1、類型一：利用柯西不等式求最值例1求函數(shù)的最大值解：且， 函數(shù)的定義域?yàn)?，且，即時(shí)函數(shù)取最大值，最大值為法二：且， 函數(shù)的定義域?yàn)橛?，得即，解得時(shí)函數(shù)取最大值，最大值為.當(dāng)函數(shù)解析式中含有根號(hào)時(shí)常利用柯西不等式求解【變式1】設(shè)且，求的最大值及最小值。利用柯西不等式得,故最大值為10，最小值為-10【變式2】已知，求的最值.法一：由柯西不等式于是的最大值為，最小值為.法二：由柯西不等式于是的最大值為，最小值為.【變式3】設(shè)2x+3y+5z=29，求函數(shù)的最大值根據(jù)柯西不等式 ，故。當(dāng)且僅當(dāng)2x+1=3y+4=5z+6，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，變式4：設(shè)= (1，0，- 2)，= (x，y，z)，若x2

2、 + y2 + z2 = 16，則的最大值為?！窘狻? (1，0，- 2)，= (x，y，z)= x - 2z由柯西不等式12 + 0 + (- 2)2(x2 + y2 + z2) (x + 0 - 2z)25 16 (x - 2z)2- 4 x 4- 4 4，故的最大值為4:變式5：設(shè)x，y，z R，若x2 + y2 + z2 = 4，則x - 2y + 2z之最小值為時(shí)，(x，y，z) = 解(x - 2y + 2z)2 (x2 + y2 + z2)12 + ( - 2) 2 + 22 = 49 = 36x - 2y + 2z最小值為 - 6，公式法求 (x，y，z) 此時(shí) ，變式6：設(shè)x

3、, y, zR，若，則之最小值為_，又此時(shí)_。解析：最小值變式7：設(shè)a，b，c均為正數(shù)且a + b + c = 9，則之最小值為解： ()(a + b + c)()9 (2 + 3 + 4)2 = 81 = 9變式8：設(shè)a, b, c均為正數(shù)，且，則之最小值為_解：: ，最小值為18變式9：設(shè)x，y，z R且，求x + y + z之最大、小值:【解】由柯西不等式知42+（)2 + 22 25 1 (x + y + z - 2)25 |x + y + z - 2| - 5 x + y + z - 2 5- 3 x + y + z 7故x + y + z之最大值為7，最小值為 - 3類型二：利用柯

4、西不等式證明不等式基本方法：（1）巧拆常數(shù) （例1） （2）重新安排某些項(xiàng)的次序（例2）（3）改變結(jié)構(gòu) （例3） （4）添項(xiàng)（例4）例1設(shè)、為正數(shù)且各不相等，求證：又、各不相等，故等號(hào)不能成立。例2、為非負(fù)數(shù)，+=1，求證：即例3若，求證：解：，所證結(jié)論改為證 例4，求證：左端變形，只需證此式即可?！咀兪?】設(shè)a,b,c為正數(shù)，求證：，即。同理，將上面三個(gè)同向不等式相加得，【變式2】設(shè)a,b,c為正數(shù)，求證：于是即【變式3】已知正數(shù)滿足 證明。解： 又因?yàn)樵诖瞬坏仁絻蛇呁艘?，再加上得：，故。類型三：柯西不等式在幾何上的應(yīng)用6ABC的三邊長為a、b、c，其外接圓半徑為R，求證： 證明：由三角

5、形中的正弦定理得，所以，同理，于是左邊=?！咀兪健緼BC之三邊長為4，5，6，P為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，P到三邊的距離分別為x，y，z，求的最小值。且4x+5y+6z=由柯西不等式(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)(x2+y2+z2)77x2+y2+z2?？挛鞑坏仁?等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立（k為常數(shù)，）利用柯西不等式可處理以下問題：1） 證明不等式例2:已知正數(shù)滿足 證明 證明： 又因?yàn)?在此不等式兩邊同乘以2，再加上得：故2） 解三角形的相關(guān)問題例3 設(shè)是內(nèi)的一點(diǎn)，是到三邊的距離，是外接圓的半徑，證明證明： 記為的面積，則3） 求最值例4已知實(shí)數(shù)滿足， 試求的最值解： 即由條件可得， 解得，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，代入時(shí)， 時(shí) 5）利用柯西不等式