1、2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題(18小題，每小題4分，共32分下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上)(1) 已知當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無(wú)窮小，則( )(A) (B) (C) (D) (2) 已知在處可導(dǎo)，且，則=( )(A) (B) (C) (D) 0(3) 函數(shù)的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(4) 微分方程的特解形式為( ) (A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)函數(shù)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足且，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的一個(gè)充分條件是( ) (A) (B) (C) (D) (6) 設(shè)，

2、則的大小關(guān)系是( ) (A) (B) (C) (D) (7) 設(shè)為3階矩陣，將的第2列加到第1列得矩陣，再交換的第2行與第3行得單位矩陣，記，則( ) (A) (B) (C) (D) (8) 設(shè)是4階矩陣，為的伴隨矩陣，若是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系可為( ) (A) (B) (C) (D) 二、填空題(914小題，每小題4分，共24分請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上)(9) (10) 微分方程滿足條件的解為(11) 曲線的弧長(zhǎng)(12) 設(shè)函數(shù)則(13) 設(shè)平面區(qū)域由直線圓及軸圍成，則二重積分(14) 二次型，則的正慣性指數(shù)為 三、解答題(1523小題，共94分請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上

3、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15) (本題滿分10分)已知函數(shù)，設(shè)試求的取值范圍 (16) (本題滿分11分)設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，求的極值和曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)(17) (本題滿分9分)設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)且在處取得極值，求 (18) (本題滿分10分)設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線與直線相切于原點(diǎn)，記為曲線在點(diǎn)處切線的傾角，若求的表達(dá)式(19) (本題滿分10分)(I)證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有 成立(II)設(shè)，證明數(shù)列收斂 (20) (本題滿分11分)一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線由與連接而成的(I) 求容器的容積；(II) 若

4、將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功？(長(zhǎng)度單位：，重力加速度為，水的密度為)圖(21) (本題滿分11分)已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，其中，計(jì)算二重積分(22) (本題滿分11分)設(shè)向量組，不能由向量組，線性表示 (I) 求的值；(II) 將由線性表示(23) (本題滿分11分)為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，的秩為2，即，且(I) 求的特征值與特征向量；(II) 求矩陣2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題答案一、選擇題(18小題，每小題4分，共32分下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上)(1)【答案】(C)【解析】因?yàn)?/p>

5、 所以，故答案選(C) (2)【答案】(B)【解析】 故答案選(B)(3)【答案】(C)【解析】 令，得，故有兩個(gè)不同的駐點(diǎn)(4)【答案】(C)【解析】微分方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，解得特征根所以非齊次方程有特解,非齊次方程有特解，故由微分方程解的結(jié)構(gòu)可知非齊次方程可設(shè)特解(5)【答案】(A)【解析】由題意有， 所以，即點(diǎn)是可能的極值點(diǎn)又因?yàn)椋?，根?jù)題意由為極小值點(diǎn)，可得且，所以有由題意，所以，故選(A)(6)【答案】(B)【解析】因?yàn)闀r(shí)， ，又因是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以故正確答案為(B)(7)【答案】 (D)【解析】由于將的第2列加到第1列得矩陣，故，即，由于交換的第2行和第3行得單

6、位矩陣，故，即故因此，故選(D) (8)【答案】(D)【解析】由于是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以，且，即，且由此可得，即，這說明是的解由于，所以線性無(wú)關(guān)又由于，所以，因此的基礎(chǔ)解系中含有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量而線性無(wú)關(guān)，且為的解，所以可作為的基礎(chǔ)解系，故選(D)二、填空題(914小題，每小題4分，共24分請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上)(9)【答案】【解析】原式=(10)【答案】【解析】由通解公式得 由于故=0所以(11)【解析】選取為參數(shù)，則弧微元所以(12)【答案】【解析】原式 (13)【答案】【解析】原式 (14)【答案】2【解析】方法1：的正慣性指數(shù)為所對(duì)應(yīng)矩陣的特征值中正的個(gè)數(shù)二次型對(duì)應(yīng)矩陣

7、為 ，故因此的正慣性指數(shù)為2方法2：的正慣性指數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形中正的平方項(xiàng)個(gè)數(shù) ，令則，故的正慣性指數(shù)為2三、解答題(1523小題，共94分請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15) (本題滿分10分)【解析】如果時(shí)，顯然與已知矛盾，故當(dāng)時(shí)，又因?yàn)樗约从忠驗(yàn)樗?，即，綜合得 (16) (本題滿分11分)【解析】因?yàn)?，令得，?dāng)時(shí)，此時(shí)，所以為極小值當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以為極大值令得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)所以曲線的凸區(qū)間為，凹區(qū)間為，拐點(diǎn)為(17) (本題滿分9分)【解析】因?yàn)樵诳蓪?dǎo)，且為極值,所以，則 (18) (本題滿分10分)【解析】由題意可知當(dāng)時(shí)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義

8、得,即，由題意，即 令，則，即，即當(dāng)，代入得，所以 ，則又因?yàn)?，所?19) (本題滿分10分)【解析】()設(shè)顯然在上滿足拉格朗日的條件，所以時(shí)，即：，亦即：結(jié)論得證（II）設(shè)先證數(shù)列單調(diào)遞減，利用（I）的結(jié)論可以得到，所以得到，即數(shù)列單調(diào)遞減再證數(shù)列有下界，得到數(shù)列有下界利用單調(diào)遞減數(shù)列且有下界得到收斂 (20) (本題滿分11分)【解析】(I)容器的容積即旋轉(zhuǎn)體體積分為兩部分+=(II) 所做的功為(21) (本題滿分11分)【解析】因?yàn)椋?22) (本題滿分11分)【解析】(I)由于不能由線性表示，對(duì)進(jìn)行初等行變換：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不能由線性表示，故不能由線性表示(II)對(duì)進(jìn)行初等行變換：，故，(23) (本題滿分11分)【解析】(I)由于，