1、第六章 離散系統(tǒng)的 z 域分析,在離散系統(tǒng)分析中，為了避開(kāi)求解差分方程的困難，借助z變換這一數(shù)學(xué)工具使其變?yōu)榇鷶?shù)方程的求解，其作用類似于連續(xù)系統(tǒng)中的拉氏變換。,抽樣信號(hào)的拉氏變換離散信號(hào)的z變換,對(duì) 取拉氏變換,抽樣信號(hào)的拉氏變換離散信號(hào)的z變換,6-1離散信號(hào)的z變換,一、 z變換定義,對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)序列f(k)，其Z變換為,z為一復(fù)數(shù)，因此F(z)是復(fù)數(shù)域的連續(xù)函數(shù)，稱為象函數(shù)， f(k)則稱為原序列。,單邊z變換,6-1離散信號(hào)的z變換,一、 z變換定義,單邊z變換,6-1離散信號(hào)的z變換,一、 z變換定義,雙邊z變換可看作是左右序列的z變換的疊加,實(shí)際中單邊z變換用的較多，無(wú)特別說(shuō)明一般為

2、單邊z變換,冪級(jí)數(shù),6-1離散信號(hào)的z變換,一、 z變換定義,二、 z變換的收斂域,z變換不管是單邊還是雙邊都是無(wú)窮級(jí)數(shù)，只有級(jí)數(shù)收斂時(shí)， z變換才有意義，才能存在。,6-1離散信號(hào)的z變換,收斂的所有z 值之集合為收斂域。,對(duì)于任意給定的序列f(k) ，能使,例:求序列,z變換的收斂域,解：,上式中只有當(dāng),收斂,二、 z變換的收斂域,6-1離散信號(hào)的z變換,1）因果（右邊）序列的z變換的收斂域,二、 z變換的收斂域,6-1離散信號(hào)的z變換,2）左邊序列的z變換的收斂域,例:求序列,z變換的收斂域,解：,二、 z變換的收斂域,6-1離散信號(hào)的z變換,二、 z變換的收斂域,6-1離散信號(hào)的z變換

3、,例:求序列,z變換的收斂域,解：,3）雙邊序列的z變換的收斂域,二、 z變換的收斂域,6-1離散信號(hào)的z變換,由以上可知,二、 z變換的收斂域,6-1離散信號(hào)的z變換,（1） 兩個(gè)不同的序列可能對(duì)應(yīng)于同一個(gè)z變換，因此為了單值的確定z變換所對(duì)應(yīng)的序列，在給出序列的z變換式的同時(shí)，必須明確其收斂域。,（2）因果（右邊）序列的收斂域一般位于z平面半徑為的圓外區(qū)域，不包括圓周。 為F(z)的最大極點(diǎn)值。,二、 z變換的收斂域,6-1離散信號(hào)的z變換,（3）左邊序列的z變換域一般位于半徑為的圓內(nèi)，不包括圓周。 為F(z)的最小極點(diǎn)值。,（5）有限長(zhǎng)序列的z變換是一個(gè)有限項(xiàng)級(jí)數(shù)，至多在z=0和z=處不

4、收斂，即其收斂域至少是0z ,（4）雙邊序列的z變換域一般位于Z平面的圓環(huán)域內(nèi)。,二、 z變換的收斂域,6-1離散信號(hào)的z變換,例,收斂域,二、 z變換的收斂域,6-1離散信號(hào)的z變換,三、常用典型序列的 z變換,（1）單位序列 (k),（2）單位階躍序列 (k),6-1離散信號(hào)的z變換,（3）斜邊序列k (k),已知,三、常用典型序列的 z變換,6-1離散信號(hào)的z變換,k是離散變量，所以對(duì)k沒(méi)有微積分運(yùn)算； z是連續(xù)變量，所以對(duì)z有微積分運(yùn)算。,三、常用典型序列的 z變換,6-1離散信號(hào)的z變換,（4）單邊指數(shù)序列,三、常用典型序列的 z變換,6-1離散信號(hào)的z變換,（5）單邊正弦和余弦序列

5、,同理,三、常用典型序列的 z變換,6-1離散信號(hào)的z變換,6-2 Z變換的基本性質(zhì),Z變換可由其定義推出許多性質(zhì)，其中不少可與拉氏變換對(duì)應(yīng)，據(jù)此可求解復(fù)雜序列的z 變換。,一、線性*,（若有零極點(diǎn)抵消則收斂域可能擴(kuò)大）P240例6-2,6-2 Z變換的基本性質(zhì),二、移位性*,1）對(duì)于雙邊z 變換,6-2 Z變換的基本性質(zhì),證明：,據(jù)定義,稱為位移因子。,只影響z=0和z=處收斂情況,二、移位性*,6-2 Z變換的基本性質(zhì),若f(k)為雙邊序列，其單邊z變換為,二、移位性*,6-2 Z變換的基本性質(zhì),2）對(duì)于單邊z 變換,右移后的單邊z 變換,二、移位性*,6-2 Z變換的基本性質(zhì),根據(jù)單邊z

6、變換的定義，可得,證明右移位性質(zhì),6-2 Z變換的基本性質(zhì),6-2 Z變換的基本性質(zhì),f(k)為雙邊序列，左移后的單邊z 變換,因果序列左移后的z 變換與雙邊序列相同。,6-2 Z變換的基本性質(zhì),f(k)為雙邊序列，左移后的單邊z 變換,二、移位性*,6-2 Z變換的基本性質(zhì),例題（書(shū)P242）：求序列(k-m),(k-m)的Z變換,6-2 Z變換的基本性質(zhì),解：,三、周期性,若f1(k)為有限長(zhǎng)序列，其單邊周期延拓后序列f(k),則：,6-2 Z變換的基本性質(zhì),證明：,6-2 Z變換的基本性質(zhì),四、 z域的尺度變換,若：,則：,6-2 Z變換的基本性質(zhì),證明：,據(jù)定義,時(shí)域序列乘以指數(shù)加權(quán)的

7、z變換為原序列象函數(shù)z域壓縮a倍。,6-2 Z變換的基本性質(zhì),五、 z域微分性*,若：,則：,6-2 Z變換的基本性質(zhì),證明：,據(jù)定義,時(shí)域序列線性加權(quán)的z變換為原序列象函數(shù)微分后乘以（z）,6-2 Z變換的基本性質(zhì),推廣：,（m為正整數(shù)）,6-2 Z變換的基本性質(zhì),例題（書(shū)P243）：求斜變序列k(k)的Z變換,解：,6-2 Z變換的基本性質(zhì),六、 z域積分性( 了解),若：,則：,（k 0）,若令m=0,（k，m為整數(shù)k+m 0）,6-2 Z變換的基本性質(zhì),證明：,據(jù)定義,6-2 Z變換的基本性質(zhì),6-2 Z變換的基本性質(zhì),七、 時(shí)域折疊性,若：,則：,6-2 Z變換的基本性質(zhì),八、初值定理,若f(k)是因果序列，則有,因?yàn)?所以,6-2 Z變換的基本性質(zhì),九、終值定理,若f(k)是因果序列，則有,序列的終值可用象函數(shù)F(z)和 z1的乘積在z=1處的值來(lái)表示，要求z=1在F(z)的收斂域內(nèi)，也就是要求F(z)的極點(diǎn)