的方程： (1)圓心在點C(3, -4), 半徑為7. (2) 經(jīng)過點P(5,1)，圓心在點C(8,-3).,2. 說出下列方程所表示的圓的圓心坐標(biāo)和半徑：,(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36,(2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0,(3) (x a)2 + y 2 = m2,特殊位置的圓的方程:,圓心在原點:,x2 + y2 = r2 (r0),圓心

3、在x軸上:,(x a)2 + y2 = r2 (r0),圓心在y軸上:,x2+ (y b)2 = r2 (r0),圓過原點:,(x a)2 + (y-b)2 = b2 (b0),圓心在x軸上且過原點:,(x a)2 + y2 = a2 (a0),圓心在y軸上且過原點:,x 2 + (y-b)2 = b2 (b0),圓與x軸相切:,(x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b20),圓與y軸相切:,(x a)2 + (y-b)2 = a2 (a0),圓與x,y軸都相切:,(x a)2 + (ya)2 = a2 (a0),例1 寫出圓心為 ，半徑長等于5的圓的方程，并判斷點 ， 是否

4、在這個圓上。,解：圓心是 ，半徑長等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：,把 的坐標(biāo)代入方程 左右兩邊相等，點 的坐標(biāo)適合圓的方程，所以點 在這個圓上；,典型例題,把點 的坐標(biāo)代入此方程，左右兩邊不相等，點 的坐標(biāo)不適合圓的方程，所以點 不在這個圓上,跟蹤訓(xùn)練已知兩點M(3,8)和N(5,2) (1)求以MN為直徑的圓C的方程； (2)試判斷P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？,知識探究二：點與圓的位置關(guān)系,探究：在平面幾何中，如何確定點與圓的位置關(guān) 系？,M,O,|OM|r,|OM|=r,O,M,O,M,|OM|r,點在圓內(nèi),點在圓上,點在圓外,(x0-a)2+(y

5、0-b)2r2;,(x0-a)2+(y0-b)2=r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2時,點M在圓C外;,(x0-a)2+(y0-b)2=r2時,點M在圓C上;,(x0-a)2+(y0-b)2r2時,點M在圓C內(nèi).,點與圓的位置關(guān)系:,知識點二：點與圓的位置關(guān)系,待定系數(shù)法,解：設(shè)所求圓的方程為：,因為A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圓上,所求圓的方程為,例2 ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程。,例3 己知圓心為C的圓經(jīng)過點A(1,1)和B(2,-2),且圓心在直線l:x-y+

6、1=0上,求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,圓經(jīng)過A(1,1),B(2,-2),解2:設(shè)圓C的方程為,圓心在直線l:x-y+1=0上,待定系數(shù)法,解:A(1,1),B(2,-2),例3 己知圓心為C的圓經(jīng)過點A(1,1)和B(2,-2),且圓心在直線l:x-y+1=0上,求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.,即：x-3y-3=0,圓心C(-3,-2),練習(xí),2.根據(jù)下列條件，求圓的方程： （1）求過兩點A(0,4)和B(4,6),且圓心在直線x-y+1=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 （2）圓心在直線5x-3y=8上，又與兩坐標(biāo)軸相切，求圓的方程。 （3）求以C(1,3)為圓心，且和直線3x-4y-7=0相切的直線的方

7、程。,1.點(2a, 1 a)在圓x2 + y2 = 4的內(nèi)部,求實數(shù) a 的取值范圍.,例 已知圓的方程是x2 + y2 = r2，求經(jīng)過圓上一 點 的切線的方程。,解:,如圖所示，一座圓拱橋，當(dāng)水面在l位置時，拱頂離水面2米，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后，水面寬多少米？ 【分析】建立坐標(biāo)系求解,【解】以圓拱橋拱頂為坐標(biāo)原點，以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示,設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點為A、B， 則由已知得A(6，2) 設(shè)圓的半徑為r，則C(0，r)， 即圓的方程為x2(yr)2r2. 將點A的坐標(biāo)(6，2)代入方程得 36(r2)2r2， r10.,【點評】本題是用解析法解決實際問題,跟蹤訓(xùn)練3 如圖(1)所示是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖該圓拱跨度AB20 m，拱高OP4 m，在建造時每隔4 m需用一個支柱支撐，求支柱CD的高度(精確到0.01 m),解：建立圖(2)所示的直角坐標(biāo)系，則圓心在y軸上設(shè)圓心的坐標(biāo)是(0，b)，圓的半徑是r，那么圓的方程是x2(yb)2r2.下面用待定系數(shù)法求b和r的值因為P、B都在圓上，所以它們的坐標(biāo)(0,4)、(10,0)都是這