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1、1 第一型曲線積分,本節(jié)將研究定義在平面或空間曲線段上的第一型曲線積分.此類積分的典型物理背景是求非均勻分布的曲線狀物體的質(zhì)量.,二、第一型曲線積分的計(jì)算,一、第一型曲線積分的定義,返回,一 第一型曲線積分的定義,的質(zhì)量.,段時(shí)物體的質(zhì)量的計(jì)算問(wèn)題.,時(shí), 上述和式的極限就應(yīng)是該物體的質(zhì)量.,由上面看到, 求物質(zhì)曲線段的質(zhì)量, 與求直線段的質(zhì),量一樣, 也是通過(guò)“分割、近似求和、取極限”來(lái)得,到的. 下面給出這類積分的定義.,的第一型曲線積分, 并且記作,量可由第一型曲線積分 (1) 或 (2) 求得.,都存在, 則,也存在, 且,則,且,使得,6. 第一型曲線積分的幾何意義,上定義的連續(xù)非負(fù)

2、函數(shù). 由第一型曲線的定義, 易見(jiàn),的部分的面積就是,二 第一型曲線積分的計(jì)算,定理20.1 設(shè)有光滑曲線,的連續(xù)性與積分中值定理, 有,所以,這里,則有,令,現(xiàn)在證明,都有,上一致連續(xù), 即對(duì)任給的,使當(dāng) 時(shí),從而,所以,因此當(dāng)在(4)式兩邊取極限后, 即得所要證的(3)式.,上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)時(shí), (3)式成為,再由定積分定義,上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)時(shí), (3)式成為,試計(jì)算第一型曲線積分,解,試計(jì)算第一型曲線積分,解,其計(jì)算公式為:,被平面 所截得的圓周.,解 由對(duì)稱性知,所以,解 由對(duì)稱性知,其中,而內(nèi)擺線的參數(shù)方程為,因此,包圍部分的面積 A.,解 圖中直影線部分為被圍柱面在第一卦限的部分,在第一卦限部分正是以曲線 L 為準(zhǔn)線母線平行于 z,積分的幾何意義可知它的面積為,L 的參數(shù)方程為:,因此,曲線狀物體對(duì)于 x , y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為,注 由第一型曲線積分的,對(duì)于 y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.,解,和,復(fù)習(xí)思考題,使得,其中

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