1、4.6正弦定理和余弦定理,-2-,-3-,知識梳理,雙擊自測,1.正弦定理和余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,則,-4-,知識梳理,雙擊自測,-5-,知識梳理,雙擊自測,2.在ABC中,已知a,b和A時,解的情況如下:,-6-,知識梳理,雙擊自測,3.三角形中的常見結(jié)論 (1)A+B+C=. (2)在三角形中,ABabsin Asin B. (3)ABC的面積公式:,-7-,知識梳理,雙擊自測,1.在ABC中,已知a=5,b=2 ,C=30,則c=.,答案,解析,-8-,知識梳理,雙擊自測,2.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若c2=(a-b)2

2、+6,C= ,則ABC的面積是(),答案,解析,-9-,知識梳理,雙擊自測,3.(教材改編)在ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,則ABC的形狀是() A.銳角三角形B.直角三角形 C.鈍角三角形D.不能確定,答案,解析,-10-,知識梳理,雙擊自測,4.(2017浙江湖州預測)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,答案,解析,-11-,知識梳理,雙擊自測,5.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若asin A=bsin B+(c-b)sin C,則角A的值為(),答案,解析,-12-,知識梳理,雙擊自測,自測點評 1.三角形的邊和角共6個量,已知三個量(

3、其中至少有一邊)就可利用正弦定理和余弦定理解三角形. 2.在三角形中,已知兩邊a,b和角B判斷三角形解的個數(shù),可以根據(jù)大角對大邊原則判斷滿足條件的解的個數(shù). 3.判斷三角形形狀的兩種思路:一是化邊為角;二是化角為邊,并常用正弦定理(余弦定理)實施邊、角轉(zhuǎn)換.當a2+b2c2時判斷三角形的形狀,由cos C= 0,得C為鈍角,則三角形為鈍角三角形.,-13-,考點一,考點二,考點三,利用正弦、余弦定理解三角形(考點難度) 【例1】 (1)(2017浙江金華模擬改編)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a= ,b=3,A=60,則邊c=.,答案,解析,-14-,考點一,考點二,考點

4、三,(2)(2018浙江全國統(tǒng)一招生考試模擬)在ABC中,A,B,C角所,c=;|AD|=.,答案,解析,-15-,考點一,考點二,考點三,方法總結(jié)1.正弦定理的形式多樣,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化. 2.正弦定理、余弦定理本身是方程,解題中注意根據(jù)已知條件列出關于邊角的方程,通過方程求解未知元素. 3.已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.,-16-,考點一,考點二,考點三,對點訓練(1)若滿足c= ,acos C=csin A的三角形

5、ABC有兩個,則邊長BC的取值范圍是(),答案,解析,-17-,考點一,考點二,考點三,答案,解析,-18-,考點一,考點二,考點三,判斷三角形的形狀(考點難度) 【例2】 (1)ABC中三個內(nèi)角為A,B,C,若關于x的方程x2-xcos Acos B-cos2 =0有一根為1,則ABC一定是() A.直角三角形B.等腰三角形 C.銳角三角形D.鈍角三角形,答案,解析,-19-,考點一,考點二,考點三,(2)(2018浙江鎮(zhèn)海聯(lián)盟)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,A.當k=5時,ABC是直角三角形 B.當k=3時,ABC是銳角三角形 C.當k=2時,ABC是鈍角三角形 D.當k

6、=1時,ABC是鈍角三角形,答案,解析,-20-,考點一,考點二,考點三,方法總結(jié)依據(jù)已知條件中的邊角關系判斷三角形的形狀時,主要有如下兩種方法: (1)利用正弦定理、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關系,通過因式分解、配方等得出邊的相應關系,從而判斷三角形的形狀; (2)利用正弦定理、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關系,通過三角函數(shù)恒等變形,得出內(nèi)角的關系,從而判斷出三角形的形狀,此時要注意應用A+B+C=這個結(jié)論.,-21-,考點一,考點二,考點三,對點訓練(1)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若 cos A,則ABC為() A.鈍角三角形B.直角三角形 C.銳角

7、三角形D.等邊三角形,答案,解析,-22-,考點一,考點二,考點三,A.等邊三角形B.等腰三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形,答案,解析,-23-,考點一,考點二,考點三,與三角形面積有關的綜合問題(考點難度) 【例3】 (1)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,acos B=bcos A,4S=2a2-c2,其中S是ABC的面積,則C的大小為.,答案,解析,-24-,考點一,考點二,考點三,(2)(2018浙江金華十校4月模擬)在ABC中,角A,B,C所對的邊為a,b,c,已知sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B . 求證:c=2b; 若ABC的面積S=5b

8、2-a2,求tan A的值.,證明:由sin A=sin(B-C)+2sin 2B,有 sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B, 展開化簡得,cos Bsin C=2sin Bcos B,由知c=2b,代入上式得b2sin A=5b2-a2, 又由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A, 代入得b2sin A=4b2cos A,即tan A=4.,-25-,考點一,考點二,考點三,2.與面積有關的問題,一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化.,-26-,考點一,考點二,考點三,對點訓練(1)在ABC中,角A,B,C分別對應邊a,b,c,

9、S為ABC的面積.已知a=4,b=5,C=2A,則c=,S=.,答案,解析,-27-,考點一,考點二,考點三,(2)(2018浙江湖州模擬)在ABC中,角A,B,C所對的邊為a,b,c,c=2b.,若a=2,求ABC的面積的最大值.,-28-,考點一,考點二,考點三,-29-,思想方法解三角形問題中的轉(zhuǎn)化與化歸 解三角形的綜合問題中遇到求最值的問題,我們常常既可以邊化角轉(zhuǎn)化到三角恒等變換利用三角函數(shù)性質(zhì)求最值,也可以角化邊轉(zhuǎn)化為不等式利用基本不等式求最值方法得出范圍.,-30-,(1)求角C和邊c的大小; (2)求ABC面積的最大值.,-31-,(2)由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C,答題指導本例通過正弦、余弦定理角化邊,再利用基本不等式求最大值,本例也可以邊化角結(jié)合三角恒等變化轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值.,-32-,對點訓練在ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,且滿足b2+c2-a2=bc. (1)求角A的值; (2)若a= ,記ABC的周長為y,試求y的取值范圍.,-33-,高分策略1.在解三角形中,三角形內(nèi)角和定理起著重要作用,在解題中要注意根據(jù)這個定理確定角的范圍,確定三角函數(shù)值的符號,防止出現(xiàn)增解等擴大范圍的現(xiàn)象. 2.在判