1、緒論,“數(shù)學(xué)物理方法”研究物理問題中遇到的數(shù)學(xué)方程的求解方法。本課程在高等數(shù)學(xué)和普通物理學(xué)的基礎(chǔ)上論述數(shù)學(xué)物理中的常用方法，為后續(xù)的理論物理課和專業(yè)課做準(zhǔn)備。 課程的主要內(nèi)容有：復(fù)變函數(shù)論和數(shù)學(xué)物理方程兩大部分。,1,緒論,教材與參考書： 梁昆淼，數(shù)學(xué)物理方法（第四版），高等教育出版社，2010年 斯頌樂，徐世良等數(shù)學(xué)物理方法習(xí)題解答，天津科學(xué)技術(shù)出版社，1982年 姚端正、梁家寶，數(shù)學(xué)物理方法，武漢大學(xué)出版社，1997年 姚端正，數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)，科學(xué)出版社，2001年 胡嗣柱、倪光炯，數(shù)學(xué)物理方法，高等教育出版社，2002年 胡嗣柱、徐建軍，數(shù)學(xué)物理方法解題指導(dǎo)，高等教育出版社，199

2、7年,2,第一章 復(fù)變函數(shù),本章首先引入復(fù)數(shù)的概念及其運算、 平面點集的概念。然后討論復(fù)變函數(shù)的連 續(xù)性，重點研究解析函數(shù)。,3,1.1 復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運算,（一）復(fù)數(shù)的概念,1.復(fù)數(shù)：形如 z= x+ i y 的數(shù)被稱為復(fù)數(shù)，其中x , yR。x=Rez，y=Imz分別為 z 的實部和虛部，i為虛數(shù)單位，其意義為i2=-1,復(fù)數(shù)相等：z1=z2當(dāng)且僅當(dāng)Rez1= Rez2且Imz1= Imz1,復(fù)數(shù)共軛：復(fù)數(shù)z= x+ i y與z*= x- i y互為共軛（實部相等，虛部差一負(fù)號）,復(fù)數(shù)不能比較大小。,4,2.復(fù)數(shù)的三種表示：,復(fù)平面：由實軸(x軸) 、虛軸( y軸)按直角坐標(biāo)系構(gòu)成的平面( z

3、平面) ，復(fù)數(shù)z= x+ iy與復(fù)平面上點z(x,y)一一對應(yīng)。復(fù)數(shù)與(x,y)平面中的矢量可以類比。,輻角主值：,注意：在三角表示和指數(shù)表示下，兩個復(fù)數(shù)相等當(dāng) 且僅當(dāng)模相等且輻角相差2k。,零點與無窮遠(yuǎn)點：復(fù)平面上有些個點比較特殊,比如:零點和無窮遠(yuǎn)點. (1)復(fù)數(shù)零的輻角無意義,模為0。 (2)無窮遠(yuǎn)點的模為,輻角沒有意義.關(guān)于無窮遠(yuǎn)點的定義需要借助測地投影法。,6,復(fù)球面：復(fù)數(shù)平面上任意一點與復(fù)數(shù)球上(除N點外)的一點對應(yīng)；當(dāng)球面上的點離北極 N 越近,它所表示的復(fù)數(shù)的模越大，北極 N 點代表無窮遠(yuǎn)點。,無窮遠(yuǎn)點,3.復(fù)數(shù)的運算：,設(shè),8,距離不等式:,對給定的復(fù)數(shù)z, 方程wn =z

4、(n為整數(shù)) 的解w 稱為z 的n 次方根, 記做 或 共有n個不同的解。,例：,9,10,11,例:試將cos3j和sin3j展開為cosj 和sinj 的多項式,解：根據(jù) e ij=cosj+i sinj，有 ei nj =cos nj+isin nj 另一方面 ei nj=(cosj+isinj)n 故有： (cosj+isinj)n =cos nj+isin nj,令 n=3，可得 cos 3j+isin 3j =(cosj+isinj)3 =cos3j+3icos2j sinj-3cosj sin2j-isin3j,兩邊的實部虛部分別相等，有 cos 3j =cos3j-3cosj

5、sin2j sin 3j =3cos2j sinj-sin3j,狄莫夫公式,本節(jié)作業(yè)：第6頁 1（ 2，3，8 ）畫出圖即可； 2（3，7）； 3（2，3）。,12,（一）復(fù)變函數(shù)的定義,1.2 復(fù)變函數(shù),若在復(fù)數(shù)平面（或球面）上存在一個點集E（復(fù)數(shù)的集合），對于E的每一點（每一個z值），按照一定的規(guī)律，有一個或多個復(fù)數(shù)值w與之相對應(yīng)，則稱w為z的函數(shù)復(fù)變函數(shù)。z 稱為w的宗量（自變量），定義域為E，記作,一個復(fù)變函數(shù)只不過是兩個二元實變函數(shù)的有序組合。因此復(fù)變函數(shù)的許多性質(zhì)都是實變函數(shù)相應(yīng)性質(zhì)的直接推廣。,13,說明：如果z的一個值對應(yīng)著的唯一一個值，那么我們稱f(z)是單值的；如果z的一個

6、值對應(yīng)著多個的值，那么我們稱f(z)是多值函數(shù)。,說明：復(fù)變函數(shù)=f(z)可以看作是z平面到平面上的一個映射。,14,（二）區(qū)域的概念,鄰域 以z0為圓心，以任意小正數(shù)為半徑作一圓，則圓內(nèi)所有點的集合稱為z0的鄰域。,內(nèi)點 z0及其鄰域均屬于點集E，z0叫作E的內(nèi)點。,境界線 若z0及其鄰域內(nèi)既有屬于E的點，也有不屬于E的點， z0為境界點，境界點的全體稱為境界線。 沿境界線的正方向行走時，區(qū)域始終在左側(cè)。,外點 z0及其鄰域均不屬于點集E， z0叫作E的外點。,區(qū)域,鄰域,邊界點,邊界,15,區(qū)域：滿足下列兩個條件的點集,開集性：全部由內(nèi)點組成；,具有連通性：點集中任何兩點都可以用一條折線連

7、接，且折線上的點屬于該點集。,閉區(qū)域：區(qū)域連同它的邊界稱為閉區(qū)域。,單連通與復(fù)連通區(qū)域,單連通區(qū)域：區(qū)域內(nèi)任意閉曲線，其內(nèi)點都屬于該區(qū)域。,復(fù)連通區(qū)域：非單連通區(qū)域,即有洞區(qū)域。,單連通域,復(fù)連通域,16,幾個典型區(qū)域：,17,1,（三）復(fù)變函數(shù)例（p7）,多項式,有理分式,根式函數(shù),（三）復(fù)變函數(shù)例（p7）,對數(shù)函數(shù),例：,解：,例：,解：,（四）復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù),20,一個復(fù)變函數(shù)只不過是兩個二元實變函數(shù)的有序組合。因此復(fù)變函數(shù)的許多性質(zhì)都是實變函數(shù)相應(yīng)性質(zhì)的直接推廣。,連續(xù),類似于實函數(shù)，對于復(fù)變函數(shù)亦可證明下述結(jié)論 （1）在某點連續(xù)的兩函數(shù)的和、差、積、商（分母不能為0）在該點仍連

8、續(xù)。 （2）在某點連續(xù)的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)在該點仍連續(xù)。,本節(jié)作業(yè)：第8頁 2（3，6,，8）,21,（一）導(dǎo)數(shù)的定義及公式,1.3 導(dǎo)數(shù),設(shè)函數(shù)w = f (z)是在區(qū)域 B上定義的單值函數(shù)，若在B上的某點z，極限,存在，并且與z 0的方式無關(guān)，則稱函數(shù)在z點可導(dǎo)，此（有限的）極限叫做 f (z) 在 z 點的導(dǎo)數(shù)，以 或 表示。,顯然，函數(shù)f (z) 必須在點z 連續(xù)，才有可能在 z 點可導(dǎo).,22,討論：1) 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義，在形式上跟實變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一樣，因而實變函數(shù)論中的關(guān)于導(dǎo)數(shù)的規(guī)則和公式可用于復(fù)變函數(shù).(p9公式),23,討論:2) 復(fù)變函數(shù)和實變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義，雖然形式上相

9、同，實質(zhì)上卻有很大的區(qū)別，這是因為實變函數(shù)x 只沿實軸逼近零，而復(fù)變函數(shù)z卻可以沿復(fù)平面上的任一曲線逼近零，因此復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的要求比實變函數(shù)可導(dǎo)的要求要嚴(yán)格得多.,24,（二）柯西-黎曼條件,可導(dǎo)的必要條件,25,證明：,u、v在z處滿足C.R.條件,u、v在z處有連續(xù)的一階偏微商,因為u、v在z處有連續(xù)的一階偏微商， 所以u、v 的全微分存在,(三) f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在z 點可導(dǎo)的充要條件,其中各個 i 值隨z 0而趨于零，對于任意的 z= x+i y，有,26,此式z無論以什么方式趨于零，導(dǎo)數(shù)都存在，故， f (z) = u(x,y)+iv(x,y) 在z 點可導(dǎo)。

10、,（四）C.R.方程的極坐標(biāo)表示,27,例：試推導(dǎo)極坐標(biāo)下的C.R.方程,方法一：從極坐標(biāo)關(guān)系出發(fā)，分別考慮z 沿徑向和沿角向趨于零。,沿徑向趨于零，即,沿角向趨于零，即,f(z)=u(,)+iv(,)在z 點可導(dǎo)須兩極限相等,29,方法二：從直角坐標(biāo)關(guān)系出發(fā),根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法，有,本節(jié)作業(yè)： 1.第12頁 習(xí)題 2.復(fù)習(xí)靜電學(xué)中“電場強度與電勢梯度的關(guān)系”部分（上冊p280）。,31,1.4 解析函數(shù),(一) 解析函數(shù)的定義,若函數(shù) f(z)在點 z0 及其鄰域上處處可導(dǎo)，稱 f(z) 在 z0 點解析；若w=f(z)在區(qū)域 B上每一點都解析，稱 f(z)是區(qū)域 B上的解析函數(shù)。,函數(shù)在某

11、區(qū)域上可導(dǎo)與解析是等價的。 若函數(shù)在點a不解析,則稱點a是f(z)的奇點。,說明:下述情況之一的點z0 都是奇點: f(z)在點z0 無定義或無確定值； f(z)在點z0 不連續(xù)； f(z)在點z0 不可導(dǎo)； f(z)在點z0 可導(dǎo),但找不到某個鄰域在其內(nèi)處處可導(dǎo)。,例：證明函數(shù),是復(fù)平面上的解析函數(shù)，且,證明因,有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，故在全平面上可微，又 f(z) 在全平面滿足C-R 條件。故f (z) 在整個平面解析。并且,33,只有在實軸 上滿足Cauchy-Riemann方程,所以 在實軸上可導(dǎo). 但在任何一點的鄰域,內(nèi)都有不可導(dǎo)的點，因此， 處處不解析.,例 設(shè) 問,在何處可導(dǎo)? 是否解析?

12、,34,（二）解析函數(shù)的主要性質(zhì),標(biāo)量函數(shù)f (x,y,z) 的梯度 (gradient) ：,矢量微分算符,電勢函數(shù)的梯度：,場強等于電勢的負(fù)梯度，也是電勢函數(shù)的法向矢量！,35,性質(zhì)1：若 f(z)= u+iv 在區(qū)域B上解析，則 u(x,y)=常數(shù)與 v(x,y)=常數(shù)的曲線正交；,兩式相乘,即,證1：,因為f(z)= u+iv在區(qū)域B上解析，則其實部和虛部滿足C.R.條件,因為,即,36,因此，u(x,y)=常數(shù)與 v(x,y)=常數(shù)曲線正交！,因為u和v分別是u(x,y)=常數(shù)和v(x,y)=常數(shù)的法向矢量,即,性質(zhì)2、若f(z)在區(qū)域 B 解析，u(x,y)和v(x,y)為共軛調(diào)和

13、函數(shù),調(diào)和函數(shù)滿足二維拉普拉斯方程的函數(shù),共軛調(diào)和函數(shù)滿足二維拉普拉斯方程， 而且滿足C.R.條件的一對函數(shù)。,37,拉普拉斯（Laplace）方程,證2：,因為f(z)= u+iv在區(qū)域B上解析，則其實部和虛部滿足C.R.條件,下一章將證明，某個區(qū)域上的解析函數(shù)在該區(qū)域上必有任意階的導(dǎo)數(shù)，因此可對上式求偏導(dǎo)數(shù),38,同理可得,由于u 和 v是由C-R條件聯(lián)系著的同一個復(fù)變函數(shù)的實部與虛部，故調(diào)和函數(shù) u 與 v 稱為共軛調(diào)和函數(shù).,39,(三)求共軛調(diào)和函數(shù)的方法,若給定一個二元調(diào)和函數(shù)，可利用C.R.條件， 求另一共軛調(diào)和函數(shù)。方法如下：,例：已知解析函數(shù)實部 u(x,y)=x2-y2,求

14、 v(x,y),方法一、曲線積分法,40,最后結(jié)果為：,(積分與路徑無關(guān)),41,方法二、湊全微分顯式法,方法三、不定積分法,所以,將x視為v的參數(shù)有：,v對x求偏導(dǎo)有：,42,由 ，知 ，即,所以,解 改用極坐標(biāo),43,所以,所以,本節(jié)作業(yè)：第16頁 第2題 (1直),(4極),(6直)；第3題,44,1.5 平面標(biāo)量場,（一）平面場,物理上及工程技術(shù)上常常需要研究各種各樣的場，例如電磁場、聲場、溫度場等。若場與時間無關(guān)，則稱為恒定場；若所研究的場在空間某方向上是均勻的，從而只需要在垂直于該方向的平面上研究它，這樣的場便稱為平面場。 比如，若電荷沿三維空間的某方向分布是均勻的，我們?nèi)〈朔较驗?/p>

15、z軸方向，則電場和電勢都與坐標(biāo)z無關(guān)，這種場是平面靜電場。,45,（二）平面靜電場,靜電場的高斯定理,1.靜電場是有源無旋場，電力線不閉合，始于正電荷，終于負(fù)電荷。,靜電場的環(huán)路定理,微分形式,微分形式,存在勢函數(shù)u(x,y,z),所以,在沒有電荷的區(qū)域u是調(diào)和函數(shù)，可用解析函數(shù)的實部或虛部表示,46,2.靜電場的復(fù)勢,存在解析函數(shù), 稱為靜電場的復(fù)勢 設(shè)u為電勢, u=c1為等勢線族， v=c2為電場線族。,3.通量函數(shù)v(x,y)（p16）,電通量,ds 切線之方向余弦,47,于是,這樣，,即，v(x,y) 在A和B兩點取值之差就是A和B兩點之間穿過的電通量， v(x,y) 稱為通量函數(shù).

16、,48,例1 分析由,解：,描述的場.,49,例2. 已知平面靜電場的電場線為拋物線族 求等勢線。,（參數(shù) ）,若取,非調(diào)和函數(shù)！,50,解： 解出,由此可知，v 應(yīng)當(dāng)只依賴于,51,52,代入二維 拉氏方程,即,亦即,積分一次,再積分一次,于是有,53,引用前節(jié)結(jié)果(p15例2)，得,等勢線方程為,變換到直角坐標(biāo)，令,即,得,54,：金屬板 ：等勢線 ：電場線,x,y,本節(jié)作業(yè)： 第20頁 第3題,帶電金屬平板的靜電場,55,1.6 多值函數(shù) 定義：對于自變數(shù) z 的每一個值，有不止一個函數(shù)值 w與之相對應(yīng)， w 便稱為 z 的多值函數(shù)。 （一）根式函數(shù) 1. 多值性,n=2,3,4, 重復(fù)

17、前二值,兩個單值分支,56,2. 自變數(shù)變化時函數(shù)關(guān)系的變化,從 w1(z0) 出發(fā)， 繞紅線(含z=0!)， w1 w2 繞綠線(不含z=0!)， w1 w1,處理多值函數(shù)時，首先要解決的問題是自變數(shù)z與函數(shù)w 的對應(yīng)關(guān)系，特別是當(dāng) z 連續(xù)變化時這種對應(yīng)關(guān)系的可能變化。,57,3. 支點 對于多值函數(shù) w=f(z)，如繞某點 z0 一周，函數(shù)值 w 不復(fù)原，而在該點各單值分支函數(shù)值相同，則稱 z0 點為 f(z) 的支點。 z繞支點n圈，函數(shù)值復(fù)原，該支點稱為n-1階支點。z=0是 的一階支點。z = 亦是其一階支點。 因此, 為了完全確定多值函數(shù)w=f(z)的函數(shù)值w與自變數(shù) z之間的對應(yīng)關(guān)系，除了要在某一點 z 規(guī)定函數(shù)的對應(yīng)值，還必須說明 z 的變化路徑!,比較簡單的辦法是規(guī)定宗量 z 的輻角變化范圍，當(dāng)宗量 z的輻角限制在某個范圍時，的輻角也就唯一的確定了，因而w值也就唯一地確定。,58,4. 黎曼(Riemann)面,單值分支 單值分支,59,進而將兩葉面結(jié)合起來，構(gòu)成函數(shù) 的黎曼面。,60,現(xiàn)在讓我們來觀察一下當(dāng)z在這雙葉黎曼面上變化時，函數(shù)值 w 如何