1、,函數(shù)概念的產(chǎn)生及其背景,函數(shù)產(chǎn)生的社會背景:,歷史表明，重要數(shù)學概念對數(shù)學發(fā)展的作用是不可估量的，函數(shù)概念對數(shù)學發(fā)展的影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展，看一看函數(shù)概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對函數(shù)概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領悟數(shù)學概念對數(shù)學發(fā)展，數(shù)學學習的巨大作用。,(一)馬克思曾經(jīng)認為，函數(shù)概念來源于代數(shù)學中不定方程的研究。由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研究，所以函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽。 自哥白尼的天文學革命以后，運動就成了文藝復興時期科學家共同感興趣的問題，人們在思索：既然地

2、球不是宇宙中心，它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運行的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達到的高度，以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題，既是科學家的力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題，函數(shù)概念就是從運動的研究中引申出的一個數(shù)學概念，這是函數(shù)概念的力學來源。,(二)早在函數(shù)概念尚未明確提出以前，數(shù)學家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù)，比如對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等等。1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直

3、到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學家還沒有明確函數(shù)的一般意義。,1673年，萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。由此可以看出，函數(shù)一詞最初的數(shù)學含義是相當廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用另一名詞“流量”來表示變量間的關系，直到1689年，瑞士數(shù)學家約翰貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎上，對函數(shù)概念進行了明確定義，貝努里把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為。,當時，由于連接變數(shù)與常數(shù)的運算主要是算術(shù)運算、三角運算、指數(shù)運算和對數(shù)運算，所以后來歐拉就索性把用這些運算連

4、接變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子，取名為解析函數(shù)，還將它分成了“代數(shù)函數(shù)”與“超越函數(shù)”。 18世紀中葉，由于研究弦振動問題，達朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數(shù)”的說法在解釋“任意的函數(shù)”概念的時候，達朗貝爾說是指“任意的解析式”，而歐拉則認為是“任意畫出的一條曲線”。現(xiàn)在看來這都是函數(shù)的表達方式，是函數(shù)概念的外延。,(三)函數(shù)概念缺乏科學的定義，引起了理論與實踐的尖銳矛盾。例如，偏微分方程在工程技術(shù)中有廣泛應用，但由于沒有函數(shù)的科學定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立。1833年至1834年，高斯開始把注意力轉(zhuǎn)向物理學，他在和W威伯爾合作發(fā)明電報的過程中，做了許多關于磁的實驗工作，提出了“力

5、與距離的平方成反比例”這個重要的理論，使得函數(shù)作為數(shù)學的一個獨立分支而出現(xiàn)了，實際的需要促使人們對函數(shù)的定義進一步研究。,后來，人們又給出了這樣的定義：如果一個量依賴著另一個量，當后一量變化時前一量也隨著變化，那么第一個量稱為第二個量的函數(shù)。“這個定義雖然還沒有道出函數(shù)的本質(zhì)，但卻把變化、運動注入到函數(shù)定義中去，是可喜的進步?！?在函數(shù)概念發(fā)展史上，法國數(shù)學家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)，主張函數(shù)不必局限于解析表達式。1822年，他在名著熱的解析理論中說，“通常，函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的，我們不假定這些縱坐標服從一個共同的規(guī)律；他們以任何方式

6、一個挨一個?！?在該書中,他用一個三角級數(shù)和的形式表達了一個由不連續(xù)的“線”所給出的函數(shù).更確切地說就是,任意一個以2為周期函數(shù).在-，區(qū)間內(nèi)，可以由 表示出，其中 , 。 富里埃的研究，從根本上動搖了舊的關于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想，在當時的數(shù)學界引起了很大的震動。原來，在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級數(shù)把解析式和曲線溝通了，那種視函數(shù)為解析式的觀點終于成為揭示函數(shù)關系的巨大障礙。,通過一場爭論，產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義。 1834年，俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x一起變化。函數(shù)值可以由解析式給出，也可

7、以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法。函數(shù)的這種依賴關系可以存在，但仍然是未知的?！边@個定義建立了變量與函數(shù)之間的對應關系，是對函數(shù)概念的一個重大發(fā)展，因為“對應”是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分。,1837年，德國數(shù)學家狄里克萊（Dirichlet）認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，所以他的定義是：“如果對于x的每一值，y總有完全確定的值與之對應，則y是x的函數(shù)?！?根據(jù)這個定義，即使像如下表述的，它仍然被說成是函數(shù)（狄里克萊函數(shù)）：,在這個函數(shù)中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1，在無論怎樣小的區(qū)間里，f（x）無限止地忽0忽1。因此，它難用一個或幾個

8、式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是一個問題。但是不管其能否用表達式表示，在狄里克萊的定義下，這個f（x）仍是一個函數(shù)。 狄里克萊的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關于依賴關系的描述，以完全清晰的方式為所有數(shù)學家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。,（四）生產(chǎn)實踐和科學實驗的進一步發(fā)展，又引起函數(shù)概念新的尖銳矛盾，本世紀20年代，人類開始研究微觀物理現(xiàn)象。1930年量子力學問世了，在量子力學中需要用到一種新的函數(shù)函數(shù)， 即 。, - 函數(shù)的出現(xiàn)，引起了人們的激烈爭論。按照函數(shù)原來的定義，只允許數(shù)與數(shù)之間建立對應關系，

9、而沒有把“”作為數(shù)。另外，對于自變量只有一個點不為零的函數(shù)，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的。然而， - 函數(shù)確實是實際模型的抽象，例如，當汽車、火車通過橋梁時，自然對橋梁產(chǎn)生壓力，從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個，設車輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時在接觸點x = 0處的壓強是P（0）= 壓力接觸面 =10 = ；其余點x 0處，因無壓力，故無壓強，即P（x）= 0。另外，我們知道壓強函數(shù)的積分等于壓力。,函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發(fā)展，產(chǎn)生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義：若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y = f（x

10、），元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。 函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從形式上看雖然只相差幾個字，但卻是概念上的重大發(fā)展，是數(shù)學發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折，近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標志，它研究的是一般集合上的函數(shù)關系。,函數(shù)概念的定義經(jīng)過二百多年來的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義，應該說已經(jīng)相當完善了。不過數(shù)學的發(fā)展是無止境的，函數(shù)現(xiàn)代定義的形式并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，近二十年來，數(shù)學家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念“關系”。 設集合X、Y，我們定義X 與Y 的積集X Y 為X Y =（x ，y ）x X ，y Y 積集X Y 中的一子集稱為 R 與 Y 的一個關系，若（x ，y

11、）R，則稱 x 與 y 有關系 R ，記為x R y。若（x，y）R，則稱 x 與 y 無關系。,現(xiàn)設 f 是 X 與 Y 的關系，即f X Y，如果（x，y），（x，z）f，必有y = z，那么稱 f 為 X 到 Y 的函數(shù)。在此定義中，已在形式上回避了“對應”的術(shù)語，全部使用集合論的語言了。 從以上函數(shù)概念發(fā)展的全過程中，我們體會到，聯(lián)系實際、聯(lián)系大量數(shù)學素材，研究、發(fā)掘、拓廣數(shù)學概念的內(nèi)涵是何等重要。,早期函數(shù)概念幾何觀念下的函數(shù),十七世紀伽俐略(GGalileo，意，15641642)在兩門新科學一書中，幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關系的這一概念，用文字和比例的語言表達函數(shù)的關系。167

12、3年前后笛卡爾(Descartes，法，15961650)在他的解析幾何中，已注意到一個變量對另一個變量的依賴關系，但因當時尚未意識到要提煉函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數(shù)的一般意義，大部分函數(shù)是被當作曲線來研究的。 1673年，萊布尼茲首次使用“function” （函數(shù)）表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 “流量”來表示變量間的關系。,十八世紀函數(shù)概念代數(shù)觀念下的函數(shù),1718年約翰貝努利(Johann Bernoulli ，瑞，16671748)在萊布尼茲函數(shù)概念

13、的基礎上對函數(shù)概念進行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量?！彼囊馑际欠沧兞縳和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)，并強調(diào)函數(shù)要用公式來表示。 1755歐拉(LEuler，瑞士，17071783) 把函數(shù)定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)?！?18世紀中葉歐拉(LEuler，瑞，17071783)給出了定義：“一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式?！彼鸭s翰?貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，還考慮了“隨意函數(shù)”。不難看出

14、，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。,十九世紀函數(shù)概念對應關系下的函數(shù),1821年，柯西(Cauchy，法，17891857) 從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關系，當一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)?！痹诳挛鞯亩x中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時指出對函數(shù)來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數(shù)關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。 1822年傅里葉（Fourier，法，17681830）發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)也已用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念

15、是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認識又推進了一個新層次。,1837年狄利克雷(Dirichlet，德，18051859) 突破了這一局限，認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)?！边@個定義避免了函數(shù)定義中對依賴關系的描述，以清晰的方式被所有數(shù)學家接受。這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。 等到康托爾(Cantor，德，18451918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，18801960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念，把函數(shù)的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）。,現(xiàn)代函數(shù)概念集合論下的函數(shù),1914年豪斯道夫(FHausdorff)在集合論綱要中用不明確的概念“序偶”來定義函數(shù)，其避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴謹了。 1930 年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為“若對集合M的任意元素x，總有集合確定的元素y與之對應，則稱在