1、Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),2.2 Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),Wilcoxon符號秩檢驗(yàn) ( Wilcoxon signed-rank test )是非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中符號檢驗(yàn)法的改進(jìn)，它不僅利用了觀察值和原假設(shè)中心位置的差的正負(fù)，還利用了差的值的大小的信息。雖然是簡單的非參數(shù)方法，但卻體現(xiàn)了秩的基本思想。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),例 2. 4 下面是10個歐洲城鎮(zhèn)每人每年平均消費(fèi)的酒量（相當(dāng)于純酒精數(shù)）（單位：升）。數(shù)據(jù)已經(jīng)按升冪排列。 4.12 5.18 7.63 9.74 10.39 11.92 12.32 12.89 13.54 14.45 人們普遍認(rèn)為歐洲各國人均年消費(fèi)酒量的中 位數(shù)

2、相當(dāng)于純酒精8升，也就是me0=8。由數(shù)據(jù) 算得的中位數(shù)為11.16。因此，我們的檢驗(yàn)設(shè)為： H0：me8 ，H1：me 8,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),先計(jì)算每個樣本值和原假設(shè)中me0的值之差，即Xi8。 考慮這些差的絕對值并將絕對值從小到大排序，從而求出這些絕對值的秩。 再計(jì)算比8大的樣本對應(yīng)的絕對值的秩之和，如果這個和比較大，我們就拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),問題一般提法： 假定樣本X1, , X n來自分布連續(xù)對稱的總體X，在此假定下總體X的中位數(shù)等于均值。 問題主要是檢驗(yàn)中位數(shù)，即原檢驗(yàn)為H0：me=me0，相對于各種單雙邊的備擇假設(shè)。,Wilcoxon符

3、號秩檢驗(yàn),注： （1）與符號檢驗(yàn)不同： Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)假設(shè)總體分布是對稱的。 （2）在總體分布對稱的假設(shè)下，即設(shè)總體X的分布關(guān)于點(diǎn)對稱，則X的均值和中位數(shù)相同，且均為。所以檢驗(yàn)總體中位數(shù)可等價(jià)于檢驗(yàn)總體對稱中心。即檢驗(yàn)的原假設(shè) H0：M=M0 等價(jià)于 H0：=0（相對于各種單雙邊的備擇假設(shè)）。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),檢驗(yàn)步驟： H0： 0 （對應(yīng)于各單雙邊備擇假設(shè)） Step 1. 計(jì)算 i=1, 2, , n。記差為z i. Step 2. 將差z i.的絕對值，即 , 按從小到大的順序排列。由于總體服從連續(xù)型分布，不妨假定樣本互不相等，都不等于0，且樣本差的絕對值也互不相

4、等。所以可得到樣本z i.的絕對值的秩，不妨記 的秩為R i。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),Step 3. 符號秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 其中 或者取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 其中 主要取W為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),Step 4 設(shè)w表示由樣本算出的W的值。 （1） H0： 0 , H1： 0 p值P( W w )； （2） H0： 0 , H1： 0 p值P( W w )； （3） H0： 0 , H1： 0 p值2minP( W w )，P(W w),Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),對Step 4的注解： 對于對稱中心不為0的總體分布，可以轉(zhuǎn) 化為中心為0的情況進(jìn)行檢驗(yàn)！ 現(xiàn)不妨假設(shè)00，則原假

5、設(shè)變?yōu)?H0：0 對于這種檢驗(yàn)，通過嚴(yán)格的證明來說明p值 的選取。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),（1）H0： 0 , H1： 0。 若H1成立，則總體X的分布關(guān)于點(diǎn)對稱。 從而有， P( X0 ) P( Xa ) P( Xa )。 所以當(dāng)H1成立，不僅觀察到的取正值的樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)比較多，且取正值的樣本數(shù)據(jù)的拒絕值也比較大。由此，H1成立時，W的值較大 。 所以p值P( W w)。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),例 2. 2中我們的檢驗(yàn)設(shè)為： H0：M8 ，H1：M 8 下面來用Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)，等價(jià)于檢驗(yàn) H0：8 ，H1： 8,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),檢驗(yàn)步驟 Step 1.

6、對于 i=1, 2, , n，計(jì)算得到新的樣本zi和它們對應(yīng)的秩如下：,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),Step 2. 計(jì)算W。 W+=2+4+6+7+8+91046 利用W的分布，輔以統(tǒng)計(jì)軟件，可計(jì)算出 p值 0.032。 Step 3. 所以給定0.05時，此時可拒絕原假設(shè)，認(rèn)為歐洲人均酒精年消費(fèi)多于8升。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),W的分布性質(zhì),設(shè)獨(dú)立同分布樣本x1,xn來自連續(xù)對稱總體 X,X分布的對稱中心為。為方便討論，不妨設(shè)原假設(shè)為 H0：0， 即總體分布關(guān)于原點(diǎn)0對稱的條件下，討論W 的性質(zhì)。 注：W與W有下列關(guān)系： W+ W- = n(n1)/2,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),（關(guān)

7、鍵）性質(zhì) 2.1 令 則在總體的分 布關(guān)于原點(diǎn)0對稱時，W與S同分布。 注： S是W當(dāng)Rii時的特殊情況。研究W的分布可轉(zhuǎn)為研究S的分布。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),概率分布 性質(zhì) 2.2 在總體的分布關(guān)于原點(diǎn)0對稱時，W的概率分布為 P ( W+ = d )=P ( Sd )=t n(d)/2n, 其中，d0, 1, 2, , n(n+1)/2，tn (d)表示從1, 2, , n這n個數(shù)中任取若干個數(shù)（包括一個都不取），其和恰為d，共有多少種取法。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),對稱性 性質(zhì) 2.3 在總體的分布關(guān)于原點(diǎn)0對稱時，W服從對稱分布，對稱中心為n(n+1)/4，即：對所有的d=

8、0, 1, 2, , n(n+1)/4，有 P ( W+ = n(n+1)/4 d ) P ( W+ = n(n+1)/4 + d ), P ( W+ n(n+1)/4 d ) P ( W+ n(n+1)/4 + d )。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),期望方差及漸近正態(tài)性 性質(zhì) 2.4 在總體分布關(guān)于原點(diǎn)0對稱時， E(W+)=n(n+1)/4， D（W+）=n(n+1)(2n+1)/24。 性質(zhì) 2.5 若總體分布關(guān)于原點(diǎn)0對稱，則在樣本容量n趨于無窮大時，W+有漸近正態(tài)性： W N（n(n+1)/4,n(n+1)(2n+1)/24）,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),有結(jié)的情況下，用平均秩法。

9、性質(zhì)2.6 在總體的分布關(guān)于原點(diǎn)0對稱，有結(jié)秩取平均時， E(W+)=n(n+1)/4， D（W+）=n(n+1)(2n+1)/24 其中g(shù)表示結(jié)的個數(shù)， 表示第i個結(jié)的長度。 有結(jié)時，W的期望和方差實(shí)際上是條件期望和 方差，它們是在樣本數(shù)據(jù)中給定有g(shù)個結(jié)，且結(jié)的長 度分別給定為 時的條件期望和條件方差。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),與符號檢驗(yàn)的比較。 續(xù)例 2.2 兩個不同方向的假設(shè)檢驗(yàn)。 考慮下面的假設(shè)檢驗(yàn)： H0：M=12.5, H1：M8 （H1） 對這兩個問題分別用Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)和符 號檢驗(yàn)方法。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),符號檢驗(yàn)結(jié)果 對于檢驗(yàn)（H1）： S=3, S

10、+=7, 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量KS3， p值0.171875，對0.05，不能拒絕H0。 對于檢驗(yàn)（H2）： S=7, S+=3, 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量KS3， p值0.171875，對0.05，不能拒絕H0。 結(jié)果完全對稱！說明符號檢驗(yàn)只與符號有關(guān)！,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)結(jié)果 對于檢驗(yàn)（H1）： 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量W+=46 ，p值0.03223，對0.05，拒絕H0。 對于檢驗(yàn)（H2）： 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量W11，p值0.05273，對0.05，不能拒絕H0。 結(jié)果不對稱！說明Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)不僅與符號有關(guān)，還和數(shù)值大小有關(guān)！,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)

11、置信區(qū)間,Walsh平均 為利用更多的信息，可求每兩個數(shù)的平均 ( XiXj )/2, i j，（一共有 n(n+1)/2 個）來擴(kuò) 大樣本數(shù)目。這樣的平均稱為Walsh平均。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),Walsh平均和W+的關(guān)系。 在原假設(shè)成立的條件下，即 H0：0 成立，有 特別當(dāng)原假設(shè)為H0：0成立，有,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),HodgeLehmann估計(jì)量 利用Walsh平均可以得到對稱中心的點(diǎn)估計(jì)，即可由Walsh平均的中位數(shù)來估計(jì)對稱中心，稱之為HodgeLehmann估計(jì)量。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),0 的置信區(qū)間。 可利用Walsh平均得到0 的100( 1-)%置信

12、 區(qū)間。具體步驟： (1) 先求出滿足下面兩式的整數(shù)k，即k使得 P(W+k)/2，P (W+ nk)/2，,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),(2) 將求出的Walsh平均數(shù)，按升冪排列，記為W(1), , W(N)，N=n(n+1)/2，則0 的100( 1-)%置信區(qū)間為 W (k1), W (Nk)。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),再看看例2.2的置信區(qū)間。 求出其Walsh平均，共55個值。取=0.05，則求得k=9時，有 P(W+ 9)0.025，P (W+ 559)0.025， 所以的95的置信區(qū)間為 W (10), W (46) 8.02, 12.73 。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),

13、兩配對數(shù)據(jù)比較問題,兩成對數(shù)據(jù)的比較問題可以轉(zhuǎn)化成單樣本問題，用符號檢驗(yàn)或Wilcoxon符號秩檢驗(yàn)做統(tǒng)計(jì)分析。方法是將兩成對樣本作差，觀察它們的差值，將其視為新的樣本，所以兩配對樣本實(shí)際上就是單一樣本。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),例 2.3 給12組雙胞胎做心理檢驗(yàn)，以測量每個人的進(jìn)取心。我們感興趣的是對雙胞胎進(jìn)行比較，看第一個出生的是否傾向于比另外一個更有進(jìn)取心。結(jié)果如下，高分顯示更多的進(jìn)取心。表中，Xi表示第一個出生的得分，Yi表示第二個出生的得分。D i表示兩者差，即D i Yi Xi, i=1, 2, , 12。Ri表示D i絕對值的秩。則D1，D12是獨(dú)立同分布的，且設(shè)總體為D 。 問題是求D的中位數(shù)MD的95置信區(qū)間。,Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),Wilcoxon符號秩檢驗(yàn),Di的12個值按順序排列為： -15, -12, -10, -8, -7, -4, -3, -1, 2, 5, 6 , 9 間為 W (15), W (64)。 這15個最小的平均，由(-15-15)/2開始，是 -15, -13.5, -12.5, -12,