1、第十節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用,三年9考 高考指數(shù): 1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義. 2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.,1.函數(shù)模型的應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn). 2.建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題是高考命題的熱點(diǎn)，常與導(dǎo)數(shù)、均值不等式、函數(shù)的單調(diào)性、最值等交匯命題，主要考查建模能力及分析問題和解決問題的能力. 3.選擇題、填空題、解答題三種題型都有所涉及，但以解答題為主.,1.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較,相對平穩(wěn),隨n值變化而不同,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)思考：對于直線上升、

2、指數(shù)增長、對數(shù)增長三種增長模型，你作為老板，希望公司的利潤和員工獎(jiǎng)金按何種模型增長? 提示:公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長,而員工獎(jiǎng)金選擇對數(shù)模型增長.,(2)當(dāng)x越來越大時(shí)，判斷下列四個(gè)函數(shù)中，增長速度最快的是_. y=2x,y=x10,y=lgx,y=10 x2 【解析】由函數(shù)圖象知，y=2x的增長速度最快. 答案:,(3)函數(shù)y=2x與y=x2的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是_. 【解析】由y=2x與y=x2的圖象知有3個(gè)交點(diǎn). 答案:3,(4)當(dāng)2x4時(shí),2x,x2,log2x的大小關(guān)系是_. 【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出 函數(shù)y=log2x,y=x2,y=2x的圖象,在區(qū)間 (2，4)

3、內(nèi)從上往下依次是y=x2,y=2x, y=log2x的圖象， 所以x22xlog2x. 答案: x22xlog2x,2.常見的幾種函數(shù)模型 (1)直線模型:一次函數(shù)模型y=_,圖象增長特點(diǎn)是直 線式上升(x的系數(shù)k0),通過圖象可以直觀地認(rèn)識它,特例是 正比例函數(shù)模型y=_. (2)反比例函數(shù)模型:y=_,增長特點(diǎn)是y隨x的增大而減小.,kx+b(k0),kx(k0),(3)指數(shù)函數(shù)模型:y=abx+c(b0,b1,a0)型，其增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快(底數(shù)b1,a0)，常形象地稱為指數(shù)爆炸. (4)對數(shù)函數(shù)模型:y=mlogax+n(a0,a1,m0)型，增長特點(diǎn)

4、是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢(底數(shù)a1, m0).,(5)冪函數(shù)模型:y=axn+b(a0)型，其中最常見的是二次函 數(shù)模型:_(a0)，其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函 數(shù)值先減小，后增大(a0). (6)分段函數(shù)模型： ,其特點(diǎn)是每一段自變量變 化所遵循的規(guī)律不同.可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問題，將各段的變化 規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的取值 范圍,特別是端點(diǎn).,y=ax2+bx+c,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)據(jù)報(bào)道，全球變暖使北冰洋冬季冰雪覆蓋面積在最近50年內(nèi)減少了5%，如果按此速度，設(shè)2011年的冬季冰雪覆蓋面積為m，從2011年起，經(jīng)過x年后，北冰洋冬季冰雪覆蓋

5、面積y與x的函數(shù)關(guān)系式是_.,(2)某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)進(jìn)行了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后期增長越來越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時(shí)間x的關(guān)系，可選用六種常見模型中的_.,(3)某種電熱水器的水箱盛滿水是200 L，加熱到一定溫度，即可用來洗浴.洗浴時(shí)，已知每分鐘放水34 L，若放水t分鐘時(shí)，同時(shí)自動(dòng)注水總量為2t2 L.當(dāng)水箱內(nèi)的水量達(dá)到最少時(shí)，放水程序自動(dòng)停止，現(xiàn)假定每人洗浴用水量為65 L，則該熱水器一次至多可供_人洗浴.,【解析】(1)設(shè)每年的冰雪覆蓋面積與上一年的比為a,則由題意得1-0.05=a50. a= y=( )xm= m,xN*.

6、 (2)由增長特點(diǎn)知應(yīng)選對數(shù)函數(shù)模型.,(3)在放水程序自動(dòng)停止前,水箱中的水量為 y=2t2-34t+200=2(t-8.5)2+55.5， 由二次函數(shù)的性質(zhì)得，經(jīng)過8.5 min，放水停止, 共出水348.5=289(L)，289654.45. 故至多可供4人洗浴. 答案：(1)y= m,xN* (2)對數(shù)函數(shù)模型 (3)4,利用函數(shù)刻畫實(shí)際問題 【方法點(diǎn)睛】 用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題的解題思路 將實(shí)際問題中兩個(gè)變量間變化的規(guī)律(如增長的快慢、最大、最小等)與函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、最值等)、圖象(增加、減少的緩急等)相吻合即可.,【例1】如圖所示，向高為H的容器A，B，C，D中同時(shí)以等速注水

7、，注滿為止： (1)若水深h與注水時(shí)間t的函數(shù)圖象是下圖中的(a)，則容器的形狀是_;,(2)若水量v與水深h的函數(shù)圖象是下圖中的(b)，則容器的形狀是_; (3)若水深h與注水時(shí)間t的函數(shù)圖象是下圖中的(c)，則容器的形狀是_;,(4)若注水時(shí)間t與水深h的函數(shù)圖象是下圖中的(d)，則容器的形狀是_. 【解題指南】根據(jù)實(shí)際問題中水深h,水量v和注水時(shí)間t之間的關(guān)系，結(jié)合圖象使之吻合即可.,【規(guī)范解答】(1)該題圖中的(a)說明了注入水的高度是勻速上升的，只有C中的容器能做到，所以應(yīng)填C； (2)該題圖中的(b)說明了水量v增長的速度隨著水深h的增長越來越快，在已知的四個(gè)容器中，只有A中的容器

8、能做到，所以應(yīng)填A(yù)；,(3)該題圖中的(c)說明水深h與注水時(shí)間t之間的對應(yīng)關(guān)系，且反映出來的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四個(gè)容器中，只有D中的容器能做到，所以應(yīng)填D； (4)該題圖中的(d)說明水深h與注水時(shí)間t之間的對應(yīng)關(guān)系，且反映出來的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四個(gè)容器中，只有B中的容器能做到，所以應(yīng)填B. 答案：(1)C (2)A (3)D (4)B,【反思感悟】用函數(shù)刻畫實(shí)際問題的關(guān)鍵是分析所給實(shí)際問題中兩個(gè)變量間的關(guān)系，從中發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律，并與函數(shù)的圖象、性質(zhì)聯(lián)系起來，從而使問題解決.,【變式訓(xùn)練】如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)P(x,y) 在xOy平面上沿曲線運(yùn)動(dòng)，速度大

9、小不 變，其在x軸上的投影點(diǎn)Q(x,0)的運(yùn)動(dòng)速 度V=V(t)的圖象大致為( ),【解析】選B.由圖可知，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)P(x,y)在兩個(gè)封閉曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，投影點(diǎn)Q(x,0)的速度先由正到0、到負(fù)數(shù)，再到0，到正，故A錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)P(x,y)在終點(diǎn)的速度是由大到小接近0，故D錯(cuò)誤；質(zhì)點(diǎn)P(x,y)在開始時(shí)沿直線運(yùn)動(dòng)，故投影點(diǎn)Q(x,0)的速度為常數(shù)，因此C是錯(cuò)誤的，故選B.,利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題 【方法點(diǎn)睛】 利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟 若題目給出了含參數(shù)的函數(shù)模型，或可確定其函數(shù)模型的圖象,求解時(shí)先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式中相關(guān)參數(shù)的值,再用求得的函數(shù)解析式解決實(shí)際問題. 【提醒】

10、要結(jié)合實(shí)際意義限制自變量的范圍.,【例2】(1)某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=3 000+20 x-0.1x2(0x240,xN)，若每臺產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是( ) (A)100臺 (B)120臺 (C)150臺 (D)180臺,(2)為了預(yù)防流感,某學(xué)校對教室采用 藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物釋放過 程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量 y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比;藥物釋 放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為 y= (a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，求從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)

11、間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為_.,【解題指南】(1)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及實(shí)際意義解題即可. (2)結(jié)合圖象通過特殊點(diǎn)用待定系數(shù)法求出關(guān)系式.,【規(guī)范解答】(1)選C.要使生產(chǎn)者不虧本， 則有3 000+20 x-0.1x225x, 解上式得：x-200或x150, 又0x240,xN， x的最小值為150.,(2)藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí) 間t(小時(shí))成正比,則設(shè)函數(shù)y=kt(k0),將點(diǎn)(0.1,1)代入可得 k=10,則y=10t;將點(diǎn)(0.1,1)代入y= ,得a= 則所求關(guān)系式為y= 答案:y=,【互動(dòng)探究】本例(2)中題干不變,若據(jù)測定,當(dāng)空氣中每立

12、方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí),學(xué)生方可進(jìn)教室,那么從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過_小時(shí)后,學(xué)生才能回到教室. 【解析】由本例(2)知,令 得t= =0.6. 即從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過0.6小時(shí)后,學(xué)生才能回到教室. 答案:0.6,【反思感悟】解決這類已給出數(shù)學(xué)模型的實(shí)際問題,關(guān)鍵是從實(shí)際問題分析出其經(jīng)過的特殊點(diǎn)或滿足的特殊情況,從而代入求得其解析式.,【變式備選】已知某物體的溫度(單位:攝氏度)隨時(shí)間t(單位:分鐘)的變化規(guī)律是:=m2t+21-t(t0，并且m0). (1)如果m=2,求經(jīng)過多少時(shí)間,物體的溫度為5攝氏度; (2)若物體的溫度總不低于2攝氏度,求m的取值范圍.,【

13、解析】(1)若m=2,則=22t+21-t= 當(dāng)=5時(shí)，2t+ 令x=2t，則x1 ,則 即2x2-5x+2=0, 解得x=2或x= (舍去), 此時(shí)t=1. 所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度.,(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即2恒成立， 亦 恒成立. 亦即 恒成立. 令y= ，則0y1, m2(y-y2), 由于y-y2 ,m . 因此，當(dāng)物體的溫度總不低于2攝氏度時(shí)，m的取值范圍是 ,+).,自建函數(shù)模型解決實(shí)際問題 【方法點(diǎn)睛】 建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟 (1)審題：深刻理解題意，分清條件和結(jié)論，理順其中的數(shù)量關(guān)系，把握其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)； (2)建模：由題設(shè)中的數(shù)量關(guān)系，建立

14、相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；,(3)解模：用數(shù)學(xué)知識和方法解決轉(zhuǎn)化出的數(shù)學(xué)問題； (4)還原：回到題目本身，檢驗(yàn)結(jié)果的實(shí)際意義，給出結(jié)論.,【例3】(2012廣州模擬)某企業(yè)為打入國際市場,決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn),已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:(單位:萬美元),其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān),m為待定常數(shù),其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價(jià)格決定,預(yù)計(jì)m6,8,另外,年銷售x件B產(chǎn)品時(shí)需上交0.05x2萬美元的特別關(guān)稅.假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去. (1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤y1,y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系并

15、指明其定義域; (2)如何投資最合理(可獲得最大年利潤)?請你做出規(guī)劃.,【解題指南】根據(jù)題意分別寫出生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的年利潤y1,y2的函數(shù)關(guān)系,再利用函數(shù)的單調(diào)性求得y1,y2的最大值,再比較最大值之間的大小關(guān)系.,【規(guī)范解答】(1)年銷售量為x件,生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤y1,y2,則y1=10 x-(20+mx)=(10-m)x-20(0 x200且xN)， y2=18x-(40+8x)-0.05x2=-0.05x2+10 x-40 =-0.05(x-100)2+460(0 x120,xN).,(2)6m8, 10-m0,y1=(10-m)x-20為增函數(shù). 又0 x200,xN, x=2

16、00時(shí),生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤為 (10-m)200-20=1 980-200m(萬美元). 又y2=-0.05(x-100)2+460,0 x120,xN, 當(dāng)x=100時(shí),生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤為460(萬美元).,因?yàn)?y1)max-(y2)max=(1 980-200m)-460 =1 520-200m 所以,當(dāng)6m7.6時(shí),可投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件; 當(dāng)m=7.6時(shí),投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件與生產(chǎn)B產(chǎn)品100件均可; 當(dāng)7.6m8時(shí),可投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件.,【反思感悟】解決這類問題常見的兩個(gè)誤區(qū) (1)不會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，從而無法求解. (2)在求解過程中忽視實(shí)際問題對變量參

17、數(shù)的限制條件.,【變式訓(xùn)練】(2012西安模擬)據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測:發(fā)生于M地的沙塵暴一直向正南方向移動(dòng),其移動(dòng)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示,過線段OC上一點(diǎn)T(t,0)作橫軸的垂線l,梯形OABC在直線l左側(cè)部分的面積即為t(h)內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程s(km).,(1)當(dāng)t=4時(shí),求s的值; (2)將s隨t變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來;,(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,試判斷這場沙塵暴是否會(huì)侵襲到N城,如果會(huì),在沙塵暴發(fā)生后多長時(shí)間它將侵襲到N城?如果不會(huì),請說明理由. 【解析】(1)由圖象可知:當(dāng)t=4時(shí),v=34=12, s= 412=24(

18、km).,(2)當(dāng)0t10時(shí),s= t3t= 當(dāng)10t20時(shí)，s= 1030+30(t-10) =30t-150; 當(dāng)20t35時(shí)，s= 1030+1030+(t-20)30- (t- 20)2(t-20)=-t2+70t-550. 綜上，可知s=,(3)t0,10時(shí),smax= 102=150650, t(10,20時(shí)，smax=3020-150=450650, 當(dāng)t(20,35時(shí)，令-t2+70t-550=650. 解得t1=30,t2=40.20t35,t=30. 沙塵暴發(fā)生30 h后將侵襲到N城.,【變式備選】某公司是專門生產(chǎn)健身產(chǎn)品的企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完，該公司

19、對第一批產(chǎn)品A上市后的市場銷售進(jìn)行調(diào)研，結(jié)果如圖(1)、(2)所示.其中(1)的拋物線表示的是市場的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；(2)的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時(shí)間的關(guān)系. (1)寫出市場的日銷售量f(t)與第一批產(chǎn)品A上市時(shí)間t的關(guān)系式；,(2)第一批產(chǎn)品A上市后的第幾天，這家公司日銷售利潤最大，最大利潤是多少?,【解析】(1)設(shè)f(t)=a(t-20)2+60,由f(0)=0可知a= , 即f(t)=,(2)設(shè)銷售利潤為g(t)萬元，則 當(dāng)30t40時(shí)，g(t)單調(diào)遞減； 當(dāng)0t30時(shí)，g(t)= +24t,易知g(t)在(0， )上單調(diào)遞 增，( ，30)上單調(diào)遞減，而tN，

20、故比較g(26),g(27),經(jīng)計(jì) 算，g(26)=2 839.2g(27)=2 843.1，故第一批產(chǎn)品A上市后的 第27天，這家公司日銷售利潤最大，最大利潤是2 843.1萬元.,【滿分指導(dǎo)】函數(shù)應(yīng)用解答題的規(guī)范解答 【典例】(12分)(2011江蘇高考)請你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒.如圖所示,ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒.E、F在AB上,是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn). 設(shè)AE=FB=x(cm).,(1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)

21、最大，試問x應(yīng)取何值? (2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值.,【解題指南】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件將側(cè)面積和容積表示成x的函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值求法和導(dǎo)數(shù)法求解.,【規(guī)范解答】設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm). 由已知得 2分 (1)S=4ah=8x(30-x)4分 =-8(x-15)2+1 800, 所以當(dāng)x=15時(shí),S取得最大值.6分,(2)V= ,8分 V= 由V=0得x=0(舍)或x=20.9分 當(dāng)x(0,20)時(shí),V0;當(dāng)x(20,30)時(shí),V0. 所以當(dāng)x=20時(shí),V取得極大值,也是最大值.11分

22、此時(shí) ，即包裝盒的高與底面邊長的比值為 .12分,【閱卷人點(diǎn)撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：,1.(2012梅州模擬)牛奶保鮮時(shí)間因儲藏時(shí)溫度不同而不同，假定保鮮時(shí)間與儲藏溫度是一種指數(shù)函數(shù)型關(guān)系.若牛奶放在0的冰箱中，保鮮時(shí)間約是192 h,而在22的廚房中則約是42 h，則保鮮時(shí)間y(h)關(guān)于儲藏溫度x()的函數(shù)解析式是( ),【解析】選D.設(shè)y=abx. 則由已知得: y=,2.(2012佛山模擬)某種產(chǎn)品市場產(chǎn)銷 量情況如圖所示，其中l(wèi)1表示產(chǎn)品各年 年產(chǎn)量的變化規(guī)律；l2表示產(chǎn)品各年的 銷售情況，下列敘述： (1)產(chǎn)品產(chǎn)量、銷售量均以直線上升， 仍可按原生產(chǎn)計(jì)劃進(jìn)行下去; (2)產(chǎn)品已經(jīng)出現(xiàn)了供大于求的情況，價(jià)格將趨跌；,(3)產(chǎn)品的庫存積壓將越來越嚴(yán)重，應(yīng)壓縮產(chǎn)量或擴(kuò)大銷量. 你認(rèn)為較合理的敘述是( ) (A)(1)(2)(3) (B)(1)(3) (C)(2) (D