1、1步驟第一數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n），有如下步驟：（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立。n0對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（kn0，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（n0），命題P(n）都成立。第二數(shù)學(xué)歸納法對(duì)于某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n），（1）驗(yàn)證n=n0，n=n1時(shí)P(n）成立；（2）假設(shè)nk時(shí)命題成立，并在此基礎(chǔ)上，推出n=k+1命題也成立。綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（n0），命題P(n）都成立。倒推歸納法又名反向歸納法（1）驗(yàn)證對(duì)于無窮多個(gè)自然數(shù)n命題P(n）成立

2、（無窮多個(gè)自然數(shù)可以是一個(gè)無窮數(shù)列中的數(shù)，如對(duì)于算術(shù)幾何不等式的證明，可以是2k，k1）；（2）假設(shè)P(k+1）（kn0）成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P(k）成立，綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（n0），命題P(n）都成立；螺旋式歸納法對(duì)兩個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n），Q(n），（1）驗(yàn)證n=n0時(shí)P(n）成立；（2）假設(shè)P(k）（kn0）成立，能推出Q(k）成立，假設(shè) Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（n0），P(n），Q(n）都成立。2應(yīng)用1確定一個(gè)表達(dá)式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個(gè)其他的形式在一個(gè)無窮序列是成立的。2數(shù)理邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)

3、廣義的形式的觀點(diǎn)指出能被求出值的表達(dá)式是等價(jià)表達(dá)式。3證明數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的成立。4證明和自然數(shù)有關(guān)的不等式。3變體在應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法常常需要采取一些變化來適應(yīng)實(shí)際的需求。下面介紹一些常見的數(shù)學(xué)歸納法變體。從0以外的數(shù)字開始如果我們想證明的命題并不是針對(duì)全部自然數(shù)，而只是針對(duì)所有大于等于某個(gè)數(shù)字b的自然數(shù)，那么證明的步驟需要做如下修改：第一步，證明當(dāng)n=b時(shí)命題成立。第二步，證明如果n=m(mb）成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+1也成立。用這個(gè)方法可以證明諸如“當(dāng)n3時(shí)，n22n”這一類命題。針對(duì)偶數(shù)或奇數(shù)如果我們想證明的命題并不是針對(duì)全部自然數(shù)，而只是針對(duì)所有奇數(shù)或偶數(shù)，那么證明的步驟需要

4、做如下修改：奇數(shù)方面：第一步，證明當(dāng)n=1時(shí)命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+2也成立。偶數(shù)方面：第一步，證明當(dāng)n=0或2時(shí)命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+2也成立。遞降歸納法數(shù)學(xué)歸納法并不是只能應(yīng)用于形如“對(duì)任意的n”這樣的命題。對(duì)于形如“對(duì)任意的n=0,1,2,.,m”這樣的命題，如果對(duì)一般的n比較復(fù)雜，而n=m比較容易驗(yàn)證，并且我們可以實(shí)現(xiàn)從k到k-1的遞推，k=1,.,m的話，我們就能應(yīng)用歸納法得到對(duì)于任意的n=0,1,2,.,m，原命題均成立。如果命題P(n）在n=1,2,3,.,t時(shí)成立，并且對(duì)于任意自然數(shù)k，由P(k),P(k

5、+1）,P(k+2）,.,P(k+t-1）成立，其中t是一個(gè)常量，那么P(n）對(duì)于一切自然數(shù)都成立.跳躍歸納法設(shè)P(n)表示一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，若(1)P(1)，P(2),P(l)成立;(2)假設(shè)P(k)成立，可以推出P (k+l)成立,則P(n)對(duì)一切自然數(shù)n都成立.14合理性數(shù)學(xué)歸納法的原理，通常被規(guī)定作為自然數(shù)公理（參見皮亞諾公理）。但是在另一些公理的基礎(chǔ)上，它可以用一些邏輯方法證明。數(shù)學(xué)歸納法原理可以由下面的良序性質(zhì)（最小自然數(shù)原理）公理可以推出：自然數(shù)集是良序的。（每個(gè)非空的正整數(shù)集合都有一個(gè)最小的元素）比如1, 2, 3 , 4, 5這個(gè)正整數(shù)集合中有最小的數(shù)1.下面我們將通

6、過這個(gè)性質(zhì)來證明數(shù)學(xué)歸納法：對(duì)于一個(gè)已經(jīng)完成上述兩步證明的數(shù)學(xué)命題，我們假設(shè)它并不是對(duì)于所有的正整數(shù)都成立。對(duì)于那些不成立的數(shù)所構(gòu)成的集合S，其中必定有一個(gè)最小的元素k。（1是不屬于集合S的，所以k1）k已經(jīng)是集合S中的最小元素了，所以k-1是不屬于S，這意味著k-1對(duì)于命題而言是成立的既然對(duì)于k-1成立，那么也對(duì)k也應(yīng)該成立，這與我們完成的第二步驟矛盾。所以這個(gè)完成兩個(gè)步驟的命題能夠?qū)λ衝都成立。2注意到有些其它的公理確實(shí)是數(shù)學(xué)歸納法原理的可選的公理化形式。更確切地說，兩者是等價(jià)的。解題要點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法對(duì)解題的形式要求嚴(yán)格，數(shù)學(xué)歸納法解題過程中，第一步：驗(yàn)證n取第一個(gè)自然數(shù)時(shí)成立第二步：假設(shè)

7、n=k時(shí)成立，然后以驗(yàn)證的條件和假設(shè)的條件作為論證的依據(jù)進(jìn)行推導(dǎo)，在接下來的推導(dǎo)過程中不能直接將n=k+1代入假設(shè)的原式中去。最后一步總結(jié)表述。需要強(qiáng)調(diào)是數(shù)學(xué)歸納法的兩步都很重要，缺一不可，否則可能得到下面的荒謬證明：證明1：所有的馬都是一種顏色首先，第一步，這個(gè)命題對(duì)n=1時(shí)成立，即，只有1匹馬時(shí)，馬的顏色只有一種。第二步，假設(shè)這個(gè)命題對(duì)n成立，即假設(shè)任何n匹馬都是一種顏色。那么當(dāng)我們有n+1匹馬時(shí)，不妨把它們編好號(hào)：1, 2, 3n, n+1對(duì)其中（1、2n）這些馬，由我們的假設(shè)可以得到，它們都是同一種顏色；對(duì)（2、3n、n+1）這些馬，我們也可以得到它們是一種顏色；由于這兩組中都有（2、

8、3、n）這些馬，所以可以得到，這n+1種馬都是同一種顏色。這個(gè)證明的錯(cuò)誤來于推理的第二步：當(dāng)n=1時(shí)，n+1=2，此時(shí)馬的編號(hào)只有1、2，那么分的兩組是（1）和（2）它們沒有交集，所以第二步的推論是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)歸納法第二步要求nn+1過程對(duì)n=1，2，3的數(shù)都成立，而上面的證明就好比多米諾骨牌的第一塊和第二塊之間間隔太大，推倒了第一塊，但它不會(huì)推倒第二塊。即使我們知道第二塊倒下會(huì)推倒第三塊等等，但這個(gè)過程早已在第一和第二塊之間就中斷了。2證明2：舉例證明下面的定理等差數(shù)列求和公式第一步，驗(yàn)證該公式在 n = 1 時(shí)成立。即有左邊=1，右邊= =1，所以這個(gè)公式在n = 1時(shí)成立。第二步，需要證明假設(shè)n = m 時(shí)公式成立，那么可以推導(dǎo)出n = m+1 時(shí)公式也成立。步驟如下：假設(shè)n = m 時(shí)公式成立，即 （等式1）然后在等式兩邊同時(shí)分別加上m + 1 得到 （等式2）這就是n = m+1 時(shí)的等式。我們下一步需要根據(jù) 等式1證明 等式2 成立。通過因式分解合并，等式2的右邊 也就是這樣我們就完成了由n=m成立推導(dǎo)出n=m+1成立的過程，證畢。結(jié)論：對(duì)于任意自然數(shù)n，公式均成立。對(duì)于以上例2的分析在這個(gè)證明中，歸納的過程如下：1. 首先證明n=1成立。2. 然后證明從n=m 成立可以推導(dǎo)出n=m+1 也成立（這里實(shí)際應(yīng)用的是