1、,線性空間的定義,那么， 就稱為（實(shí)數(shù)域 上的）向量空間（ 或線性空間）， 中的元素不論其本來(lái)的性質(zhì)如 何，統(tǒng)稱為（實(shí)）向量,簡(jiǎn)言之，凡滿足八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算， 就稱為線性運(yùn)算；凡定義了線性運(yùn)算的集合，就 稱為向量空間,線性空間的性質(zhì),子空間,定義設(shè) 是一個(gè)線性空間， 是 的一個(gè)非空子 集，如果 對(duì)于 中所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算 也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱 為 的子空間,定理線性空間 的非空子集 構(gòu)成子空間的充分 必要條件是： 對(duì)于 中的線性運(yùn)算封閉,定義,線性空間的維數(shù)、基與坐標(biāo),定義,一般地，設(shè) 與 是兩個(gè)線性空間，如果在 它們的元素之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān) 系保持線性組合的

2、對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)線性空間 與 同構(gòu),線性空間的結(jié)構(gòu)完全被它的維數(shù)所決定 任何 維線性空間都與 同構(gòu)，即維數(shù)相等 的線性空間都同構(gòu),基變換,坐標(biāo)變換,線性變換的定義,變換的概念是函數(shù)概念的推廣,線性變換的性質(zhì),線性變換的矩陣表示,10線性變換在給定基下的矩陣,同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的， 反之，相似矩陣也可以看成是同一線性變換在不 同基下的矩陣,11線性變換在不同基下的矩陣,典型例題,一、線性空間的判定,二、子空間的判定,三、求向量在給定基下的坐標(biāo),四、由基和過(guò)渡矩陣求另一組基,五、過(guò)渡矩陣的求法,六、線性變換的判定,七、有關(guān)線性變換的證明,八、線性變換在給定基下的矩陣,九、線性變換在不

3、同基下的矩陣,線性空間中兩種運(yùn)算的條運(yùn)算規(guī)律缺一不 可，要證明一個(gè)集合是線性空間必須逐條驗(yàn)證 若要證明某個(gè)集合對(duì)于所定義的兩種運(yùn)算不 構(gòu)成線性空間，只需說(shuō)明在兩個(gè)封閉性和條運(yùn) 算規(guī)律中有一條不滿足即可,一、線性空間的判定,解,解,二、子空間的判定,證一,三、求向量在給定基下的坐標(biāo),證二,四、由基和過(guò)渡矩陣求另一組基,解,五、過(guò)渡矩陣的求法,解一由過(guò)渡矩陣的定義有,整理得,從上面的解法可以看到，由定義出發(fā)，利用 解方程組，求出線性表達(dá)式中的系數(shù)，得到過(guò)渡 矩陣，這種方法計(jì)算量太大，因此，當(dāng)線性表達(dá) 式不容易得到時(shí)，可采用下面的解法,解二引入一組新的基,解,六、線性變換的判定,七、有關(guān)線性變換的證明,解,解,八、線性變換在給定基下的矩陣,九、線性變換在不同基下的矩陣,解,第六章測(cè)試題,一、 填空題(每小題4分，共24分),則向量 在這組基下的坐標(biāo)為,二、 解答題(每小題8分，共16分),五、下列變換是否線性變換？為什么？(每小題5 分，共10分),求 的值域與核的維數(shù)和基,求 的特征值與特征向