1、1. 設(shè)是實(shí)數(shù)集, 則對(duì)任意的, 代數(shù)運(yùn)算 ( C )(A) 適合結(jié)合律但不適合交換律 (B) 適合交換律但不適合結(jié)合律(C) 不適合結(jié)合律和交換律 (D) 適合結(jié)合律和交換律2. 在群中, 的階為12, 則的階為 ( B ) (A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 63在7次對(duì)稱(chēng)群中和, 則等于（ A ）(A) (B) (C) (D) 7. 在群中, , 則方程和分別有唯一解為 ( B )(A) , (B) , (C) , (D) , 8. 設(shè)是正整數(shù)集, 則對(duì)任意的, 下面“o”是代數(shù)運(yùn)算的是( B )(A) (B) (C) (D) 9. 設(shè)是實(shí)數(shù)集, 代數(shù)運(yùn)算是普通加法，下列映射是

2、的自同構(gòu)的是( D )(A) (B) (C) (D) 10. 在偶數(shù)階群中階等于2的元數(shù)為 ( A )(A) 奇數(shù) (B) 偶數(shù) (C) 1 (D) 不可確定11在5次對(duì)稱(chēng)群中元和的乘積是（ D ）(A) (B) (C) (D) 12若群的階為48, 的真子群的階不可能為 ( C )(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 24 13群中元的階為24中，那么的循環(huán)子群的階為 ( C ) (A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 921所有整數(shù),令: ,當(dāng)是偶數(shù);,當(dāng)是奇數(shù).則為 ( B )(A) 單射變換 (B) 滿(mǎn)射變換 (C) 一一變換 (D) 不是變換22若,且的階為有限整數(shù),則

3、下列說(shuō)法正確的是 ( A )(A) 與模的剩余類(lèi)加群同構(gòu) (B) 的階可能無(wú)限(C) 元中沒(méi)有相同元 (D) 與整數(shù)加群同構(gòu)24. 設(shè)是有理數(shù)集, 則對(duì)任意的,下列“o”是代數(shù)運(yùn)算的是( C )(A) (B) (C) (D) 25. 在群中, , 則方程的唯一解為 ( D )(A) (B) (C) (D) 26在6次對(duì)稱(chēng)群中的階是（ A ）(A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 631. 設(shè)是實(shí)數(shù)集, 則對(duì)任意的, 代數(shù)運(yùn)算 ( C )(A) 適合結(jié)合律但不適合交換律 (B) 適合交換律但不適合結(jié)合律(C) 不適合結(jié)合律和交換律 (D) 適合結(jié)合律和交換律32. 設(shè)是有理數(shù)集, 則對(duì)任

4、意的,下列“o”是代數(shù)運(yùn)算的是( A )(A) (B) (C) (D) 33. 在群中, , 則方程的唯一解為 ( D )(A) (B) (C) (D) 34在5次對(duì)稱(chēng)群中的階是（ B ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 537. 在16階循環(huán)群中 , 循環(huán)子群的階為 ( D ) (A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 840若群的階為48, 的子群的階為16，則在中的指數(shù)為( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42.若為群,則 .3.循環(huán)群的階是50，則它的子群的階是 10 .5.次對(duì)稱(chēng)群的階為 .6.假定,那么 , .11.一個(gè)有限非可換群至少含有_ 6 _個(gè)

5、元素 . 14.5次對(duì)稱(chēng)群的階為 120 .19.設(shè)是17階群，則的生成元有 16 個(gè).28.若群的元的階是15，的階是8,且, 則和的階分別是 15 和 120 .30. 若群的階為60, 的子群的階為15，則在中的指數(shù)為 4 .35. 若是由集合的全體一一變換所作成, 則是一個(gè) 變換 群.1設(shè),則能找到到的一一映射. ( )7有限群中存在某個(gè)元的階無(wú)限. ( )1. 用循環(huán)置換的方法寫(xiě)出三次對(duì)稱(chēng)群的全體元.說(shuō)明集合是的子群,并且寫(xiě)出的所有左陪集.解: ,(2分) 因?yàn)槭怯邢藜? 由,知是封閉的,所以是的子群.(4分)的全體左陪集為(6分):,4.求出階是32的循環(huán)群的所有子群.這些子群是

6、否都是不變子群.解: 因?yàn)闉檠h(huán)群,所以為交換群,又因?yàn)?2的所有正整數(shù)因子為：1，2，4，8，16,36. 所以循環(huán)群的所有子群為循環(huán)子群：，,，. 并且這些子群都是不變子群. 7.找出對(duì)稱(chēng)群的所有子群.解:因?yàn)?，它的子群的階只可能為：1，2，3，6. 所以它的所有子群為：1階子群； 2階子群，； 3階子群； 6階子群。9.取對(duì)稱(chēng)群的元和,計(jì)算，.解: ，, (或) ,（或） 12.求剩余類(lèi)加群的所有生成元和所有子群.解：因?yàn)槭Ｓ囝?lèi)加群是循環(huán)加群，所以它的所有生成元為：； 所有子群為：. 16.用循環(huán)置換的方法寫(xiě)出5次對(duì)稱(chēng)群的元和,并計(jì)算，.解: ， ， , (或) ,（或） . （或） 1

7、7.求出模48的剩余類(lèi)加群的所有子群.這些子群是否是不變子群?解: 因?yàn)闉檠h(huán)群,所以為交換群,又因?yàn)?8的所有正整數(shù)因子為：1，2，3，4，6，8，12，16,24，48. 所以模48的剩余類(lèi)加群的所有子群為循環(huán)子群：(1), (2),(3),(4), (6), (8), (12), (16), (24), (0). 并且這些子群都是不變子群. 1. 設(shè)群中元的階為，試證：當(dāng)且僅當(dāng).證明: 必要性:設(shè), 其中為整數(shù), , 那么有, 由的階為知,即. 充分性:由可設(shè), 其中為整數(shù), 那么有, 8.若群的每一個(gè)元都適合方程，那么是交換群.證明: 任取, 可知，, 所以 所以是交換群.9.證明:

8、一個(gè)循環(huán)群必是一個(gè)交換群.證明: 設(shè)循環(huán)群，任取，則有 所以循環(huán)群是交換群. 12. 證明：有限群中元的階都有限.證明: 設(shè)是一個(gè)有限群，對(duì)任意的，則元 都是中元，且其中一定有相同元. 不妨設(shè)，則有，即. 由且為有限正整數(shù)得的階為有限.13. 證明: 階為素?cái)?shù)的群一定是循環(huán)群,且群中任意元都可作為群的生成元.證明: 設(shè)是一個(gè)階為素?cái)?shù)的有限群,則對(duì)任意的,的循環(huán)子群有個(gè)不同的元, 所以為循環(huán)群, 且群中任意元都可作為群的生成元.1、設(shè)是群中的元素，且，則。 ( ) 2、法則不是自然數(shù)集上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算。()3、設(shè)集合，則上所有對(duì)換作成的集合是次對(duì)稱(chēng)群的一個(gè)生成系。()4、設(shè)是實(shí)數(shù)集，規(guī)定：，則是上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。( )5、交換群中任意兩個(gè)子群的乘積仍是子群。()7、設(shè)是循環(huán)群中一個(gè)元素，則當(dāng)且僅當(dāng)。()8、若，則到的映射是滿(mǎn)射當(dāng)且僅當(dāng)是單射。()3、試求置換，的階。4、任意集合上自身到自身的映射稱(chēng)之為置換。()5、有限群中的元素的階一定都有限。()3、在群中設(shè)