1、布萊克-舒爾斯期權定價模型,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,第一節(jié)證券價格的變化過程,一、弱式效率市場假說與馬爾可夫過程 1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；證券價格對新的市場信息的反應是迅速而準確的，證券價格能完全反應全部信息；市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應的價格變動是相互獨立的。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Fi

2、nance, Xiamen University,效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。 弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程（Markov Stochastic Process）來表述。 隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程?？煞譃殡x散型的和連續(xù)型的。馬爾可夫過程是一種特殊類型的隨機過程。 如果證券價格遵循馬爾可夫過程，則其未來價格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價格。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,二、布朗運動,（一）標準布朗運動 設 代表一個小的時間間隔

3、長度， 代表變量z在時間 內的變化，遵循標準布朗運動的 具有兩種特征： 特征1： 和 的關系滿足（6.1）： （6.1） 其中， 代表從標準正態(tài)分布（即均值為0、標準差為1.0的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,標準布朗運動(2),特征2：對于任何兩個不同時間間隔， 和 的值相互獨立。 考察變量z在一段較長時間T中的變化情形，我們可得： （6.2） 當0時，我們就可以得到極限的標準布朗運動： （6.3）,CopyrightZhenlong Zheng 200

4、3, Department of Finance, Xiamen University,（二）普通布朗運動,我們先引入兩個概念：漂移率和方差率。 標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。 我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x 的普通布朗運動： （6.4） 其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標準布朗運動。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,三、伊藤過程,普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們可以從公式（6.4）

5、得到伊藤過程（Ito Process）： (6.5） 其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,四、證券價格的變化過程,證券價格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為 的伊藤過程來表示： 兩邊同除以S得： （6.6）,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,從（6.6）可知，在短時間后，證券價格比率的變化值

6、為： 可見， 也具有正態(tài)分布特征 (6.7),CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,例6.1,設一種不付紅利股票遵循幾何布朗運動，其波動率為每年18%，預期收益率以連續(xù)復利計為每年20%，其目前的市價為100元，求一周后該股票價格變化值的概率分布。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,五、伊藤引理,若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： （6.8） 由于 （6.9）

7、根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應遵循如下過程： (6.10),CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,六、證券價格自然對數(shù)變化過程,令 ，由于 代入式（6.10）: （6.11） 證券價格對數(shù)G遵循普通布朗運動,且：,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,例6.2 設A股票價格的當前值為50元,預期收益率為每年18%,波動率為每年20%,該股票價格遵循幾何布朗運動,且該股票在6個月內不付紅利

8、，請問該股票6個月后的價格ST的概率分布。 例6.3 請問在例6.2中，A股票在6個月后股票價格的期望值和標準差等多少？,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,第二節(jié) 布萊克舒爾斯期權定價模型,一、布萊克舒爾斯微分方程 （一）布萊克舒爾斯微分方程的推導 我們假設證券價格S遵循幾何布朗運動： 則： （6.12）,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,假設f是依賴于S的衍生證券的價格，則： （

9、6.13） （6.14） 為了消除 ，我們可以構建一個包括一單位衍生證券空頭和 單位標的證券多頭的組合。令 代表該投資組合的價值，則： (6.15),CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,在 時間后： （6.16） 將式（6.12）和（6.14）代入式（6.16），可得： （6.17） 在沒有套利機會的條件下： 把式（6.15）和（6.17）代入上式得：,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen Universit

10、y,布萊克舒爾斯微分分程,化簡為： (6.18) 這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標的證券價格S的所有衍生證券的定價。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,（二）風險中性定價原理,假設所有投資者都是風險中性的，那么所有現(xiàn)金流量都可以通過無風險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。 盡管風險中性假定僅僅是為了求解布萊克舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。,CopyrightZhenlong Zheng

11、 2003, Department of Finance, Xiamen University,例子,假設一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權的價值。 該看漲期權的價值應為0.31元,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,二、布萊克舒爾斯期權定價公式,在風險中性的條件下，歐式看漲期權到期時（T時刻）的期望值為： 其現(xiàn)值為 （6.19） 對數(shù)股票價格的分布為： （6.20

12、） 對式（6.19）求解： （6.21）,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,其中， 我們可以從三個角度來理解這個公式的金融含義： 首先，N(d2)是在風險中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權被執(zhí)行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的風險中性期望值的現(xiàn)值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風險中性期望值的現(xiàn)值。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen Universi

13、ty,其次， 是復制交易策略中股票的數(shù)量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)則是復制交易策略中負債的價值。 最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權可以分拆成資產或無價值看漲期權（Asset-or-noting call option）多頭和現(xiàn)金或無價值看漲期權（cash-or-nothing option）空頭，SN(d1)是資產或無價值看漲期權的價值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份現(xiàn)金或無價值看漲期權空頭的價值。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,在標

14、的資產無收益情況下，由于C=c，因此式（6.23）也給出了無收益資產美式看漲期權的價值。 根據(jù)歐式看漲期權和看跌期權之間存在平價關系，可以得到無收益資產歐式看跌期權的定價公式 ： （6.22） 由于美式看跌期權與看漲期權之間不存在嚴密的平價關系，所以要用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數(shù)值方法以及解析近似方法求出。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,三、有收益資產的期權定價公式,（一）有收益資產歐式期權的定價公式 當標的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（SI）代替式（6.21）和（

15、6.22）中的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權的價格。 當標的證券的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將 代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付連續(xù)復利收益率證券的歐式看漲和看跌期權的價格。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,對于歐式期貨期權，其定價公式為： （6.23） （6.24） 其中：,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,例6.4,

16、假設當前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國的無風險連續(xù)復利年利率為7%，英國的無風險連續(xù)復利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運動，其波動率為10%，求6個月期協(xié)議價格為$1.5000的英鎊歐式看漲期權價格。 3.05美分 。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,（二）有收益資產美式期權的定價,1美式看漲期權 當標的資產有收益時，美式看漲期權就有提前執(zhí)行的可能，我們可用一種近似處理的方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權是否合理。若不合理，則按歐式期權處理；若在tn提前執(zhí)行有可能是合

17、理的，則要分別計算在T時刻和tn時刻到期的歐式看漲期權的價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權的價格。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,例6.5,假設一種1年期的美式股票看漲期權，標的股票在5個月和11個月后各有一個除權日，每個除權日的紅利期望值為1.0元，標的股票當前的市價為50元，期權協(xié)議價格為50元，標的股票波動率為每年30%，無風險連續(xù)復利年利率為10%，求該期權的價值。 近似為7.2824元,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department

18、of Finance, Xiamen University,2美式看跌期權,由于收益雖然使美式看跌期權提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權的價值仍不同于歐式看跌期權，它也只能通過較復雜的數(shù)值方法來求出。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,第三節(jié) 布萊克舒爾斯期權定價公式的實證研究和應用,一、布萊克舒爾斯期權定價公式實證研究 布萊克舒爾斯期權定價公式傾向于高估方差高的期權，低估方差低的期權；高估實值期權的價格，低估虛值期權的價格。,CopyrightZhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University,造成用布萊克舒爾斯期權定價