1、對(duì)一道高考試卷的研究高中數(shù)學(xué)“含參不等式恒成立問(wèn)題”可以把不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合起來(lái)，滲透換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，具有較好的融合性，所以倍受命題專家的青睞，是高考中?？汲Ｐ碌臒狳c(diǎn)之一。年高考數(shù)學(xué)試卷中（包括全國(guó)卷和各省自主命題試卷）有十余套試卷出現(xiàn)了關(guān)于“含參不等式恒成立問(wèn)題”的試卷。本文結(jié)合這些高考試卷的類型，總結(jié)了解決此類問(wèn)題的三種常用方法，僅供參考。一、 數(shù)形結(jié)合法例、不等式3x 2log a x0 在 x(0, 1) 時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍3解： 3x 2log ax03x 2log a x ，即在區(qū)間 (0, 1 ) 內(nèi)曲線 y 3x 23恒在曲

2、線 ylog ax 的下方。作出 y3x 2 ( x 0) 與1 時(shí)， 3 x21 ，即點(diǎn) P(11yy log a x 的草圖，當(dāng) x,) 在曲3333線 y3x2 上。若曲線 ylog a x 過(guò) P(1,1) ，則 a1 。由區(qū)px3327間 ( , 1 )0內(nèi)曲線 y3x2恒在曲線 ylog a x 的下方，根據(jù)對(duì)數(shù)03函數(shù)的性質(zhì)可知， a1 ,127評(píng)注：充分利用已知基本函數(shù)的圖象特點(diǎn)，可以簡(jiǎn)化計(jì)算。二、 分離參數(shù)法例、（全國(guó)理）（）略；（）設(shè)函數(shù)在區(qū)間(2 , 1 ) 內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍 .3321解：函數(shù)f ( x). 在區(qū)間 (,)即 f ( x )0 在 ( 2 , 1

3、 )33內(nèi)是減函數(shù)，恒成立 .f( x)3x22ax1, a R.2ax3x 21 在 ( 2 ,1) 恒成立33x(2 ,1) ， a3x 21在 (2 ,1 ) 恒成立，332x33即研究 g( x)3x21在 (2 ,1 ) 的最大值 .2 x333x 213 (x12 ,3 ) 單調(diào)遞減，g (x)3 ) 在 (2x2x331 / 3在 (3 ,1) 單調(diào)遞增，且g(2)7， g(1)2 ，33343g( x)g(1) 2 ，a2 即 a2,3評(píng)注：若所研究不等式中的參數(shù)可以分離到不等式的一邊，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究確定函數(shù)（不含參數(shù)的函數(shù)）的最值問(wèn)題。三、構(gòu)造函數(shù)法、構(gòu)造一次函數(shù)例、（遼寧

4、文）函數(shù) f ( x)x 39x2 cos48 x cos18 sin 2，g( x) f ( x) ，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)均有g(shù)(1t)0 ， g(3sin t )0e（1） 求函數(shù) f ( x) 的解讀式（）若對(duì)于任意的 m26,6，恒有 f ( x)x3mx11 ，求 x 的取值范圍解：（）略。f(xx 39x 224x)（）任意的 m26,6，恒有 f (x)x 39x 224 xx3mx 11即不等式 mx9x 224 x110 在 m26,6 恒成立構(gòu)造關(guān)于的一次函數(shù)g (m) xm 9x 224 x11 g(m)mx 29x 224 x110 在 m26,6 恒成立g ( 26)26x

5、9x224x1101x124x11 0解得3g (6) 6 x 9 x2、構(gòu)造二次函數(shù)例、（遼寧理）函數(shù) f (x)e2 x2t(exx)x22t 21 。（）、（）略；（）證明：f ( x)32（）證明：要證 f (x)3 ，即不等式 e2 x2t(exx)x 22t 210 恒成立，212構(gòu)造關(guān)于的二次函數(shù)f (t )2t 22t(exx)e2 xx22只需證 f (t )0 恒成立，即 f (t) 最小值08(e2xx 21)4(exx) 2(exx)21 f (t) 最小值4222設(shè) H ( x) exx21 ，令 H ( x) 2 exx ?( ex1) 0 ，2 / 3 exx0，

6、 x 0根據(jù)(,0)(0, )得 H ( x)0 f (t) 最小值H ( x)0H ( x)32f (x)H (x)2、構(gòu)造復(fù)雜函數(shù)例、（全國(guó)理）函數(shù) f (x)exe x（1） 證明： f( x)2 （）若對(duì)于所有x 0 ，都有 f (x)ax ，求 a 的取值范圍（）證： f ( x)exe x2ex ?e x2 ，當(dāng)且僅當(dāng) exex 即 x0 時(shí)取等。（）解：對(duì)所有 x 0 ，都有f (x)ax ，即不等式 exe xax 0 在 0,恒成立構(gòu)造關(guān)于 x 的函數(shù)gxexe xax( )若 a 2 ，當(dāng) x0 時(shí)， g( x) exe xa2a0 g( x) 在 0,上為增函數(shù) g (x)g(0)0 ， f ( x)ax若 a2 ，令 g (x)exe xa0 ，得正根為 x0 ln aa 242當(dāng) x(0, x0 ) 時(shí)， g ( x)0， g (x) 在該區(qū)間為減函數(shù) g ( x)g(0) 0，與f ( x)ax 恒成立矛盾。綜上， a2評(píng)注：若所研究不等式的參數(shù)不能分離出來(lái)，則可通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)在給定區(qū)間上 0 （ 0 ）或 0 （ 0 ）恒成