1、證明,證明： ，,對任意 使得, 對任意 使得,找N，使得 時，,分別大于 和,取N=,第二章 導數(shù)與微分,一 導數(shù)的概念,1. 定義特殊的極限,(自變量的增量),（函數(shù)的增量）,求,（1）如果極限存在，則稱函數(shù)在 可導，,極限值叫做 對X的導數(shù)（在 處）,記為：,（2）如果極限不存在，則稱 在 處不可導。,注意：,導數(shù)定義的兩種極限形式,例：設在處可導，求下列極限,（1）,（2）,（3）,（4）,已知 存在且，,求,2 導函數(shù)（導數(shù)）,（在某點處的導數(shù)）,（x 為任意一點） 以 x為變量的函數(shù)記為：,注意：,（1） 與,為一點處導數(shù)，為具體值。,為導函數(shù)，為含有 的表達式,（2）,（右導數(shù)）

2、,（左導數(shù)）,（用于分段函數(shù)的分段點處求導數(shù)）,（3） （平均變化率）=,（瞬時變化率），只與有x關系,取極限的過程中， 為變量， 是常量,二、求導數(shù)利用定義,步驟： 1求兩個增量,2求兩個增量之比,3取極限,常數(shù)函數(shù) 求,常數(shù)函數(shù)導數(shù)為0。,常數(shù)函數(shù)：,冪函數(shù)：,正弦函數(shù)：,余弦函數(shù)：,指數(shù)函數(shù)：,若,對數(shù)函數(shù)：,注意：,分段函數(shù)求導數(shù),例： 的導數(shù),（1）當 時，,當 時，,當 時，用定義。,當 時，,三 函數(shù)在 處可導與連續(xù)的關系,結論：若 在 處可導，,則 在 處連續(xù)。,可導 連續(xù),例：討論下列函數(shù)在處的可導性和連續(xù)性,1),解： ，,，不相等，,所以極限不存在，所以不可導.,討論連續(xù)

3、性: (1),(2) 所以函數(shù)在 處連續(xù),(3),2),解:,討論可導(:是否取決于極限是否存在),所以極限存在且=0,函數(shù)可導且連續(xù),3),do: 討論可導,不存在極限,不可導,討論連續(xù)性,(1),(2),(3),函數(shù)在此點連續(xù),四、導數(shù)的幾何意義,函數(shù)可導 = 函數(shù)在一點處的切線的斜率。,2,函數(shù)的和 差 積 商求導公式,一、 求導公式：u v是關于x的函數(shù),特例：,特例：,二、 具體例子：求,例：求導數(shù),解：,代值如：,3,反函數(shù)的導數(shù),函數(shù)對x求導數(shù),的導數(shù),解：,的導數(shù),解：,二、復合函數(shù)求導 （過河拆橋）,已知：y是x的復合函數(shù),求：,公式：如,例：,解：,例：,解：,例：,解：,

4、例：,解：,例：,解：,抽象復合函數(shù)求導,設 可導，求 。,(1),(注意對 求導),(2),設 可導，求 。,1),2),3),4),5,高階導數(shù),一、概念,例： 。求 。,解：,當 時，,求 階導數(shù),(1) ，求 。,解：,例：求導數(shù),：常將分式函數(shù)轉化為負指數(shù),：試 從導出,6,隱函數(shù)求導,一、 概念,由方程： 所確定的,稱為隱函數(shù)，可顯化，不可顯。,二、 求的方法,（不顯化）不解出 ，直接在方程兩端,同時對 求導,注意：,例：求,（1）,解：,（其中是由方程所確定的隱函數(shù)）,（2）,解：,隱函數(shù)求二階導數(shù),對數(shù)求導法,是 的函數(shù),解：,將一階代入,（其中是由方程所確定的隱函數(shù)）,對數(shù)求導法,求,（2）連乘（除）因子,2.求導方法：,（1）兩邊同時取對數(shù),（2）兩邊對求導,（3）解出,1.適用范圍：（1）冪函數(shù),唯一的求導方法,冪函數(shù),求 的導數(shù),（冪函數(shù)只可用此種方法）,解： （兩邊同時取對數(shù)）,（兩邊對求導）,（解出 ）,例 (1) ，求,解：,(2) 求,解：,（比較復雜的連乘因子用此法較為簡便）,參數(shù)方程求導,1. 概念 確定 ，求,7,函數(shù)的微分,一、 概念：,1定義：已知,if:,其中： 表示比 高階的無窮小。 為常數(shù),則稱函數(shù)在 處可微。,稱為 在 處的微分。記為