1、請(qǐng)打雙面習(xí)題與綜合訓(xùn)練 第一章2-1 一單層房屋結(jié)構(gòu)可簡(jiǎn)化為題2-1圖所示的模型，房頂質(zhì)量為m，視為一剛性桿；柱子高h(yuǎn)，視為無質(zhì)量的彈性桿，其抗彎剛度為EJ。求該房屋作水平方向振動(dòng)時(shí)的固有頻率。解：由于兩根桿都是彈性的，可以看作是兩根相同的彈簧的并聯(lián)。等效彈簧系數(shù)為k則 其中為兩根桿的靜形變量，由材料力學(xué)易知= 則 = 設(shè)靜平衡位置水平向右為正方向，則有 qFsinaaFhmgqF 所以固有頻率2-2 一均質(zhì)等直桿，長(zhǎng)為 l，重量為W，用兩根長(zhǎng)h的相同的鉛垂線懸掛成水平位置，如題2-2圖所示。試寫出此桿繞通過重心的鉛垂軸作微擺動(dòng)的振動(dòng)微分方程，并求出振動(dòng)固有周期。解：給桿一個(gè)微轉(zhuǎn)角qqha2F

2、mg由動(dòng)量矩定理：其中 2-3 求題2-3圖中系統(tǒng)的固有頻率，懸臂梁端點(diǎn)的剛度分別是和，懸臂梁的質(zhì)量忽略不計(jì)。解：懸臂梁可看成剛度分別為k1和k3的彈簧，因此，k1與k2串聯(lián)，設(shè)總剛度為k1。k1與k3并聯(lián)，設(shè)總剛度為k2。k2與k4串聯(lián)，設(shè)總剛度為k。即為，2-4 求題2-4圖所示的階梯軸一圓盤系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率。其中、和是三個(gè)軸段截面的極慣性矩，I是圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，各個(gè)軸段的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不計(jì)，材料剪切彈性模量為G。解： （1） （2） （3） （4）2-5 如題2-5圖所示，質(zhì)量為的均質(zhì)圓盤在水平面上可作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，鼓輪繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，忽略繩子的彈性、質(zhì)量及個(gè)軸承間的摩擦力，求此系統(tǒng)

3、的固有頻率。解：此系統(tǒng)是一個(gè)保守系統(tǒng)，能量守恒系統(tǒng)的動(dòng)能為：系統(tǒng)的勢(shì)能為：總能量由于能量守恒消去得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：系統(tǒng)的固有頻率為：2-6 如題2-6圖所示，剛性曲臂繞支點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，求系統(tǒng)的固有頻率。解：設(shè)曲臂順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的角為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為。很小，系統(tǒng)的動(dòng)能為所以， 取系統(tǒng)平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)。設(shè)各彈簧在靜平衡位置伸長(zhǎng)為，由， （A）由題意可知，系統(tǒng)勢(shì)能為（B）將（A）式代入（B）式，可得系統(tǒng)最大勢(shì)能為，由， 得 所以，有2-7 一個(gè)有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，質(zhì)量為10 kg，彈簧靜伸長(zhǎng)是1cm，自由振動(dòng)20個(gè)循環(huán)后，振幅從0.64 cm減至0.16cm，求阻尼系

4、數(shù)c。解：振動(dòng)衰減曲線得包絡(luò)方程為：振動(dòng)20個(gè)循環(huán)后，振幅比為：代入,得：又 c = 6.9 N s /mOmgjXOYOFKFC，2-8 一長(zhǎng)度為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)剛性桿鉸接于O點(diǎn)并以彈簧和粘性阻尼器支承，如題2-8圖所示。寫出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和阻尼固有頻率的表達(dá)式。解：圖（1）為系統(tǒng)的靜平衡位置，畫受力圖如（2）。由動(dòng)量矩定理，列系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：當(dāng)npn時(shí)，ccC2-9 如題2-9圖所示的系統(tǒng)中，剛桿質(zhì)量不計(jì)，試寫出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)及固有頻率。解：2-10 如題2-10圖所示，質(zhì)量為2000 kg的重物以3 cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，與彈簧及阻尼器相撞后一起

5、作自由振動(dòng)。已知k =48020 N/m，c =1960 Ns/m，問重物在碰撞后多少時(shí)間達(dá)到最大振幅?最大振幅是多少?解：以系統(tǒng)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為所以有 +x =0 其特征方程為：+r+=0 r =-0.494.875i所以：x =cos4.875t+sin4.875t由于n pn，由已知條件，m/s。故通解為其中，。（代入初始條件，當(dāng)t=0時(shí)，x=0, =0當(dāng)t=0時(shí)，=0,=0.006x=0.006sin4.875t=0.006(-0.49) sin4.875t+0.0064.875cos4.875當(dāng)=0時(shí)，振幅最大，此時(shí)t=0.03s。當(dāng)t=0.03s時(shí)，x=0

6、.005m）代入初始條件，得，得物體達(dá)到最大振幅時(shí)，有既得t = 0.30 s時(shí)，物體最大振幅為 cm2-11 由實(shí)驗(yàn)測(cè)得一個(gè)系統(tǒng)的阻尼固有頻率為，在簡(jiǎn)諧激振力作用下出現(xiàn)最大位移值的激振頻率為，求系統(tǒng)的無阻尼固有頻率、相對(duì)阻尼系數(shù)及對(duì)數(shù)衰減率。解：， ， ；三個(gè)方程聯(lián)立，解得：習(xí)題與綜合訓(xùn)練 第二章2-1已知系統(tǒng)的彈簧剛度k =800 N/m，作自由振動(dòng)時(shí)的阻尼振動(dòng)周期為1.8s，相鄰兩振幅的比值，若質(zhì)量塊受激振力N的作用，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：由題意，可求出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為得到穩(wěn)態(tài)解其中由 又有所以x1.103 cos(3t5127)2-2一個(gè)無阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)受簡(jiǎn)諧激振力作用，當(dāng)激振頻

7、率rad/s時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振；給質(zhì)量塊增加1 kg的質(zhì)量后重新試驗(yàn)，測(cè)得共振頻率rad/s，試求系統(tǒng)原來的質(zhì)量及彈簧剛度。解：設(shè)原系統(tǒng)的質(zhì)量為m，彈簧常數(shù)為k由，共振時(shí)所以又由 當(dāng)與聯(lián)立解出m20.69 kgk744.84 N/m2-3總質(zhì)量為W的電機(jī)裝在彈性梁上，使梁產(chǎn)生靜撓度，轉(zhuǎn)子重Q，重心偏離軸線e，梁重及阻尼可以不計(jì)，求轉(zhuǎn)速為時(shí)電機(jī)在垂直方向上穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅。解：列出平衡方程可得：所以：又因?yàn)榧礊樗蟮恼穹?-4如題2-4圖所示，作用在質(zhì)量塊上的激振力，彈簧支承端有運(yùn)動(dòng)，寫出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并求穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。題2-4圖 解：選時(shí)物塊平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立坐標(biāo)系，如右圖，則 即

8、即 （*）改成，下面也都一樣利用復(fù)數(shù)求解 ， 用 代換sinwt 并設(shè)方程（*）的解為這里求的是特解，也就是穩(wěn)態(tài)解。 代入方程（*）得其中B為振幅，為響應(yīng)與激勵(lì)之間的相位差，有=。 其中 2-5如題2-5圖的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，兩個(gè)彈簧的連接處有一激振力，求質(zhì)量塊的振幅。題2-5圖解：設(shè)彈簧1，2的伸長(zhǎng)分別為x1和x2，則有， （A）由圖（1）和圖（2）的受力分析，得到 （B） （C）聯(lián)立解得，所以，n = 0，得，2-6在題2-6圖示的系統(tǒng)中，剛性桿AB的質(zhì)量忽略不計(jì)，B端作用有激振力，寫出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，并求下列情況中質(zhì)量m作上下振動(dòng)的振幅值(1)系統(tǒng)發(fā)生共振；(2)等于固有頻率的一半。mg

9、qBP0sinwtAXAYAFCFK題2-6圖 解：圖（1）為系統(tǒng)的靜平衡位置，以q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，畫受力如圖（2）又 Iml2則1）系統(tǒng)共振，即2）2-7寫出題2-7圖示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并求系統(tǒng)固有頻率、阻尼比及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅。題2-7圖解：以剛桿轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，由系統(tǒng)的動(dòng)量矩定理即 令，得到2-8一機(jī)器質(zhì)量為450kg，支承在彈簧隔振器上，彈簧靜變形為0.5cm。機(jī)器有一偏心重，產(chǎn)生偏心激振力N，其中是激勵(lì)頻率，g是重力加速度。求(1)在機(jī)器轉(zhuǎn)速為1200 r/min時(shí)傳入地基的力；(2)機(jī)器的振幅。解：設(shè)系統(tǒng)在平衡位置有位移， 則即又有 則（1）所以機(jī)器的振幅為（2）且，（3）又有（

10、4）將（1）（2）（4）代入（2）得機(jī)器的振幅=0.584 mm則傳入地基的力為2-9一個(gè)粘性阻尼系統(tǒng)在激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)力為，已知N，B =5 cm ，rad/s，求最初1秒及1/4秒內(nèi)，激振力作的功及。2-10 證明粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量可表示為證明2-11證明簡(jiǎn)諧激振力作用下的結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)在時(shí)振幅達(dá)最大值。證明：設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼的應(yīng)變幅度為B，則應(yīng)變改變一周期內(nèi)所消耗的能量 為與材料有關(guān)的常數(shù)與頻率無關(guān)，則等效粘性阻尼系數(shù) 由于振幅所以， 其中，對(duì)求導(dǎo)得 ，當(dāng)時(shí)，振幅B達(dá)到最大值2-12無阻尼系統(tǒng)受題2-12圖示的外力作用，已知，求系統(tǒng)響應(yīng)。題2-12圖解：由圖得激振力方程為當(dāng) 0

11、t t1時(shí)，則有由于，所以有當(dāng)t1 t t2時(shí)，則有 當(dāng) t t2時(shí)，則有+ 0 2-13如題2-13圖的系統(tǒng)，基礎(chǔ)有階躍加速度，初始條件為，求質(zhì)量m的相對(duì)位移。題2-13圖解：由牛頓定律，可得系統(tǒng)的微分方程為令，則有得到系統(tǒng)的激振力為，可得響應(yīng)為其中，。2-14上題系統(tǒng)中，若基礎(chǔ)有階躍位移，求零初始條件下的絕對(duì)位移。解：系統(tǒng)振動(dòng)的微分方程為即 基礎(chǔ)有階躍位移,故=0 =，則有得到系統(tǒng)的激振力為，可得響應(yīng)為其中，。2-15 求零初始條件的無阻尼系統(tǒng)對(duì)題2-15圖示激振力的響應(yīng)。題2-15圖 解：由圖得激振力方程為當(dāng) 0 t t1時(shí)，則有當(dāng)t t1時(shí)，則有 2-16 零初始條件的無阻尼系統(tǒng)受題2

12、-16圖的外力作用，求系統(tǒng)響應(yīng)。題2-16圖解：由圖得激振力方程為當(dāng) 0 t t1時(shí)，則有當(dāng)t1 t t2時(shí)，則有 當(dāng) t t2時(shí)，則有 + 0解：運(yùn)動(dòng)微分方程為 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 算法同上，所以有 當(dāng)時(shí)，+0系統(tǒng)響應(yīng)為2-17 零初始條件的無阻尼系統(tǒng)受題2-17圖的半正弦脈沖作用，若，求系統(tǒng)響應(yīng)。題2-17圖 解：由圖得激振力方程為當(dāng) 0 t t1時(shí)，則有2-18求無阻尼系統(tǒng)對(duì)題2-18圖的拋物型外力的響應(yīng)，已知。題2-18圖解：由圖得激振力方程為當(dāng) 0 t t1時(shí)，則有當(dāng) t t2時(shí)，則有 2-19無阻尼系統(tǒng)的支承運(yùn)動(dòng)加速度如題2-19圖所示，求零初始條件下系統(tǒng)的相對(duì)位移。題2-19圖解：系統(tǒng)

13、運(yùn)動(dòng)的微分方程為令，則由圖得支承運(yùn)動(dòng)加速度方程為當(dāng) 0 t t1時(shí)，則有 2-20 求零初始條件的無阻尼系統(tǒng)對(duì)題2-20圖所示支承運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)。題2-20圖解：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程為由圖得支承運(yùn)動(dòng)方程為當(dāng) 0 t t1時(shí)，則有當(dāng) t 解得：解：由已知條件可求出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和柔度矩陣分別為 設(shè)振型 則可得 把它們代入下式 可求得： 5-4 用鄧克萊法求題4-5系統(tǒng)的基頻。題4-5圖解：按材料力學(xué)撓度公式，則有,由鄧克萊公式得題4-7圖5-5 用鄧克萊法求題4-7系統(tǒng)的基頻。解：由材料力學(xué)知，同理：由鄧克萊法知：解之得：5-6 用矩陣迭代法計(jì)算題4-5系統(tǒng)的固有頻率和主振型。題4-5圖解：由材料力學(xué)

14、的知識(shí)得柔度矩陣為可得到動(dòng)力矩陣：對(duì)初始假設(shè)矩陣進(jìn)行迭代 與之對(duì)應(yīng)的第一階主振型：下面是求第二階主頻率和主振型：經(jīng)過6次迭代，下面是求第二階主頻率和主振型：經(jīng)過1次迭代，題4-7圖5-7 用矩陣迭代法計(jì)算題4-7系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解：得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和柔度矩陣 取假設(shè)振動(dòng) 由于與之對(duì)應(yīng)的第一階主振型下面計(jì)算第二階振型和頻率：得到含清除矩陣的動(dòng)力矩陣 假設(shè)初始振型為，經(jīng)過8次迭代后得到下面計(jì)算第3次振型和頻率：用同樣的方法可得經(jīng)過三次迭代，最后的結(jié)果是：題4-8圖5-8 用矩陣迭代法計(jì)算題4-8系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解：如圖選擇廣義坐標(biāo)。求質(zhì)量矩陣及利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣為，可得動(dòng)

15、力矩陣D=設(shè)初始假設(shè)振型 =進(jìn)行迭代 經(jīng)過一次迭代后 得=由于所以 即與之對(duì)應(yīng)的第一階主振型為 又由于所以可得含清除矩陣的動(dòng)力矩陣選取初始假設(shè)振型=第二次迭代 =由于所以 所以與之對(duì)應(yīng)的第二階主振型為 =由于6m所以可得動(dòng)力矩陣 假設(shè)=第二次迭代由于所以所以所以第三階振型為綜上所得可以寫出主振型 固有頻率為，5-9 用子空間迭代法計(jì)算題4-5系統(tǒng)的第一、二階固有頻率和主振型。題4-5圖解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、柔度矩陣?，F(xiàn)取假設(shè)振型由動(dòng)力矩陣迭代得到分別歸一化得到求得、再由李茲法特征植問題為即 其中。由上述方程非零解的條件得頻率方程解所以重復(fù)上述過程進(jìn)行第二次迭代，有歸一化得則有由有得則結(jié)束迭代，求得系統(tǒng)的前二階固有頻率及相應(yīng)的主振型5-10 用傳遞矩陣法求題5-10圖所示系統(tǒng)的固有頻率和主振型。題5-10圖5-11 題5-11圖示的懸臂梁質(zhì)量不計(jì)，抗彎剛度為EJ，用傳遞矩陣法求梁橫向彎曲振動(dòng)的固有頻率和主振型。題5-11圖5-12 用傳遞矩陣法求題4-5系統(tǒng)的固有頻率和主振型。題4-5圖習(xí) 題 六6-1 一等直桿沿縱向以等速v向右運(yùn)動(dòng)，求下列情況中桿的自由振動(dòng)(1) 桿的左端突然固定；(2) 桿的右端突然固定；(3) 桿的中點(diǎn)突然固定。解；(1)桿的左端突然固定；桿的初始條件為： 有題可知得 ，所以有：進(jìn)而有：%全部改成：6-2 求下列情況