1、2020/10/9,重積分,*第五節(jié),一、被積函數(shù)含參變量的積分,二、積分限含參變量的積分,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,含參變量的積分,第九章,2020/10/9,重積分,一、被積函數(shù)含參變量的積分,上的連續(xù)函數(shù),則積分,確定了一個(gè)定義在a, b上的函數(shù),記作,x 稱為參變量, 上式稱為含參變量的積分.,含參積分的性質(zhì),定理1.(連續(xù)性),上連續(xù),則由 確定的含參積分在a, b上連續(xù)., 連續(xù)性, 可積性, 可微性 :,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/10/9,重積分,證:,在閉區(qū)域R上連續(xù), 所以一致連續(xù),即,只要,就有,就有,這說明,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

2、,2020/10/9,重積分,定理1 表明,定義在閉矩形域上的連續(xù)函數(shù),其極限運(yùn),算與積分運(yùn)算的順序是可交換的.,同理可證,續(xù),則含參變量的積分,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,由連續(xù)性定理易得下述可積性定理:,2020/10/9,重積分,定理2. (可積性),上連續(xù),同樣,推論:,在定理2 的條件下, 累次積分可交換求積順序,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/10/9,重積分,定理3. (可微性),都在,證: 令,函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/10/9,重積分,因上式左邊的變上限積分可導(dǎo),因此右邊,且有,此定理說明, 被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在閉矩形域上連

3、續(xù),時(shí),求導(dǎo)與求積運(yùn)算是可以交換順序的 .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/10/9,重積分,例1.,解:,由被積函數(shù)的特點(diǎn)想到積分:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/10/9,重積分,例2.,解:,考慮含參變量 t 的積分所確定的函數(shù),顯然,由于,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/10/9,重積分,故,因此得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/10/9,重積分,二、積分限含參變量的積分,在實(shí)際問題中, 常遇到積分限含參變量的情形,例如,為定義在區(qū)域,上的連續(xù)函數(shù),則,也是參變量 x 的函數(shù) ,其定義域?yàn)?a , b .,利用前面的定理可推出

4、這種含參積分的性質(zhì).,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/10/9,重積分,定理4.(連續(xù)性),上連續(xù),則函數(shù),證: 令,則,由于被積函數(shù)在矩形域,上連續(xù),由定理1知,上述積分確定的函數(shù),2020/10/9,重積分,定理5. (可微性),都在,中的可微函數(shù),則,證:,令,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/10/9,重積分,利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及變限積分求導(dǎo), 得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/10/9,重積分,例3.,解:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/10/9,重積分,例4.,分小時(shí), 函數(shù),的 n 階導(dǎo)數(shù)存在, 且,證: 令,在原點(diǎn)的某個(gè)閉矩形鄰域內(nèi)連續(xù),由定理5 可得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2020/10/9,重積分,即,同理,于是,作業(yè) (*習(xí)題9-5) P