1、輸油管布置方案的優(yōu)化設計摘要本文在合理充分的假設前提下，針對單位費用的各種不同情形，運用一元函數與二元函數的極值理論，給出了輸油管布置方案的最優(yōu)設計及相應費用。問題一中，我們就兩種單鋪管道單位費用與共用管道單位鋪設費用相同、兩種單鋪管道單位費用相同而與共用管道單位鋪設費用不同、三種單位費用互不相同三種情形，給出了相應的模型及最優(yōu)布置方案：第一種情形我們建立非線性一元函數約束優(yōu)化模型，當滿足時，最優(yōu)方案為共用與非共用管道連接節(jié)點距鐵路線（公里），與車站到煉油廠的水平距離均為（公里）；類似地，第二種情形當滿足（其中是單位費用比）時，連接節(jié)點距鐵路線（公里），與車站到煉油廠的水平距離均為（公里） ；

2、第三種情形我們建立了非線性二元函數約束優(yōu)化模型，當 且時，最優(yōu)方案為連接節(jié)點距鐵路線 （公里），與車站到煉油廠的水平距離均為 ，其中是關于單位費用的常數。問題二與問題三我們均采用多階段優(yōu)化決策方法并運用問題一的模型，均得到了最優(yōu)方案。問題二的最優(yōu)方案：車站與A廠水平距離為5.4553公里，連接節(jié)點距鐵路線1.8504公里且與A廠水平距離為5.4553公里，郊區(qū)與城區(qū)管道連接節(jié)點距鐵路線7.3610公里。 問題二的最優(yōu)方案：車站與A廠水平距離為6.7227公里，連接節(jié)點距鐵路線0.1983公里且與A廠水平距離為6.7227公里，郊區(qū)與城區(qū)管道連接節(jié)點距鐵路線7.2970公里。最后本文對模型的優(yōu)缺

3、點進行了評價，并提出了進一步改進方向。關鍵詞 輸油管布置 極值 非線性規(guī)劃1 問題重述某油田計劃建造兩家煉油廠位于鐵路線一側，同時在鐵路線上增建一車站，用來運送成品油，此模式有一定的普遍性，油田設計院希望通過建設費用最省的一般數學模型與方法來建立管線。有三個問題需要解決：1. 針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出設計方案。在方案設計時，若有共用管線，考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形。2. 設計院目前需對一更為復雜的情形進行具體的設計。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個區(qū)域的分界線用圖中的虛

4、線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管線的鋪設費用均為每千米7.2萬元。城區(qū)的管線增加附加費用，附加費用由三家工程咨詢公司進行估算。為設計院給出管線布置方案及相應的費用。3.管線鋪設費用分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費用為每千米7.2萬元，拆遷等附加費用同上。給出管線最佳布置方案及相應的費用。 2 模型假設（1）不計鐵路與管道的形狀粗細，假設鐵路與管道為一條直線。（2）所有其他外部或人為因素引起的鋪設費用忽略不計。（3）共用管道每千米鋪設費用大于或等于同一環(huán)境下的任意單

5、用管道鋪設費用.（4）咨詢公司給出的估算費用是可信的。3 符號說明a 煉油廠A到鐵路的距離；b 煉油廠B到鐵路的距離；c 點A到城郊結合線的水平距離； A與B的的水平距離；Q(P) 總費用，P點為向兩廠鋪設石油管道的連接節(jié)點； A廠單用管道單位鋪設費用（單位：萬元/千米，下同） ； B廠單用管道單位鋪設費用； 共用石油管道單位鋪設費用； 城區(qū)鋪設管道單位鋪設費用；4 問題分析問題一針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，設計鋪設方案。方案總是以鋪設費用最省為目標，因此，在兩點及鐵路線之間的位置與單位鋪設費用確定的情況下，總費用主要由共用與非共用管道的連接節(jié)點位置決定，可以分為三

6、種情況討論：兩種單鋪單位費用與共用單位鋪設費用相同、兩種單鋪單位費用相同而與共用鋪設單位費用不同、三種單位費用互不相同。其實問題就歸結為找連接點，使得到鐵路線、兩個煉油廠的距離加權和最小，權重系數即為相應的單位鋪設費用。問題二、問題三可以采用相同的思路：采取多階段決策，對于任意取定的城郊結合點，郊區(qū)的管道鋪設有一個最優(yōu)方案，這個方案可以根據問題一的模型來解決，這樣每一個城郊結合點就對應一個最小郊區(qū)鋪設費用，再加上相應的城區(qū)鋪設費用，即可找出總費用最省的方案。5 模型建立與求解5.1模型準備5.1.1 時的最優(yōu)鋪設方案若，不妨設ba，建立直角坐標系如圖2，設P點距離鐵路線為y，y則Q(P) =q

7、y+q(a-y)+q(b-y)=(q-q-q)y+qa+qb建立模型 min Q(P)=(q-q-q)y+qa+qb,s.t. 0xa若qq+q,則Q(P)關于y單調遞增，最優(yōu)解在y=0處，即不鋪設公用管道，此時費用為qa+qb；若qq+q,則Q(P)關于y單調遞減，最優(yōu)解在y=a處，此時費用為q(b-a)+qa特別地，q=q=q時,最優(yōu)方案就是直接在鐵路線上O處建立車站，鋪設一條管道從O經過A到B.所以以下模型的建立求解不妨設。5.1.2 最優(yōu)點的范圍初步討論建立直角坐標系如圖所示。很顯然，若有最優(yōu)設計方案，即若存在費用最少的點，則在閉區(qū)域(x,y)0x,0yx中。命題:若存在,則必在閉區(qū)域

8、D：（x,y）0x,0ya中。證明：在（x,y）0x,aqAP+qMP+qPB+qPP=qAP+qMP+q(PB+PP)qAP+qMP+qBP=Q(P)若P在X軸下方，則取點M，對Q(M)類似討論可得Q(M)a, 令S（y）0得y，即遞減區(qū)間為（，（，遞增區(qū)間為（），所以為極小值點，為極大值點。當時，即a+b時，S(y)在0,a上單調遞增，故最小值點為y*=0,此時，P*()當a即時，最優(yōu)解為y*=,此時，P*()當最優(yōu)解為y=a,此時，p*(0,a),即為A廠位置。5.2.2. 共用管道與非共用管道鋪設費用不相同的情形（qqq）5.2.2.1 模型建立設=k0,與5.2.1.1模型類似，可分

9、析階段優(yōu)化。第一階段優(yōu)化模型： minPA+PB s.t.P最優(yōu)點記為P(x(y),y)第二階段優(yōu)化模型： minPA+PB+ky,y最優(yōu)化點設為P*(x*,y*)。5.2.2.2 模型求解類似地，第一階段的最優(yōu)解為P(),PA+PB=A”B=,第二階段模型轉化為； minS=+KyS.t. 0ya若k2時，則如圖所示，對任意的y,Q(P)=C(PA+PB)+CPP+CPB+2CPP =C.(PA+PP)+C(PB+PP) CPA+C.PB=Q(P)故此時最優(yōu)化解P*在X軸上取得，類似地，P*坐標為（），即比大的多時，不鋪設共用管道。若0ka.，令S時，最優(yōu)解為y*=,此時，P*()當最優(yōu)解為

10、y=a,此時，p*(0,a),即為A廠位置。5.2.3.所有鋪設費用費用均不同（）5.2.3.1模型建立如圖：任取P（x,y）, 則問題轉化為數列優(yōu)化模型Min Q（P）s.t 此時Q（P）= = 5.2.3.2 模型求解當時，類似于模型5.2.2的證明，如圖，有Q(P)Q（M）此時，不鋪設公用管道，最優(yōu)解在X軸上取到。模型轉化為Min Q（x，0）= （4） s.t 實際問題背景中，模型采用以下方法求解2：第一步：作出一元函數Q(x,0)在0，上的圖像，觀察其單調性，若在0，有單調性，則最優(yōu)解在區(qū)間端點，若不具有單調性，則轉第二步；第二步：作出在0，上的圖像；第三步：求的數值解，并用MATL

11、AB驗證二階導數大于0的駐點。當時，令，模型轉化為Min s.t Q（x，y）對，x，y分別求偏導得：+ 令，解得唯一駐點P：,其中在實際問題背景下可以先作出，若點在區(qū)域D的內部，用MATLAB計算點二階偏導數，驗證是否為極小值點，若是則為最優(yōu)解，若不是則最優(yōu)解在邊界取得。若點不在區(qū)域D的內部，則最優(yōu)解在邊界取得。以下我們對四條邊界分別建模討論。如圖，對邊界OA建立優(yōu)化模型：Min (1) s.t 求導得出令=0得駐點 ，其中。由于，即，故均有意義令0得遞減區(qū)間，遞增區(qū)間（，），因此為極小值點當時，最小值點在y=0，即為原點處當，即A點當時，最小值點在y=上記最優(yōu)解為。如圖，對邊界AF建立優(yōu)化

12、模型：建立優(yōu)化模型 min （2）s.t （PF的長設為x）求導若1則1則令=0，得駐點，,對邊界ON，中已經討論，記最優(yōu)解P()對邊界NF, 如圖： 建立最優(yōu)化模型，min （3）s.t 求導得駐點y=a，類似邊界OA的討論，最優(yōu)解為P(0,y)。 于是綜上所述，模型轉化為 。問題二5.2.4.模型建立由于實際問題中城區(qū)鋪設管道單位附加費用遠大于鋪設管道單位費用且車站一般建在郊區(qū)，故只考慮車站建在郊區(qū)的優(yōu)化設計。如圖所示，任取點E，采用多階段優(yōu)化決策：第一階段優(yōu)化：對于任意取定的y，根據5.2.1.1模型，在郊區(qū)鋪設的最優(yōu)方案為第二階段優(yōu)化，以總費用為目標，優(yōu)化模型建立如下： 5.2.5.模

13、型求解 首先確定，有三家公司對附加費用進行了估算，取三個費用的加權平均值：（其中權重系數由參考文獻1確定）。根據5.2.1.1模型，可能的最優(yōu)點縱坐標為，代入已知量計算的,由于，故在5，8上恒成立，故郊區(qū)最優(yōu)點為P*。由模型5.2.3可知總費用。將，即；=28.4，b=8，簡化得總費用 令得駐點y=7.3610和8.6390,由知y8.6390, 從而y=7.3610是Q在5,8內的最小值點，最小值為281.1847（萬元）。此時P*的坐標為，即最優(yōu)設計方案為：在鐵路線上與A廠水平距離為5.4553公里處修車站，共用管道與非共用管道的結合處距鐵路線1.8504公里且與A廠水平距離為5.4553

14、公里，郊區(qū)與城區(qū)管道結合處距鐵路線7.3610公里。問題三5.2.6.模型建立如圖，類似問題二，采用多階段優(yōu)化決策：第一階段優(yōu)化：對于任意取定的y，根據5.2.3模型，有在郊區(qū)鋪設的最優(yōu)方案為；第二階段優(yōu)化，以總費用為目標，優(yōu)化模型建立如下： （5） 5.2.6.模型求解由于，由模型5.2.3，將已知數據代入得駐點。由得，我們將5，8分成5, 和,8,分別求出總費用最小的方案再取其中較小者即為模型的最優(yōu)解。當時，駐點在鐵路線上方的郊區(qū)內，此時駐點可能為郊區(qū)最優(yōu)點。我們取y7.2，計算該駐點的Jacobi矩陣的行列式為2.35560，根據實際問題的背景，判斷駐點為郊區(qū)的最優(yōu)點。建立模型 min

15、s.t. 將已知數據代入得到：求導得到：令0得y= 7.2970，最小費用為255.5076（萬元），此時（6.7227，0.1983）。當時，駐點不在鐵路線上方的郊區(qū)（含邊界），此時郊區(qū)最優(yōu)點在邊界取得。根據5.2.3模型，對四條邊界加以討論。對于左邊界，由模型（1）知，駐點縱坐標為 y-4.1503，由于y5，所以y-4.1503，費用為于是總費用最小模型為 s.t.令0得唯一駐點y=7.70976.9752，所以最小費用為Q（6.9752）266.7701（萬元）。對于上邊界，由模型（2）知，駐點為（2.5997y一2.9987，5）,由于，故，所以該點為最優(yōu)點，費用為總費用最小模型為s

16、.t.用MATLAB求數值解（附錄1，方法見5.2.3.2）得駐點為y= 7.61966.9752，所以最小費用為Q（6.9752）268.0532（萬元）。對于右邊界，由模型（3）知，最優(yōu)解已經確定，與y無關，為（15，1.7093），總費用最小模型為 s.t.令0得y= 6.8864，由一元微積分可知y= 6.8864為最小值點，此時費用為274.8464（萬元）。對于下邊界， ，由模型（4）知總費用模型為（6）s.t.我們采用MATLAB求近似解，方法如下：取內的若干個數據，通過觀察發(fā)現y的取值在6.8至6.9附近變化時費用變化慢，故y的取值在此區(qū)間比較密集。代入模型（4）并求出f(y)

17、的數值解，再將y與f(y)代入模型（6）觀察總費用的值，估計出總費用的最小值（附錄2），得出結果入下表：y55.25.45.55.866.2f(y)8.32868.32868.00457.92707.70257.55917.4206Q270.0212267.9006265.9262265.0035262.4930261.0438259.7830y6.46.66.86.826.846.86f(y)7.28677.15737.03217.01987.00756.9953Q257.8593257.8555257.2023257.1487257.0973257.2026y6.886.896.906.9

18、16.926.93f(y)6.98316.97706.97106.96496.95896.9529Q257.0009256.9782256.9560256.9344256.9133256.8927y6.946.956.966.976.9726.973f(y)6.94686.94086.93486.92886.92766.9270Q256.8727256.8533256.8343256.8160256.8124256.8106y6.9746.9756.9752f(y)6.92646.92586.9257Q256.8088256.8070256.8067由表格數據可以看出，隨著y的增加，總費用Q與f(y)均在單調減小，推測總費用Q在中是單調減函數，故最優(yōu)點在處，此時費用為256.8067（萬元）。四個邊界上的費用最小值依次為266.7701、268.0532、274.8464、256.8067（萬元），故上的費用最小值為256.8067（萬元）。綜上所述，模型（5）的最優(yōu)解為y= 7.2970（公里），目標函數值為255.5076（萬元），此時（6.7227，0.1983）。最優(yōu)鋪設方案為：在鐵路線上與A廠水平距離為6.7227公里處修車站，共用管道與非共用管道的結合處距鐵路線0.1983公里且與A廠水平距離為6.7227公里，郊區(qū)與城區(qū)管